2016考研高等数学之微分中值定理导数的应用基础阶段复习点拨

【考试点·点睛】2016第一部分微分中值定理导数的应用考点梳 二、法 三、 第二部 /course/15326.html考研数学经典400题精讲（数学一） 考研数学《微积分》十五年分类详解（数学三 /course/15215.html 导学：复习目标一、中值定理，（放入级数中讲在可导则至少存在一点例例设，则在区间（-1，0）内，方程有2个实根；在（-1，1）内有2个根例例 证明存 证：设∴

使例 。解: 存使即例， 例如使。推论：如使。推论：II， 对任意满x，都有设∵∴∵∴例 ，证 求导证例二、法1、型 2 型：如：3 型：如4 5 型：如：6 型：如：7 型：如：22 ）型 法 , 后）有导数和，且 例：三 与之间）日型余（2）皮亚诺余项 1)2)四、1(函数单调性的判定法)y=f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导.(1)如果在(a,b)内f¢x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;, 驻点←ⅱ

1

满足关系 点处

， A、取得极大 某邻域内单增D、在某邻域内单减例2．已知函数对一切 ，，则A、是的极小 例3． 的某邻域内可导，，，则是的极大值 分别为最小,最大值11在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角1如则曲线是凹（凸）的,可能的拐点和不存在的点1设，试讨论 的性态x-(-01(1,++0-+0+----0+y渐近线如 如则称 2、

渐近线（斜渐近线不讨论∵ ∵ 例3 曲 的渐近线有44例1、当， 即∴证：设

∴设∴例3、当 证：令 ∵ 例4 证明设令 →在上最大值为,最小值为55，

，证明

时∴单减6设在上可导，且单调减6 ∴，即单调减，即 一、 型 ▼ 不存在时 ；二、由于、在上都满 , . 又对任 .答上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数 同．也就是说在内不一定存在同一个，使得式和式同时成立． 少存在一点，使．还至少存在一点,使分析单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用定理．由题设知 内至少存在一点使 证由于 内至少存在一点，使 ， 内至少存在一点， ．由，所 例3. 为满足方 分析证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题，就目前所掌握的知识来看主要有两种方， ， ．求 证． 定理知，在内至少存在一点，使得 . 在内至少有一个实根 分析由于直线 的斜率为，所以上述命题的本质是要证明在 内存在一点，使得． 一点，使得即可．这是一个用定理解决的问题在上满足定理的前两个条件没问题，只是由题设我们还不能直接得到所满足的是罗和2之间．因此由介值定理知，在内必存在一点，使得．这样在上对应用罗证存在一 ，使上连续,在设内必存在一点，使得 上可导内必存在一点,．．明．方法一用定理证分析要用 ． ． 可．本问题中的原函数为．证． 一点，使得 .方法二用日中值定理分析要用日中值定理证明一个含有中值的等式，第一步要将含有的项全部移到等式的右端，其余第二步是把等式右端中的都换为,

. 的原函 .本问题 的原函 . 的原函 . . 证. 上满 内必存在一点,使,.,.方法三用中值定理分析用中值定理证明一个含有中值 的等式,其第一步也是将含有的项全部移到等式的右端,其余的. 第三步把(4)式右端中的全都换为，并设分子函数 ．即．第四步是 的原函 分别． ，验 ，所=． 证．

.总结例5中方法一、方法二及方法三的分析，是用定理、日中值定理及中值定理证明含有中值这种等式的一般方法和思路，一定要掌握其要领．至于在遇到具体问题时，应当用哪个定理 等的导数，是非常有用的．下面我们应用例5中介绍的方法和思路再讨论一个问题．例6.设在上连续，在内可导 ，试证明在内必存在一点，使．分析 把(6)式右端的都换成，并．．．证． ．即.例7.设在上有二阶连续导数， ，.证明存在，.证由于函数

(在与 之间 ，，若， 都可作 ，

，；若，则介于与之间， 介于与之间．由于在．总结用 数，并且已知其多点函数值时，更应注意应用练习7的方法去证明．例8.求函 日余项的3 解，．..因此，所求3阶,其中介于 例9.求函 解，．，所 是 时 ．上式即 的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林 等例10.利 解由于是求时的极限，故分子和分母中的函数都要用麦克劳林 去表示．利用函数的麦 若将上式代入函数的分母，则分母是一个最高幂为次的多项式．因此需将函数和

，．．例11.求极 分析虽然本题是 解 例12.求解所求极限 例13. 分析这是一 ， ．因 时，必 ，所．总结数列的极限既使是未定式也不能直接应用法则，只有将数列中的换为连续自变量后，才能应例14. ， 分析所求极限为 ， 0，所 解 0知 ． 型未定 应用一次法则，． ．．． 考研数学经典400题精讲（数学一） HYPER