2023届四川省高考专家联测卷（一）数学（理）试题

2023届四川省高考专家联测卷（1）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的意义求交集.【详解】由已知得集合表示满足的实数对，集合表示满足的实数对，联立方程组，解得，表示同时满足集合与的实数对，所以，故选：D.2．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：①与的夹角为；②；③；④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）.其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用正八边形的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析各个命题即可求解.【详解】对于①，因为八边形为正八边形，所以，所以与的夹角为，①错误；对于②，，显然不成立，②错误；对于③，，所以，，所以，③正确；对于④，，向量在向量上的投影向量为，④正确，故选：B.3．设，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】，，.因为函数在上是增函数，所以.故选：C.4．设函数则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分类讨论：①当时和②当时，由单调性解不等式即可.【详解】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为，所以，解得．综上，实数的取值范围是．故选：B．5．下列命题正确的个数是（

）①命题“”的否定形式是“”；②函数的单调递增区间是；③函数是上的增函数，则实数的取值范围为；④函数的零点所在的区间，且函数只有一个零点.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】对于①，特称命题否定为全称命题即可，对于②，先求函数的定义域，再利用换元法求解，对于③，每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，对于④，利用零点存在性定理判断.【详解】对于①，命题“”的否定形式是“”，所以①正确，对于②，由，得，令，则，因为在上递增，在上递减，在定义域内递减，所以在上递减，在上递增，所以②错误，对于③，因为是上的增函数，所以，解得，所以③错误，对于④，因为和在上递减，所以在上递减，因为，所以函数只有一个零点且在上，所以④正确，故选：B6．若在上满足，当时，，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【分析】由可知函数为奇函数且周期为4，由定义在上的奇函数有即可算出,由周期性与对称性即可求出答案.【详解】因为所以函数为奇函数，关于点对称.因为所以函数为周期函数，周期.因为，令.则.所以当时，.因为令，可得所以.故选:B.7．下列说法正确的是（

）A．函数为实数集上的奇函效，当时，（a为常数），则B．已知幂函数在单调递减，则实数C．命题“，”的否定是“，”D．A，B，C所对的边分别为a，b，c，则是的充分不必要条件【答案】B【分析】根据题意可得，求得，从而可判断A；根据幂函数的定义及性质可得，从而可求出，即可判断B；根据全称命题的否定相关知识，即可判断C；直接利用正弦定理边角互化结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.【详解】对于A，因为函数为实数集上的奇函数，当时，（a为常数），所以，所以，则，故A错误；对于B，因为幂函数在上单调递减，所以，解得，故B正确；对于C，命题“，”的否定是“，”，故C错误；对于D，在中，由正弦定理可知，所以是的充要条件，故D错误.故选：B.8．设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：(i)；(ii)对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（

