非线性规划讲稿交通系统工程

非线性规划讲稿交通系统工程2023/5/8第1页，共90页，2023年，2月20日，星期四线性规划：目标函数线性函数约束条件非线性规划：目标函数非线性函数线性函数约束条件第四章非线性规划2023/5/8第2页，共90页，2023年，2月20日，星期四数学规划问题的分类若f(x),gi(x),hj(x)为线性函数，即为线性规划(LP)；若f(x),gi(x),hj(x)至少一个为非线性，即为非线性规划(NLP)；对于非线性规划，若没有gi(x),hj(x)即X=Rn,称为无约束非线性规划或无约束最优化问题；否则称为约束非线性规划或约束最优化问题。2023/5/8第3页，共90页，2023年，2月20日，星期四X*=(1,1)X2X102121X2X102121线性规划：如果最优解存在，它一定存在于其可行域的边界上…

非线性规划：如果最优解存在，它未必一定存在于其可行域的边界上，也可以出现在可行域的内部…2023/5/8第4页，共90页，2023年，2月20日，星期四例:2023/5/8第5页，共90页，2023年，2月20日，星期四三角形表示的是可行域同心圆表示的是目标函数的等值线最优解为（1/2，1/2）最优值为1/21/21/22023/5/8第6页，共90页，2023年，2月20日，星期四非线性规划方法概述微分学方法的局限性：实际的问题中，函数可能是不连续或者不可微的。需要解复杂的方程组，而方程组到目前仍没有有效的算法。实际的问题可能含有不等式约束，微分学方法不易处理。2023/5/8第7页，共90页，2023年，2月20日，星期四数值方法的基本思路：迭代给定初始点x0根据x0,依次迭代产生点列{xk}{xk}的最后一点为最优解{xk}有限{xk}无限{xk}收敛于最优解2023/5/8第8页，共90页，2023年，2月20日，星期四迭代格式:xkxk+1pk称pk为第k轮搜索方向，tk为第k轮沿pk方向的步长。产生tk和pk的不同方法，形成了不同的算法。2023/5/8第9页，共90页，2023年，2月20日，星期四一、无约束的数学模型解法：一维搜索法(无约束极小点问题)最速下降法（无约束最优化问题）牛顿法拟牛顿法……

2023/5/8第10页，共90页，2023年，2月20日，星期四一维搜索方法单峰函数

值得注意的是单峰函数不一定可导，也不一定连续；严格凸函数及其许多推广都是单峰函数；另外，单峰函数有一个性质——通过在区间内相异两点函数值的计算就能划定极小点的位置。

单峰函数举例2023/5/8第11页，共90页，2023年，2月20日，星期四搜索区间2023/5/8第12页，共90页，2023年，2月20日，星期四一维搜索方法搜索法发展的理由：在许多实际问题中，目标函数不满足凸性，于是促使人们考虑直接从函数的特性出发，对局部最优解进行搜索。基本结构：初始点t(0)确定移动方向t(k)精度检查YN停止2023/5/8第13页，共90页，2023年，2月20日，星期四一维搜索方法——基本原理（1）通过比较搜索区间内两点的函数值，逐步缩短搜索区间。比如：（2）控制缩短率（每次留下的区间与原区间长度之比）的变化，使整体效益最佳。如何控制缩短率？？上述两个问题是有联系的。2023/5/8第14页，共90页，2023年，2月20日，星期四但由于事先不能估计t*的确切位置，于是考虑采取下面的对策：使所选点在搜索区间内处于对称位置——取点对称原则，这样无论去掉哪一段区间都差别不大。为了使搜索区间缩短的快一些，希望每次从原搜索区间中去掉的部分大一些。假定选的两个内点偏向一侧，其中，则可能去掉较大的一段区间2023/5/8第15页，共90页，2023年，2月20日，星期四在上述原则下，为使去掉的区间长一些，就一次而论，应使两点尽量靠近区间中点，这样无论去掉哪一侧，都可使区间缩短近一半，但是，由于此次留下的内点相当靠近留下的区间的一侧，下一步再按对称原则增选内点时，在去掉的区间部分必然较小，总体效益不好。于是考虑采取如下对策，区间缩短率固定。由于取点对称，区间缩短率>0.5。按照取点对称和缩短率恒定两条原则，计算缩短率。2023/5/8第16页，共90页，2023年，2月20日，星期四区间缩小比例的确定：区间缩短比例为(t2-a)/(b-a)缩短比例为(b-t1)/(b-a)缩短比例满足：每次插入搜索点使得两个区间[a,t2]和[t1,b]相等；每次迭代都以相等的比例缩小区间。0.618法t1t2ababt1t2退出前一页后一页一维搜索方法——0.618法2023/5/8第17页，共90页，2023年，2月20日，星期四确定[a,b],计算探索点t1=a+0.382(b-a)t2=a+0.618(b-a)是否是停止，输出t1否以[a,t2]为新的搜索区间是停止，输出t2否以[t1,b]为新的搜索区间退出前一页后一页如果给定下单峰区间[a,b]及控制误差，0.618法解题步骤如下：2023/5/8第18页，共90页，2023年，2月20日，星期四例：解：t1t230t1、第一轮：t1=1.146,t2=1.854t2－0>0.5退出前一页后一页2023/5/8第19页，共90页，2023年，2月20日，星期四2、第二轮：t2=1.146,t1=0.708t2－0=1.146>0.53、第三轮：t1=0.438,t2=0.708b-t1=1.146-0.438>0.51.8540tt2t11.4160tt2t1退出前一页后一页2023/5/8第20页，共90页，2023年，2月20日，星期四4、第四轮：t2=0.876,t1=0.708b-t1=1.146-0.708<0.5输出：t*=t2=0.876为最优解，最优值为-0.079801.416tt1t2退出前一页后一页2023/5/8第21页，共90页，2023年，2月20日，星期四一般来说，0.618法的计算步骤如下：2023/5/8第22页，共90页，2023年，2月20日，星期四0.618法中采用进退算法求初始区间2023/5/8第23页，共90页，2023年，2月20日，星期四关于梯度的复习：梯度是一个向量。n元函数f(x1,x2,…xn)在某点x处的梯度为：梯度的方向与函数f的等值线的一个法线方向相同，从较低的等值线指向较高的等值线。梯度的方向就是函数f的值增加最快的方向，其相反方向就是函数值降低最快的方向。无约束最优化方法——最速下降法退出前一页后一页2023/5/8第24页，共90页，2023年，2月20日，星期四第八章一、方向导数

