贵州省贵阳市2023届高三适应性考试（二）数学（理科）试题含答案

[试卷免费提供]贵阳市2023年高三适应性考试（二）理科数学2023年5月注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、报名号、座位号填写在答题卡相应位置上。2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．请保持答题卡平整，不能折叠。考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，则（）A．1或 B． C．或2 D．22．已知命题p：，不是素数，则为（）A．，是素数 B．，是素数C．，是素数 D．，是素数3．已知，，（a，），若，则（）A．， B．，C．， D．，4．已知，则（）A． B． C．1 D．5．据研究，人的智力高低可以用智商（IQ）来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（）A．13.59% B．15.65% C．27.18% D．29.14%（参考数据：若，则，，．）6．过，两点，且与直线相切的圆的方程可以是（）A． B．C． D．7．已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．98．在的展开式中，的系数为（）A． B． C．2 D．89．已知，，，则（）A． B． C． D．10．已知函数在是减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．11．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为的圆锥SO中，AB，CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（）A．5 B．6 C．7 D．8第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知，，若，则________．14．已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．15．已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是________．16．关于函数，有如下四个命题：①若，则的图象关于点对称；②若的图象关于直线对称，则；③当时，函数的极值为；④当时，函数有两个零点．其中所有真命题的序号是________．三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，且．（1）求A；（2）若，求证：△ABC是直角三角形．18．（本题满分12分）某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．（1）每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？（2）现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，D是线段上的动点，．（1）当平面时，求实数的值；（2）当平面平面时，求平面与平面所成二面角的正弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，的焦距是．（1）求的标准方程；（2）P为直线l：上任意一点，是否在x轴上存在定点T，使得直线PT与曲线的交点A，B满足？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知函数，．（1）若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值；（2）若恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．22．选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），点．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线l的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程；，（2）若l与，分别交于A，B（异于原点）两点，求△PAB的面积．23．选修4-5：不等式选讲（本题满分10分）已知a，b，c均为正数，且．（1）证明：；（2）若，求的最小值．理狀学第理狀学第2页(共6页)理狀学第理狀学第2页(共6页)贵阳市2023年高三适应性考试（二）理科数学参考答案2023年5月题号123456789101112答案BDCBACCAABDD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.题号13141516答案j_21276冗①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)由已知及正弦定理得sin24cosC->/3sin^4sinC-sinB+-^sinC=0,因为sin5=sin(71+C),sinC^O,整理有sin以+—)=—,6 2又因为A主生，2冗所以A=-,6 6分(2)(方法一)由(1)及余弦定理得a2=b2-^-c2-2bccosA=b2+c2-\/3bc ①b1=a2+ac ②联立①②得c— +tz=0由正弦定理得sinC一占sin8+!=0sin(—-B)->/3sin5+—=06 2整理得sin(5--)=-6 2B卫3TT所以A+B=-2即是直角三角形(方法二)因为护_a?=ac,de丄 4b2+c2-a2又因为cosA= 2bc得a+c=y/3b,所以=a2+ac=a(a+c),得b=0,所以b2=3a2,代入b2=a2+ac,得2a2=ac,即c=2a,所以c2=a2+b2,即即C是直角三角形.12分18.(1)三个学习群人数比例为24000:24000:36000=2:2:3因此，应从刀、B、C三个学习群分别匹配2,2,3人；(2)设X所有可能的取值为0,1,2,3,故P(X=°)=舍&Pg=譬哇12分19.解:(1)连结ACr,且AClC\AlC=E,又连结DE,•.•如〃平面AfiD, 平面ABC.且平面ABCrr\平面&CD=DE,:.AB//DE,又由E为线段/q的中点，于是，DE是△q如的中位线,理科数学第理科数学第3页(共6页)理科数学第理科数学第4页（共6页）理科数学第理科数学第4页（共6页）.・.£＞为线段及亳的中点，即2=-,2故当48〃平面4CD时，人=?. 6分(2)以C为坐标原点，以CA.CB.CQ的方向分别为x，V，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，贝！!有以下坐标刀(4,0,0),4(4,0,2),硏0,2,0),C(0,0?0),弓(0,0,2),设 JV,z),由BD=人BC］得(X,y—29z)=人(0,—2,2),x=0解得vy=—2A+2,即Z)(0,—2人+2,2/1),z—2人所以^D=(-4,-22+2,2人一2),4Q=(-4,0,0),令叫=(x,*,z)是平面4QD的一个法向量，贝!|—4x+(―2人+2)y+(2人—2)z—0TOC\o"1-5"\h\z-4x+0y+0z=0 '令*=1解得x=0,z=l,艮卩％=(0,1,1),42同理求得平面4CD的一个法向量为％=(1, —2),—2人+242 1由平面4CD丄平面4QD得0xl+lx 2=0,解得九=—,-22+2 2即Q(0,l,l),〃2=(1，2,-2),又因为而=(-4,2,0),从而可得平面ABB』】的一个法向量％=(1,2,0),设平面A.CD与平面ABBXAX所成二面角的大小为0, 则sin。=Jl-c。方=『(話溢)2=启=：,2故，当平面48丄平面4GQ时，平面4CQ与平面ABBXAX所成二面角的正弦值的为耳. 12分

