2023届四川省成都市高三下学期二诊模拟数学理科（三）试题-1

绝密☆启封并使用完毕前2023届四川省成都市高三下学期二诊模拟数学理科试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共12小题。一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(x＋2)}，则A∩B＝()A.(－2，－1] B.(－2，3] C.(－2，1] D.[－2，1]2.若复数eq\f(1－bi,2＋i)(b∈R)的实部与虚部相等，则b的值为()A.－6 B.－3 C.3 3.“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知sinα＝eq\f(\r(10),10)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))的值为()A.eq\f(4\r(3)－3,10) B.eq\f(4\r(3)＋3,10)C.eq\f(4－3\r(3),10) D.eq\f(3\r(3)－4,10)5.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB＝eq\f(20,3)，bsinA＝4，则a的值为()A.6 B.5 C.4 6.已知函数f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))－cosωx(0<ω<3)的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f(x)的图象()A.向左平移eq\f(2π,3)个单位长度B.向右平移eq\f(2π,3)个单位长度C.向左平移eq\f(π,3)个单位长度D.向右平移eq\f(π,3)个单位长度7.已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，若M是线段AB的中点，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的值为()A.eq\r(3) eq\r(3) C.2 8.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于()＋12 ＋4C.eq\f(5,3)π＋12 D.eq\f(5,3)π＋19.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为()A.7π B.14π C.eq\f(7,2)π D.eq\f(7\r(14)π,3)10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是()A.f(log27)<f(－5)<f(6)B.f(log27)<f(6)<f(－5)C.f(－5)<f(log27)<f(6)D.f(－5)<f(6)<f(log27)11.已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(2)＋1,2)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(5)－112.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)＝2x－2－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)，\f(4,e))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，\f(4,e2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,e2)，\f(2,e))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,e3)，\f(2,e2)))第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第Ⅱ卷共11小题。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a，b满足a＝(cos2018°，sin2018°)，|a＋b|＝eq\r(7)，|b|＝2，则a，b的夹角等于________.14.若(x＋a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为20，则a＝________.15.点M是双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则圆M的半径的最小值等于________.16.如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则四边形ABCD的面积为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an>0(n∈N*)，S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝logeq\f(1,2)a2n－1，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,bnbn＋1)))的前n项和为Tn，求Tn.18.某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A，B两个项目，每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A，B两个项目的测试成绩，得到A项目测试成绩的频率分布直方图和B项目测试成绩的频数分布直方表如下：A项目测试成绩频率分布直方图B项目测试成绩频数分布表分数区间频数[0，10)2[10，20)3[20，30)5[30，40)15[40，50)40[50，60]35将学生的成绩划分为三个等级如下表：分数[0，30)[30，50)[50，60]等级一般良好优秀(1)在抽取的100人中，求A项目等级为优秀的人数；(2)已知A项目等级为优秀的学生中女生有14人，A项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好合计男生女生合计参考数据：P(K2≥k0)k0参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d(3)将样本的频率作为总体的概率，并假设A项目和B项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A项目等级比B项目等级高的概率.19.在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值.20.已知抛物线x2＝2py(p>0)和圆x2＋y2＝r2(r>0)的公共弦过抛物线的焦点F，且弦长为4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与x轴的交点为M，求△ABM面积的最小值.21.已知函数g(x)＝ax－a－lnx，f(x)＝xg(x)，且g(x)≥0.(1)求实数a的值；(2)证明：存在x0，f′(x0)＝0且0<x0<1时，f(x)≤f(x0).请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－eq\r(2))2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．23．选修4-5：不等式选讲已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．绝密☆启封并使用完毕前2023届四川省成都市高三下学期二诊模拟数学理科试题答案解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共12小题。一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(x＋2)}，则A∩B＝()A.(－2，－1] B.(－2，3] C.(－2，1] D.[－2，1]解析A＝{x|x2＋2x－3≤0}＝[－3，1]，B＝{x|y＝ln(x＋2)}＝(－2，＋∞)，∴A∩B＝(－2，1].答案C2.(2018·福州五校联考)若复数eq\f(1－bi,2＋i)(b∈R)的实部与虚部相等，则b的值为()A.－6 B.－3 C.3 解析eq\f(1－bi,2＋i)＝eq\f(（1－bi）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(2－b－（2b＋1）i,5)，由eq\f(1－bi,2＋i)(b∈R)的实部与虚部相等，得eq\f(2－b,5)＝eq\f(－（2b＋1）,5)，解得b＝－3.