机动目录上页下页返回结束二、梯度三、物理意义方向导数与梯度2023/5/8第25页，共90页，2023年，2月20日，星期四一、方向导数定义:若函数则称为函数在点

P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为

)存在下列极限:机动目录上页下页返回结束记作2023/5/8第26页，共90页，2023年，2月20日，星期四定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得机动目录上页下页返回结束故2023/5/8第27页，共90页，2023年，2月20日，星期四机动目录上页下页返回结束对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角2023/5/8第28页，共90页，2023年，2月20日，星期四例1.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:

向量

l

的方向余弦为2023/5/8第29页，共90页，2023年，2月20日，星期四例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为机动目录上页下页返回结束2023/5/8第30页，共90页，2023年，2月20日，星期四例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束2023/5/8第31页，共90页，2023年，2月20日，星期四二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束2023/5/8第32页，共90页，2023年，2月20日，星期四1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义2023/5/8第33页，共90页，2023年，2月20日，星期四函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动目录上页下页返回结束称为函数f

的等值线

.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.2023/5/8第34页，共90页，2023年，2月20日，星期四最速下降法又称为梯度法，由Cauchy于1847年给出。最速下降法解决的是具有连续可微的目标函数的UMP问题。最速下降法的基本思想：从当前点xk出发寻找使得目标函数下降最快的方向，即负梯度方向。退出前一页后一页2023/5/8第35页，共90页，2023年，2月20日，星期四最速下降法计算步骤：选区初始点x0和精度计算是否停止，输出x0求p0=计算t0,使计算x1=x0-t0p0退出前一页后一页2023/5/8第36页，共90页，2023年，2月20日，星期四例解：退出前一页后一页2023/5/8第37页，共90页，2023年，2月20日，星期四第六章排队论排队论(QueuingTheory)，又称随机服务系统理论(RandomServiceSystemTheory),是一门研究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。前言2023/5/8第38页，共90页，2023年，2月20日，星期四排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如，上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常常出现排队和等待现象。除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。2023/5/8第39页，共90页，2023年，2月20日，星期四排队的不一定是人，也可以是物例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。2023/5/8第40页，共90页，2023年，2月20日，星期四显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服务的机构或人称为“服务台”或“服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统。2023/5/8第41页，共90页，2023年，2月20日，星期四面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队，通常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。于是，顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，这就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决的问题。2023/5/8第42页，共90页，2023年，2月20日，星期四排队论是1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时创立的，几十年来排队论的应用领域越来越广泛，理论也日渐完善。特别是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速发展，更为排队论的应用开拓了宽阔的前景。