非线性 时间序列 模型

非线性时间序列模型第1页，共31页，2023年，2月20日，星期四线性模型AR模型MA模型ARMA模型ARIMA模型第2页，共31页，2023年，2月20日，星期四非线性模型ARCH模型门限模型区制转移模型平滑转移模型STR第3页，共31页，2023年，2月20日，星期四自回归条件异方差（ARCH）模型ARCH模型首先由Engle（1982）为建模英国的通货膨胀的预报方差而引进，用于建模时间序列变化的（条件）方差或波动性，从此这个模型被广泛地用来建模金融和经济时间序列的波动率。第4页，共31页，2023年，2月20日，星期四自回归条件异方差（ARCH）模型和其中第5页，共31页，2023年，2月20日，星期四Bollerslev(1986)引进了广义自回归条件异方差（GRACH）模型其中广义自回归条件异方差（GARCH）模型第6页，共31页，2023年，2月20日，星期四门限模型由H.Tong提出的门限自回归（TAR）模型假定在状态空间的不同区域，模型有不同的线性形式，状态空间的划分通常由一个门限变量来描述。第7页，共31页，2023年，2月20日，星期四具有分段的门限自回归（TAR）模型定义为其中是一些未知的正整数，且是未知参数，构成的一个分割，其含义是对所有的门限自回归模型（TAR）第8页，共31页，2023年，2月20日，星期四门限自回归模型（TAR）TAR模型的有用性归因于逐段线性函数类实际上可以为更复杂的非线性函数提供简单和易于操作的逼近。第9页，共31页，2023年，2月20日，星期四Markov区制转移模型

Markov区制转移模型最早由Hamilton（1989）提出并应用到经济周期阶段性的转变研究，随后被广泛应用于宏观经济分析和金融行为分析当中。第10页，共31页，2023年，2月20日，星期四Markov区制转移模型

Markov区制转移模型能够给出数据生成过程中结构变化的转移概率，并模拟出时间序列的内生变化过程，能够更好的模拟动态变化过程；Markov区制转移模型能够详细的给出研究变量的区制和区制转移时间，可以分阶段对比政策对经济的作用效果。第11页，共31页，2023年，2月20日，星期四平滑转移模型

平滑转移模型（smoothtransitionregression）主要解决经济过程的机制转化行为，将数据生成过程中的非线性信息转换成可控制的模型机制，它可以通过选取不同的转移变量或转移函数形式较为准确的捕捉经济过程中对称与非对称的转换。第12页，共31页，2023年，2月20日，星期四一般的STR模型可用两个线性模型的加权平均形式表出，权数可由某个分布函数来充当，而转换变量则可以控制因变量在不同状态之间的转换。经典的具有m个解释变量的STR模型可以写成如下形式：

（1）平滑转移模型第13页，共31页，2023年，2月20日，星期四其中，模型自变量的滞后阶数可通过AIC或SIC准则判断，并综合考虑参数估计值的T统计量和残差的自相关检验，从较大的阶数逐一剔除。是自变量组成的向量，既包含因变量滞后值又可以包含其他的外生解释变量，p+k=m，平滑转移模型第14页，共31页，2023年，2月20日，星期四与是两种不同状态下的截距项，与对应不同状态的参数向量。是取值范围在0-1之间的一个连续、有界函数，起到链接两个线性模型的传递作用，是转换变量，既可以是向量的一个元素，也可以是时间趋势、因变量的前定变量或两者的一个线性组合，是服从独立同分布的误差序列。平滑转移模型第15页，共31页，2023年，2月20日，星期四 为了求解模型参数的方便，我们通常把一般意义下的STR模型写成一个线性模型与一个非线性部分的和的形式：