）A． B．，或C． D．【答案】D【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．【详解】解：对于，，存在函数，，满足：；对任意，，当时，恒有，所以选项A是“保序同构”；对于，或，存在函数，满足：；对任意，，当时，恒有，所以选项B是“保序同构”；对于，，存在函数，满足：；对任意，，当时，恒有，所以选项C是“保序同构”；对于选项D,,不存在函数，不是“保序同构”，所以选项D不是“保序同构”.故选：D．9．已知，，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】研究函数的奇偶性、单调性，将变形到函数的单调区间上且比较大小，然后运用函数单调性可得结论.【详解】因为，是偶函数，且时，是增函数，，，，，而，所以，即．故选：A．10．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据定义可以得到，，，，进而求得各个函数值，然后判定，根据，可以得到，即得的值域，从而判定．【详解】因为，，,，所以，，，，∴，①正确；，②错误；因为，，所以，故③正确；的定义域是R，因为，所以，即，∴值域是，故④错误．综上，正确的命题个数为2个，故选：B．11．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题干中的不等式，构造函数，结合在在R上为偶函数，得到在R上单调递减，其中，分与，对变形，利用函数单调性解不等式，求出解集.【详解】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在时，单调递减，又因为在在R上为偶函数，所以在R上为奇函数，故在R上单调递减，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；综上：不等式的解集为.故选：A12．偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，得到的周期，利用导数可得的单调性，即可作出在内的图象，根据周期性、对称性可得在内有个整数解，分别讨论、和三种情况下在一个周期内的整数解的个数，综合分析，即可得答案.【详解】因为为偶函数，所以，所以，所以是周期函数，且周期为，且关于直线对称，又当时，，则，令，解得，所以当时，，为增函数，当时，，为减函数，作出在内图象，如图所示：因为为偶函数，且不等式在上有且只有个整数解，所以不等式在内有个整数解，因为周期为，所以在内有个周期，所以不等式在有个整数解，（1）若，由，可得或，由图象可知不等式在内有个整数解，不等式在内无整数解，不符合题意；（2）若，则，由图象可知不等式在有个整数解，不合乎题意；（3）若，由，可得或，由图象可得在内无整数解，不符合题意，所以在内有个整数解，因为在内关于直线对称，所以在内有个整数解，因为，，，则，所以在的整数解为和，所以，解得.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.二、填空题13．已知、满足，则的最小值是__________．【答案】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，，其中表示点与连线的斜率，由图可知，直线的斜率最小，联立方程，解得，所以.故答案为：.14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为2，则△ABC面积的最小值为______．【答案】【分析】利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理即可求出角A，由三角形面积相等，结合基本不等式求面积的最小值.【详解】本题考查解三角形的应用，考查逻辑推理的核心素养．因为，所以．由余弦定理易得，又所以．因为AD平分角A，所以∠BAD＝∠CAD＝60°．由，得，即，得，当且仅当b＝c时，等号成立，所以△ABC面积的最小值为．故答案为：．15．写出a的一个值，使得直线是曲线的切线，则a=______.【答案】（答案不唯一）【分析】首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点，利用导数的几何意义，列式求参数的值.【详解】设切点为，直线恒过定点，，则，则，可得其中一个根，，此时，得.故答案为：（答案不唯一）16．斐波那契数列满足：．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设，给出以下三个命题：①；②；③．其中真命题的是________________（填上所有正确答案）【答案】①②③【分析】根据斐波那契数列的特点及所给条件进行分析计算确定正误.【详解】，，所以，即，故①正确；相加可得：即，故②正确；因为，所以又，可得，故③正确.故答案为：①②③.三、解答题17．在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②;③；④．(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；(2)已知同时满足上述四个条件中的三个．请选择使有解的三个条件，求的面积．【答案】(1)不能同时成立，理由见解析(2)答案见解析【分析】（1）由③利用二倍角余弦公式推得，由④利用余弦定理可得，即可三角形内角和可得结论；（2）确定满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选①②③，则可由正弦定理求得B，即可由三角形面积公式求得答案；若选①②④，可由余弦定理求得c，再求得，即可求得三角形面积.【详解】(1)由条件③，可得．解得或（因为,舍去），因为，所以；由条件④，可得，因为，且，而在上单调递减，所以．若条件③④能同时成立，则与矛盾，所以③④两个条件不能同时成立．(2)因为同时满足题目条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选择①②③：由（1）知，由，可得，因为，所以，所以△ABC为直角三角形，所以，所以的面积．若选择①②④：由（1）知，由，得，即，解得（负值舍去）．因为，所以，所以的面积．18．已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和为.【答案】(1)(2)【分析】(1)由递推关系取可求，当时，取递推关系中的可求，由此可得数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用裂项相消法求数列的前项和为.【详解】(1)当时，，当时，①②由①-②得，即.当时也成立，所以数列的通项公式为(2)因为，所以，所以.19．已知函数(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，(2)【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.【详解】(1)，，所以函数的最小正周期为，令，，得函数的对称轴方程为，(2)将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，所以，令，所以.又，所以在上的单调递减区间为.20．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）【答案】（1）当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况，即可得出函数的单调性；（2）利用分类参数的方法，先得到，构造新的函数，用导数的方法求其最小值，即可证明结论成立.【详解】（1）由题知函数的定义域为，①当时，，此时函数在上单调递；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递增；在上单调递减；综上，当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；（2）由题意，在上恒成立，可化为在上恒成立，设，则设，则，所以在上单调递增，又，所以方程有且只有一个实根，且，，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以函数的最小值为，从而.【点睛】思路点睛：求解不等式在给定区间内恒成立求参数的问题时，优先考虑分离参数的方法，分离出所求参数，构造新的函数，利用导数的方法求解函数的最值，进而即可求解.21．已知函数(1)求证：；(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将所证不等式转化为，再构造函数，求导分析函数的单调性，并求出最小值证明即可；（2）令，再求导分，和三种情况讨论可得的单调性，结合零点存在性定理可得的零点区间，进而判断出有最大值即可.【详解】(1)要证明，只要证明设，则，令，则；令，则，

所以在上单调递减，在单调递增，所以，即，即，即．(2)由题可得，令，则，①当时，，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，②当时，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．③当时，由，可得，∴，在上单调递增，，在上单调递减；由（1）知：．所以当时，．取，则，且．又，所以由零点存在性定理，存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意．综上，实数a的取值范围为．【点睛】本题主要