2023届四川省德阳市高三下学期4月三诊考试数学（文）试题

2023届四川省德阳市高三下学期4月三诊考试数学（文）科试题一、单选题1．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先将原式化简，再看实部和虚部的正负判断所在复平面的象限即可.【详解】，在复平面内对应的点在第一象限.故选：A.2．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题知，再根据集合运算求解即可.【详解】解：解不等式得或，即，因为，所以.故选：D3．已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C【详解】试题分析：由题意知，．故选C．【解析】空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．4．已知，q：任意，则p是q成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次不等式恒成立解得：，结合充分、必要条件的概念即可求解.【详解】命题：一元二次不等式对一切实数x都成立，当时，,符合题意；当时，有，即，解为，∴：．又：，设，则是的真子集，所以p是q成立的充分非必要条件，故选：A．5．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格．能正确表示上述供求关系的图形是（

）．A．B．C．D．【答案】C【详解】因为当产品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，故可排除A,D；且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除B.故选：C．【点睛】本题属于识图的问题，解题的关键是读懂题意、看准图形，解答本题时容易出错，其中的原因就是对图形和题意的不理解．解题时要注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析时应由轴分析轴，并借助排除法求解．6．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（

）A． B． C． D．不确定的实数【答案】B【分析】设矩形的边长分别为、，则，矩形周长最小时，，由此能求出外接球表面积．【详解】设矩形的边长分别为、，则，所以矩形周长，，，当且仅当时取等号，矩形周长最小时，，，，因为外接球的半径，外接球表面积．故选：B．7．函数（）的部分图象如图所示，其中两点之间的距离为5，则的递增区间是A． B．C． D．【答案】B【详解】由勾股定理可得，点的横坐标为－1，所以周期.将点的坐标代入得：.由得：，故选：B.8．设x，y满足约束条件则的最大值是（

）A．-3 B．-6 C．-7 D．12【答案】D【分析】根据不等式组作出如图可行域，当直线经过A点时目标函数取得最大值，求出点A的坐标即可.【详解】由，得，由不等式组作出如图可行域（阴影部分），平移直线，当直线经过A点时，在y轴上的截距最小，z最大，由，解得A(3,-2)，代入得的最大值是12,故选：D.9．已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且，若AD与BE交于M，若，则正三角形ABC的边长为（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根据已知建立平面直角坐标系，利用向量共线和向量的数量积的坐标表示进行计算求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设正三角形ABC的边长为，则，因为，所以，，，设，所以，，因为点三点共线，所以，解得，所以，所以，，由有：，解得，所以的边长为，故A，C，D错误.故选：B.10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判断曲线的对称性，结合当时，曲线即，可作出曲线图象，数形结合，求得答案.【详解】以代换，方程不变，故曲线C：关于原点及x轴，y轴对称，当时，可得，即，可得此时曲线是以为圆心，为半径的半圆，由此作出曲线C的图象如图所示，所以曲线C围成的图形的面积是，故选：C11．已知、为双曲线的两个焦点，过点作直线与双曲线的一支交于两点，、的平分线分别交双曲线虚轴所在直线于两点，为双曲线中心，若，实轴长，成等比数列，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】结合题意得，进而得，再根据等比中项得，进而代换求解即可得答案.【详解】解：设双曲线的焦距为，如图，由题知，即，所以，，所以，，，所以，所以，即，因为，实轴长，成等比数列，所以，即，所以，即，所以，离心率为.故选：A12．已知实数x、y满足，则x、y的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，构造函数和，利用导数研究函数的单调性，进而求解即可.【详解】由可得，因为，，所以，所以，则，所以，令，则，当时，，所以函数在上单调递增；则当时，，即，一定有，所以，则，又因为，所以，令，则，当时，，所以函数在上单调递增；因为，，所以，故选：C.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、填空题13．已知函数，则________．【答案】/【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.【详解】解：由题知，.故答案为：14．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于，两点，又知点恰为的中点，则_________【答案】【分析】先求出焦点坐标和准线方程，然后分别做，，垂直准线于，，，利用抛物线的定义及梯形中位线的性质得到即可.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，如图，分别做，，垂直准线于，，，根据抛物线的定义，，，抛物线的准线方程为：，，根据梯形中位线的性质可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查抛物线的应用，解题关键是熟练应用抛物线的定义将转化为，从而利用梯形的性质进行解决，属于常考题.15．已知的外接圆O的半径为1，．从圆O内随机取一点M，若点M在内的概率恰为，则的周长为________．【答案】【分析】设对应的边为，如图，根据余弦定理可得，由几何概型可得；利用余弦定理得，结合完全平方公式可得，即可求解.【详解】在中，设对应的边为，如图，在圆O中，由，得，在等腰中，，由余弦定理，得，得.因为点M在内的概率恰为，所以，得.在中，由余弦定理，得，即，得，有，由得，所以的周长为.故答案为：.16．如图所示，一个正四棱锥和一个正三棱锥所有棱长都相等，F为棱的中点，将和，和，和分别对应重合为P，B，C得到一个组合体．关于该组合体有如下三个结论：①AD⊥SP；②直线AD与直线SF所成角为60°；③．其中正确结论的个数是________．【答案】2【分析】根据已知，利用正四棱柱、正四面体、三棱柱的结构特征以及线面垂直、平行进行判断.【详解】由题易知，拼成的组合体为一个三棱柱，可将其放入由两个相同的正四棱柱拼成的长方体中，如图其中点为一个正四棱柱的上底面中心，点为另一个正四棱柱的上底面中心.由图可知，所以①正确；设为的中点，连接，则，易知平面，又平面，所以，所以②错误；由拼成的组合体为三棱柱可知，，所以③正确.故答案为：2.三、解答题17．已知数列是等差数列，且满足，．数列的前n项和是，且．(1)求数列及数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出a；再由与的关系得出{b}的通项公式；（2）由（1）得，利用分组求和求和即可.【详解】（1）因为数列是等差数列，且满足，，由等差数列的性质可得，，所以公差，则．又当时，，所以，