（2）

是斜率参数在不同状态间的差异。平滑转移模型第16页，共31页，2023年，2月20日，星期四STR模型建模步骤一、模型的线性部分，通常采用VAR模型通过滞后阶数进行判定二、模型的非线性部分，利用LM统计量检验模型的非线性；当确定为非线性之后，进行序贯检验，确定转换变量以及STR模型的形式（LSTR1或者LSTR2）。三、进行参数估计（位置参数和平滑参数）。四、得到STR模型的具体形式后，进行模型评价。主要包括模型的残余非线性检验，残差的自相关性检验，异方差性检验以及正态性检验等。第17页，共31页，2023年，2月20日，星期四平滑转移模型根据转换函数形式的不同，Granger和Teräsvirta把STR模型具体分为逻辑形式STR模型（LogisticSTR，LSTR）和指数形式的STR模型（ExponentialSTR，ESTR）两大类。第18页，共31页，2023年，2月20日，星期四平滑转移模型在LSTR模型中，转换函数被认为是服从逻辑函数的形式：

（3）而在ESTR模型中，转换函数又可以采用指数函数的形式：

（4）第19页，共31页，2023年，2月20日，星期四以上两式中的c可以认为是在两个状态之间发生转换的临界值，用来确定状态转换发生的时间，是平滑参数，当很大时，转换变量相对于临界值很小的变化都能导致剧烈的状态转换，当其趋于无穷时，取值在临界值c周围的变化是瞬时的，当时，上述两种非线性模型的非线性部分消失，变为一个线性模型。平滑转移模型第20页，共31页，2023年，2月20日，星期四LSTR转换函数和ESTR转换函数的区别 LSTR转换函数随的增加而单调递增，在超过或没超过临界值c时有不对称的动态行为，只要大于c，其对因变量的影响就是持久的；但在ESTR模型转换函数中，当在临界值周围运动时呈对称分布，越靠近c，越逼近于0，越远离c，越向1靠近，也就是说此时在不同的状态中有相同的动态行为但在临界值附近却有不同的动态过程，对并没有长期的影响。第21页，共31页，2023年，2月20日，星期四平滑转移模型在对STR模型进行参数估计之前，我们需要知道一个经济行为是否可以用STR模型去拟合，即首先要检验非线性的STR模型设定是否正确。Luukkonen和Saikkonen等（1988）提出可以将转换函数用适当的泰勒级数展开式近似替代，同时使用渐进服从分布的LM统计量检验模型的线性和非线性性质，LM统计量可以用于检验特定的非线性类型，这有助于我们选择具体的非线性函数。第22页，共31页，2023年，2月20日，星期四平滑转移模型Teräsvirta（1994）提出了一个通常可以检验STR模型框架的构想，这种方法也可用于确定序列能否被模型化为最优的LSTR模型或ESTR模型。这个检验基于（2）式模型转换函数的三阶泰勒展开。第23页，共31页，2023年，2月20日，星期四假定正确设定的模型应该是LSTR形式的，现将写为：

（5）当线性原假设成立，即时，也成立，现求在为0附近的三阶泰勒展开最后可得

（6）平滑转移模型第24页，共31页，2023年，2月20日，星期四其中，是m维的系数向量，为泰勒展开的余项，在线性零假设成立时恒为零，所以这个余项不影响零假设成立时残差的统计性质，也就不会影响统计量的分布。平滑转移模型第25页，共31页，2023年，2月20日，星期四检验原模型（2）的线性原假设就相当于检验辅助回归（6）式中而备择假设此时变为。同理，当进行ESTR形式的模型设定检验的时候，只要令转换函数如下即可 将转换函数带入到（2）式后可得简化形为：

（7）平滑转移模型第26页，共31页，2023年，2月20日，星期四整个检验过程按照下面的步骤进行：第一步：建立对带有截距项的最优线性模型，并计算残差和残差平方和。第二步：以为因变量，对，，进行有截距的回归，计算此时的残差平方和。平滑转移模型第27页，共31页，2023年，2月20日，星期四第三步：计算F统计量，检验线性零假设。在转换变量服从平稳时间序列时，如下结论成立：平滑转移模型第28页，共31页，2023年，2月20日，星期四第四步：若上一步的检验结果拒绝了原假设，肯定了非线性的STR模型，接下来就要在LSTR模型和ESTR模型中进行选择。Teräsvirta(1998)提出了一种有效的方法，对（6）式进行如下的序贯检验，这一检验具有递归性，原检验和备择假设分别为:平滑转移模型第29页，共31页，2023年，2月20日，星期四平滑转移模型若拒绝，就选择L