2023/5/8第43页，共90页，2023年，2月20日，星期四排队论研究的基本问题排队论研究的首要问题是排队系统主要数量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相关的还包括排队系统的统计推断问题。(1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征。(2)统计推断问题，建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务时间的分布及有关参数等。2023/5/8第44页，共90页，2023年，2月20日，星期四(3)系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本目的是使系统处于最优或最合理的状态。系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其内容很多，有最少费用问题、服务率的控制问题、服务台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的最优排序等方面的问题。2023/5/8第45页，共90页，2023年，2月20日，星期四第一节排队论的基本知识服务过程特征1）有要求服务的人或物。如：去食堂就餐的顾客，去医院看病的病人，要求通过交叉口的汽车，请求着陆的飞机等。2）有为顾客服务的人或物。如：食堂服务员，医院大夫，信号交叉口，飞机跑道等，在排队论中，统称它们为“服务员”或“服务台”。由顾客和服务员组成一个服务系统。2023/5/8第46页，共90页，2023年，2月20日，星期四3）顾客到达服务系统的时刻是随机的。如：汽车到达交叉口，顾客到达商店等都是随机的。每位顾客需要的服务时间也是随机的，有的服务时间长，有的服务时间短。因而整个服务系统的状态也是随机的。服务系统的随机性造成某个阶段顾客排队长，而某些时候，服务员又空闲无事。2023/5/8第47页，共90页，2023年，2月20日，星期四一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。排队过程的一般过程可用下图表示。我们所说的服务系统就是指图中实框所包括的部分。对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。它们可以是人，也可以是某种物质或设备。排队可以是有形的，也可以是无形的。排队过程的一般表示2023/5/8第48页，共90页，2023年，2月20日，星期四损失制系统

当顾客到达这种服务系统时，若服务员都忙着，则顾客立即离去，另求服务。例如，打电话遇到占线，用户搁置而去；汽车停车场放满时，就立即离去，另找停车场。等待制系统

顾客到达该服务系统时，服务员都在为先到的顾客服务，后到的顾客只好参加排队，等候服务，一直等到有空的服务员来为它服务为止。例如，汽车在通过信号交叉口时，如果遇到红灯，汽车只好在停车线后排队等候，等到绿灯时通过。服务系统分类2023/5/8第49页，共90页，2023年，2月20日，星期四混合制系统

介于前两个系统之间，当顾客到达时，若服务员都不空，他就排队，但如果顾客到达时服务员都不空，且排队位置已满，顾客就立即离去，这是排队长度有限制的服务系统。例如，去理发店理发，当等待理发的位置都满时，后来的顾客只得离去。在混合制中，还有另外一种形式：当顾客到达时，服务员不空，他就排队，等待服务，当顾客等了一段时间后，仍轮不到为他服务，顾客就离开队列，另求服务，这称为排队时间有限制的服务系统。例如，药品、电子元件等过期失效均属此类系统。如果服务系统中只有一个服务员，则称为单通道服务系统，若在系统中配备多个服务员则称之为多通道服务系统。服务系统分类2023/5/8第50页，共90页，2023年，2月20日，星期四服务系统组成

尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构。

1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。包括：

顾客源中顾客的数量是确定型的还是随机型的；如：列车是按列车时刻表进站，到站时刻是确定型的；城市信号交叉口，汽车到达交叉口的时刻是随机的。顾客的总体（即顾客源）的组成是无限的还是有限的。如，在道路交叉口，到达车辆的总体可以看成是无限的，而工厂内停机待修的机器显然是有限的。2023/5/8第51页，共90页，2023年，2月20日，星期四2）排队规则:（在损失制系统中，没有顾客排队，所以不存在排队问题，这里的排队规则是相对于等待制和混合制系统而言的）先到先服务（FCFS）：即按顾客到达的先后次序给予服务，这是最普遍的情况。后到先服务（LCFS）：如在情报系统中，最后到达的情报往往是最有价值的，应优先采用；如堆在仓库中的钢板，使用时先用堆在上面的（即后堆上去的）钢板。2023/5/8第52页，共90页，2023年，2月20日，星期四随机服务（RSS）：当一个顾客被服务完了之后，服务员从排队的顾客中任取一个，给予服务。如电话交换台接通呼叫电话就是一例。有优先权的服务（PR）：分轻重缓急给予服务。如加急电报要先于普通电报拍发；重病号应先于轻病号医疗等。2023/5/8第53页，共90页，2023年，2月20日，星期四3）服务机构：