20.解：(1)椭圆Q:—+^2=1(tz>/)>0)与椭圆C2—+J/2=1的咼心率相等，a2=2b1,又由a2=1^+ =4?62=2,故，G的标准方程为—+ =1 6分(2)设T(t,0),尸(4,/?),/(Xi，/),B(x2,y2)，则直线48方程为x=my+t,即有mp=4-t,PAAT —^一一•—•由 = ,可得PA•TB—PB-AT—09PBTB于是有，(同_4)(%2T)+(*1_>)(*2-0)+(x2 4)(*1一，)+(*2_>)侦1_0)=0化简得：2*內+2*1*2-(，+4)(*1+乂2)-#(*1+*2)+8，=0,变形得：（2m2+2）加2+（m-4秫一#）31+*2）=0（*）由"了n（秫2+2）j?+2秫〃+（户一4）=02mt3+乃=2mt3+乃=m+2t2-4坦2= 2,0m+2当八=4秫2户_4（秫2+2）（户一4）＞0时，＜将上式与mp=4-t共同代入（*）,化简得：（Sl）（＞2+l）=0,即£=1,且此时△＞（）成立,PAAT故存在x轴上定点T（l,0）,使得；.PBTB 12分2i.解：⑴设切点M（xo,y）,贝|j由e）=y,可得尸（沪（2"1）峪，X—0"•*/\x0)=kPM^ (2xo+1)^2x°=— ,化简得：2x^-2txQ-t=0,XL依题意△=4户+&=0,解得£=0或，=-2,故，，=0或/=-2时，过点尸作曲线f(x)=xe2x的切线有且仅有一条. 6分（2）解法一： 依题意，由xc（0,+8）,所以，/（x）Ng（x）o〃W殴一虹口理科数学第理科数学第6页（共6页）、 2*lnx+1柯7”、2xe+Inx设fl(x)=峪 ,贝l]h'(x)= z ,X X设m(x)=2x2e2x+lnx，易知％，(x)=(4x2+4x)e2x+丄>0,即m(x)在xg(O,+oo)单调递增,X且XT。时，m(x)-00,x->+00时，m(x)->+oo,.••令m(x)=2x2e2x+Inx=0,则该方程有唯一解吒,使得在xe(05x0)5h\x)<0,A(x)单调递减,在xe(x0,+oo)5h'(x)>0,h(x)单调递增，即x=吒是函数h(x)极小值点,且有2蚌殴+inXo=0,. 1 1对数恒等式 1In— 1上式变形得:2xQe2x°=—ln—n2x0-e2x°=ln—-e =>/(2x0)=/(ln—),(*)气气 吒 吒由(1)可知尸3)>0,即/'(x)在xg(05+oo)单调递增，则(*)可得2此=111丄，即有=—与血气二―2x°x():.h(x)^h(x0)=e2」些厘=--主卍=2,即応2,*0X。Xq故，综上所述，a的取值范围是(-8,2].解法二：由xg(0,-ko),以及切线不等式：ex>x+l,3=0时取等号)/(x)=xe2x=etox-e2x=etox+2x>lnx+2x+1.•.当aW2时，y(x)Nlnx+2x+lNlnx+ax+l=g(x),即此时，/"(x)Ng(x)成立又当a>2时，存在气〉0满足lnx0=-2x0,即x0e2x°=1,此时，/(x)-g(x)=x0e2x°-ax0-lnx0-l=(2-a)x0<0,不合题意.综上所述，a的取值范围是（-8,2].12分22.(1)由G的参数方程得x2=t2+64+16< t2矿=『+?-16所以x2-y2=32故C\的极坐标方程为p2cos20=32

(2)e=-< 6 q』=8,p2cos20=32\^\~\Pa-扇=5又•.•点尸(4,0)到射线的距离为20=-6 nPb=3p=0=-6 nPb=3p=2a/3cos^10分23.(1)由柯西不等式得[a2+(2b)2+(2