答案B3.“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析由f(x)＝m＋log2x＝0(x≥1)，得m＝－log2x≤0.因为{m|m<0}{m|m≤0}，所以“m<0”是“函数f(x)(x≥1)存在零点”的充分不必要条件.答案A4.已知sinα＝eq\f(\r(10),10)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))的值为()A.eq\f(4\r(3)－3,10) B.eq\f(4\r(3)＋3,10)C.eq\f(4－3\r(3),10) D.eq\f(3\r(3)－4,10)解析∵sinα＝eq\f(\r(10),10)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosα＝eq\f(3\r(10),10)，sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(10),10)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),10)))eq\s\up12(2)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(4\r(3)－3,10).答案A5.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB＝eq\f(20,3)，bsinA＝4，则a的值为()A.6 B.5 C.4 解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，bsinA＝4得asinB＝4，又atanB＝eq\f(20,3)，所以cosB＝eq\f(3,5)，从而sinB＝eq\f(4,5)，所以a＝5.答案B6.已知函数f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))－cosωx(0<ω<3)的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f(x)的图象()A.向左平移eq\f(2π,3)个单位长度B.向右平移eq\f(2π,3)个单位长度C.向左平移eq\f(π,3)个单位长度D.向右平移eq\f(π,3)个单位长度解析f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))，又Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))在函数f(x)的图象上，∴eq\f(π,3)ω－eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，ω＝3k＋eq\f(1,2)，又0<ω<3，∴ω＝eq\f(1,2)，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6))).当将f(x)图象向右平移eq\f(2π,3)个单位，得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)－\f(π,6)))的图象，即y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,2)))＝－2cosx为偶函数.答案B7.已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，若M是线段AB的中点，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的值为()A.eq\r(3) eq\r(3) C.2 解析由eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(OB,\s\up6(→))))·eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up6(→))2＋2eq\o(OB,\s\up6(→))2＋3eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)))，又△OAB为等边三角形，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2×2cos60°＝2，eq\o(OA,\s\up6(→))2＝4，eq\o(OB,\s\up6(→))2＝4，所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝3.答案D8.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于()＋12 ＋4C.eq\f(5,3)π＋12 D.eq\f(5,3)π＋1解析由三视图知，该几何体是由一个长方体、一个半球与圆锥构成的组合体.V长方体＝3×2×2＝12，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，V圆锥＝eq\f(1,3)·π×12×1＝eq\f(π,3).故该几何体的体积V＝12＋eq\f(2,3)π＋eq\f(π,3)＝π＋12.答案A9.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为()A.7π B.14π C.eq\f(7,2)π D.eq\f(7\r(14)π,3)解析三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.所以长方体的体对角线长是eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，它的外接球半径是eq\f(\r(14),2)，外接球的表面积是4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)))eq\s\up12(2)＝14π.答案B10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是()A.f(log27)<f(－5)<f(6)B.f(log27)<f(6)<f(－5)C.f(－5)<f(log27)<f(6)D.f(－5)<f(6)<f(log27)解析由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期T＝4.又f(－x)＝－f(x)，且有f(2)＝－f(0)＝0，所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.又2<log27<3，所以0<log27－2<1，即0<log2eq\f(7,4)<1，∵x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)∈[0，1]，∴f(log27)＝－f(log27－2)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,4)))＝－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,4)＋1))＝－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2)))，又1<log2eq\f(7,2)<2，所以0<log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2)))<1，所以－1<－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2)))<0，所以f(－5)<f(log27)<f(6).答案C11.已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(2)＋1,2)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(5)－1解析如图，依题意知A(0，－1)，B(0，1)，不妨设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(x2,4)))，抛物线的准线为l，过P作PC⊥l于点C，由抛物线的定义得|PB|＝|PC|，所以m＝eq\f(|PA|,|PC|)＝eq\f(\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋1))\s\up12(2)),1＋\f(x2,4))，令t＝1＋eq\f(x2,4)，由题易得点P异于点O，所以x≠0，则t>1，m＝eq\f(\r(t2＋4t－4),t)＝eq\r(－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))\s\up12(2)＋4×\f(1,t)＋1)，当eq\f(1,t)＝eq\f(1,2)，即x＝±2时，mmax＝eq\r(2).