①当时，

②由得，即（），所以是首项为1，公比为的等比数列，故．（2）由（1）得，所以．18．某学校高二年级某学科的教师决定帮助本年级100名对该科学习困难的学生．为了做到精准帮助，教师对这100名学生的学习兴趣、学习态度、学习习惯等进行调查，并把调查结果转化为各学生的学困指标x，将指标x分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若，则认定该生为“绝对学困生”，否则认定该生为“相对学困生”；当时，认定该生为“亟待帮助生”．(1)分别求出“绝对学困生”，“亟待帮助生”的人数；并求学困指标的平均值．(2)在学困指标处于内的学困生中按分层抽样抽取了6人，若从这6人中选2人，求恰有一名“亟待帮助生”的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据频率分布直方图结合频数、频率、以及平均值的计算方法，即得答案；（2）根据分层抽样的比例确定和这两组抽取的人数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得“绝对学困生”的人数为；“亟待帮助生”的人数为.学困指标的平均值为（2）由频率分布直方图可知和这两组相应的频率之比为，故在学困指标处于内的学困生中按分层抽样抽取了6人，内有2人，内有4人，故从这6人中选2人，恰有一名“亟待帮助生”的概率为.19．如图，在中，，P为边上一动点，交于点D，现将沿翻折至．(1)沿翻折中是否会改变二面角的大小，并说明理由；(2)若，E是的中点．求证：平面，并求当平面平面时四棱锥的体积．【答案】(1)不变；理由见解析(2)2【分析】（1）证明平面，从而证明平面平面，即可说明结论；（2）设为的中点，连接，根据线面平行的判定定理即可证明平面；继而证明平面，根据棱锥的体积公式即可求得答案.【详解】（1）沿翻折中是不会改变二面角的大小；理由如下：在中，，故而，故，则，而平面，故平面，又，故平面，而平面，故平面平面，故沿翻折中是不会改变二面角的大小；（2）证明：设为的中点，连接，E是的中点，则,又，即,而，故，即四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面.由于，平面平面，平面平面，且平面，故平面，由,，，知，四边形为直角梯形，故四棱锥的体积为.20．已知函数，，且曲线在点处的切线斜率均不小于2．(1)求a的值；(2)求证：函数在区间内存在唯一的零点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题意，利用导数的几何意义可得，再次利用导数研究函数的性质可得，结合即可求解；（2）由（1），根据求导公式和求导法则可得，利用导数证明不等式、在上恒成立，结合放缩法证明在上恒成立，得函数在上单调递增，根据零点的存在性定理即可证明.【详解】（1），则，因为曲线在处的切线斜率均不小于2，所以，得，设，则，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，所以，又，所以；（2）由（1）知，，所以，则.设，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，得，即在上恒成立，即在上恒成立，所以①.设，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，得，即，得，当时，，所以②.由①②得，在上恒成立，则函数在上单调递增.又，得，所以函数在内有唯一的零点.即证.【点睛】在证明不等式的时候，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立，这种方法就是放缩法证明不等式.21．已知椭圆：的离心率为，、分别是其左、右焦点，若是椭圆上的右顶点，且．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（与不重合），问直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)直线与轴交于定点.【分析】（1）由题知，，再根据即可求得答案；（2）设，则，进而求解直线与轴的交点横坐标，最后联立方程，结合韦达定理计算即可.【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，因为椭圆：的离心率为，所以，即，因为，，所以，因为，所以，，，.所以，椭圆的方程为.（2）解：设，则，所以，联立方程得，，所以，因为直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为与不重合，所以，，即，所以，，直线的方程为，令得，又因为，所以所以，直线与轴交于点22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为，求的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据题意可得，结合化简计算即可求解；（2）根据题意求出直线l的参数方程，代入圆C的直角坐标方程，得关于t的一元二次方程，利用韦达定理求得，结合直线参数方程中t的几何意义即可求解.【详解】（1）圆C的极坐标方程为，则又，所以，即，所以圆C的直角坐标方程为；（