此时|PB|＝2，|PA|＝2eq\r(2).设双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，依题意得2a＝|PA|－|PB|＝2eq\r(2)－2，2c＝2，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1.12.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)＝2x－2－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)，\f(4,e))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，\f(4,e2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,e2)，\f(2,e))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,e3)，\f(2,e2)))解析由f(x)＝2x－2－1＝0，得x＝2.依题意|2－β|<1，解得1<β<3.又g(β)＝β2－aeβ＝0，得a＝eq\f(β2,eβ)，1<β<3.设φ(x)＝eq\f(x2,ex)，x∈(1，3)，则φ′(x)＝eq\f(x（2－x）,ex)，当1<x<2时，φ′(x)>0；2<x<3时，φ′(x)<0，∴φ(x)在x＝2处有极大值，且φ(2)＝eq\f(4,e2)，又φ(1)＝eq\f(1,e)，φ(3)＝eq\f(9,e3)且φ(1)<φ(3).∴φ(x)的值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，\f(4,e2)))，故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，\f(4,e2))).答案B第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第Ⅱ卷共11小题。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a，b满足a＝(cos2018°，sin2018°)，|a＋b|＝eq\r(7)，|b|＝2，则a，b的夹角等于________.解析由条件知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝eq\r(7)，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝7，a·b＝1.故cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2)，〈a，b〉＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)14.若(x＋a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为20，则a＝________.解析由已知得Ceq\o\al(2,5)·22＋a·Ceq\o\al(3,5)·23＝20，解得a＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)15.点M是双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则圆M的半径的最小值等于________.解析不妨设点M是渐近线2x－y＝0上一点.∵圆C：x2＋y2－4x＋3＝0的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，∴圆心C(2，0)，半径R＝1.若圆M的半径最小，则圆M与圆C外切，且直线MC与直线2x－y＝0垂直.因此圆M的半径的最小值rmin＝|MC|min－R.由于|MC|min＝eq\f(|4－0|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(4\r(5),5)，故rmin＝eq\f(4\r(5),5)－1.答案eq\f(4\r(5),5)－116.如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则四边形ABCD的面积为________.解析如图所示，连接BD，因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以A＋C＝180°，则cosA＝－cosC，利用余弦定理得cosA＝eq\f(62＋52－BD2,2×6×5)，cosC＝eq\f(32＋42－BD2,2×3×4).则eq\f(62＋52－BD2,2×6×5)＝－eq\f(32＋42－BD2,2×3×4)，解得BD2＝eq\f(247,7)，所以cosC＝－eq\f(3,7).由sin2C＋cos2C＝1，得sinC＝eq\f(2\r(10),7)，因为A＋C＝180°，所以sinA＝sinC＝eq\f(2\r(10),7)，则S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×5×6×eq\f(2\r(10),7)＋eq\f(1,2)×3×4×eq\f(2\r(10),7)＝6eq\r(10).答案6eq\r(10)三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an>0(n∈N*)，S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝logeq\f(1,2)a2n－1，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,bnbn＋1)))的前n项和为Tn，求Tn.解(1)∵S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中项，∴2(S6＋a6)＝S4＋a4＋S5＋a5，∴S6＋a6－S4－a4＝S5＋a5－S6－a6，化简得4a6＝a4，设等比数列{an}的公比为q，则q2＝eq\f(a6,a4)＝eq\f(1,4)，∵an>0(n∈N*)，∴q>0，∴q＝eq\f(1,2)，∴an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－2).(2)由(1)得：bn＝logeq\f(1,2)a2n－1＝logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2n－3)＝2n－3，设cn＝eq\f(2,bnbn＋1)＝eq\f(2,（2n－3）（2n－1）)＝eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1)，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－1)－\f(1,1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))＝－1－eq\f(1,2n－1)＝－eq\f(2n,2n－1).18.某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A，B两个项目，每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A，B两个项目的测试成绩，得到A项目测试成绩的频率分布直方图和B项目测试成绩的频数分布直方表如下：A项目测试成绩频率分布直方图B项目测试成绩频数分布表分数区间频数[0，10)2[10，20)3[20，30)5[30，40)15[40，50)40[50，60]35将学生的成绩划分为三个等级如下表：分数[0，30)[30，50)[50，60]等级一般良好优秀(1)在抽取的100人中，求A项目等级为优秀的人数；(2)已知A项目等级为优秀的学生中女生有14人，A项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好合计男生女生合计参考数据：P(K2≥k0)k0参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d(3)将样本的频率作为总体的概率，并假设A项目和B项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A项目等级比B项目等级高的概率.解(1)由A项目测试成绩的频率分布直方图，得A项目等级为优秀的频率为×10＝，所以，A项目等级为优秀的人数为×100＝40.(2)由(1)知：A项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.作出2×2列联表：优秀一般或良好合计男生数262652女生数143448合计4060100计算K2＝eq\f(100（26×34－26×14）2,40×60×48×52)≈，由于K2，所以有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关.(3)设“A项目等级比B项目等级高”为事件C.记“A项目等级为良好”为事件A1；“A项目等级为优秀”为事件A2；“B项目等级为一般”为事件B0；“B项目等级为良好”为事件B1.于是P(A1)＝＋0.02)×10＝，P(A2)＝，由频率估计概率得：P(B0)＝eq\f(2＋3＋5,100)＝，P(B1)＝eq\f(40＋15,100)＝0.55.因为事件Ai与Bj相互独立，其中i＝1，2，j＝0，1.所以P(C)＝P(A1B0＋A2B1＋A2B0)＝×＋×＋×＝0.3.所以随机抽取一名学生其A项目等级比B项目等级高的概率为0.3.19.在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值.(1)证明如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，∵C1C＝A1A＝A1C，∴CD⊥A1C1，∵底面△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，∴B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，∴A1C1⊥平面B1CD，且B1C平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.(2)解法一如图，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E.∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，∴B1D⊥侧面AA1C1C，又A1C平面AA1C1C，∴B1D⊥A1C，又DE⊥A1C且B1D∩DE＝D，∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C，∴∠B1ED为所求二面角的平面角，∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝eq\r(3)，又ED＝eq\f(1,2)CC1＝eq\f(\r(2),2)，∴tan∠B1ED＝eq\f(B1D,ED)＝eq\f(\r(3),\f(\r(2),2))＝eq\r(6)，∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为eq\f(\r(42),7).法二如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(eq\r(3)，0，0)，A1(0，0，1)，B1(eq\r(3)，－1，1)，C1(0，－2，1)，C(0，－1，0)∴eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1，0)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，设m＝(x，y，z)为平面A1B1C的法向量，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1B1,\s\up6(→))＝\r(3)x－y＝0，,m·\o(A1C,\s\up6(→))＝y＋z＝0，))令y＝eq\r(3)，得m＝(1，eq\r(3)，－eq\r(3))，又eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，0)为平面A1C1C的一个法向量，设二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角，cosθ＝|cos〈m，eq\o(OB,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|m·\o(OB,\s\up6(→))|,|m||\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(7),7)，则sinθ＝eq\f(\r(42),7)，∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为eq\f(\r(42),7).20.已知抛物线x2＝2py(p>0)和圆x2＋y2＝r2(r>0)的公共弦过抛物线的焦点F，且弦长为4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与x轴的交点为M，求△ABM面积的最小值.解(1)由题意可知，2p＝4，所以p＝2.故抛物线的方程为x2＝4y.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))eq\s\up12(2)＋p2＝r2，所以r2＝5.所以圆的方程为x2＋y2＝5.(2)由题意知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为：y＝kx＋1.并设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝kx＋1，))消y可得，x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4；|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(16k2＋16)＝4(1＋k2).又y′＝eq\f(x,2)，所以过A点的切线的斜率为eq\f(x1,2)，切线为y－y1＝eq\f(x1,2)(x－x1)，令y＝0，可得，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)，0))，所以点M到直线l的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k·\f(x1,2)＋1)),\r(1＋k2))，故S△AMB＝eq\f(1,2)×4(1＋k2)×eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k·\f(x1,2)＋1)),\r(1＋k2))＝eq\r(1＋k2)|kx1＋2|，又k＝eq\f(y1－1,x1)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)－4,4x1)，代入上式并整理得S△ABM＝eq\f(1,16)·eq\f(（xeq\o\al(2,1)＋4）2,|x1|).令f(x)＝eq\f(（x2＋4）2,|x|)，可得f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝eq\f(（x2＋4）2,x)＝x3＋8x＋eq\f(16,x)，f′(x)＝3x2＋8－eq\f(16,x2)＝eq\f(（x2＋4）（3x2－4）,x2)，令f′(x)＝0，可得x＝eq\f(2\r(3),3)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，f′(x)<0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))，f′(x)>0.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))上单调递减；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))上单调递增.所以x＝eq\f(2\r(3),3)时，f(x)取得最小值eq\f(128\r(3),9)，故S△ABM的最小值为eq\f(1,16)×eq\f(128\r(3),9)＝eq\f(8\r(3),9).21.已知函数g(x)＝ax－a－lnx，f(x)＝xg(x)，且g(x)≥0.(1)求实数a的值；(2)证明：存在x0，f′(x0)＝0且0<x0<1时，f(x)≤f(x0).(1)解g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g′(x)＝a－eq\f(1,x)，x>0.因为g(x)≥0，且g(1)＝0，故只需g′(1)＝0.又g′(1)＝a－1，则a－1＝0，∴a＝1.若a＝1，则g′(x)＝1－eq\f(1,x).显然当0<x<1时，g′(x)<0，此时g(x)在(0，1)上单调递减；当x>1，g′(x)>0，此时g(x)