包括为每个顾客服务所需时间的概率分布，服务台的数目以及服务台的排列方式（串联、并联等）。顾客的服务时间一般具有两种形式：一种是每个顾客的服务时间是一个确定量，一种是每个顾客的服务时间是一个随机变量，它服从某一概率分布。对于服务台的排列方式，分单通道与多通道两种。单通道服务系统单通道单服务台系统单通道多服务台串联系统(如装配流水线)2023/5/8第54页，共90页，2023年，2月20日，星期四多通道服务系统可通的多通道系统不可通的多通道系统多通道混合系统2023/5/8第55页，共90页，2023年，2月20日，星期四

排队模型的表示方法

D.G.Kendall在1953年提出了一个分类方法，按照系统的三个最主要的、影响最大的三个特征要素进行分类，它们是：顾客相继到达的间隔时间分布、服务时间的分布、并列的服务台个数。按照这三个特征要素分类的排队系统，用符号（称为Kendall记号）表示为

X/Y/Z其中X处填写顾客相继到达的间隔时间分布，Y处填写服务时间的分布，Z处填写并列的服务台个数。例如M/M/1，表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布、单服务台的模型。2023/5/8第56页，共90页，2023年，2月20日，星期四后来，在1971年关于排队论符号标准化的会议上决定，将Kendall符号扩充为：

X/Y/Z/A/B/C

其中前三项意义不变。A处填写系统容量限制;

B处填写顾客源中的顾客数目;C处填写服务规则（如先到先服务FCFS，后到先服务LCFS）。

表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号为：M----指数分布或泊松输入；D----定长分布；Ek----k阶爱尔朗分布；GI----一般独立随机分布；G----一般随机分布。2023/5/8第57页，共90页，2023年，2月20日，星期四第二节顾客到达分布和服务时间分布泊松分布负指数分布2023/5/8第58页，共90页，2023年，2月20日，星期四

泊松(poisson)输入，又称最简单流。满足下面3个条件的输入称之为最简单流。(1)平稳性。又称作输入过程是平稳的，指在长度为t的时段内恰好到达k个顾客的概率仅与时段长度有关，而与时段起点无关。即对任意∈(0,∞)，在(,+t]或(0,t)内恰好到达k个顾客的概率相等：设初始条件为,且有。2023/5/8第59页，共90页，2023年，2月20日，星期四(2)无后效性。指在任意几个不相交的时间区间内，各自到达的顾客数是相互独立的。通俗地说就是以前到达的顾客情况，对以后顾客的到来没有影响。否则就是关联的。(3)单个性又称普通性。指在充分小的时段内最多到达一个顾客。在一个充分小的时间间隔里不可能有两个或两个以上的顾客到达，只能有一个顾客到达。换句话说，有两个或两个以上的顾客到达的概率与有一个顾客到达的概率相比小到可以忽略的程度。因为泊松流实际应用最广，也最容易处理，因而研究得也较多．可以证明，对于泊松流，在长度为t的时间内到达K个顾客的概率vk(t)服从泊松分布，即2023/5/8第60页，共90页，2023年，2月20日，星期四如果顾客的到达过程（在确定的时间区间内到达的顾客数）服从最简单流，则顾客的到达时间间隔服从参数为的负指数分布。如果顾客的服务过程（即离开服务台的过程）服从最简单流，则顾客的服务时间服从参数的负指数分布。2023/5/8第61页，共90页，2023年，2月20日，星期四第三节生灭过程考察一个随机过程，若己知现在t的状态X(t)，那么将来的状态X(t+n)取值（或取某些状态）的概率与过去状态X(s)（s<t）取值无关，或更简单的说，己知现在，将来与过去无关（条件独立），则称此性质为马尔可夫性（无后效性或简称马氏性）。具有这种马尔可夫性的过程称为马尔可夫过程。2023/5/8第62页，共90页，2023年，2月20日，星期四+O(△t)+O(△t)2023/5/8第63页，共90页，2023年，2月20日，星期四设有某个系统，具有0，1，2……状态，令N（t）表示系统在时刻t所处的状态（即顾客数）。在任一时刻t，若系统处于状态j，则在（t，t+△t）内系统由状态j转移到状态j+1（j≥0）的概率为，而由状态j转移到状态j-1（j≥1）的概率为其中为固定常数，并且在（t，t+△t）内发生两次以上转移的概率为o（△t），这样的一个系统状态随时间变化的过程就称为一个生灭过程。生灭过程之定义2023/5/8第64页，共90页，2023年，2月20日，星期四系统在t+△t时刻有j个顾客，共有四种情况（这几种情况是互斥的）：2023/5/8第65页，共90页，2023年，2月20日，星期四①③②若排队系统的容量为无限，则在式①中，令n=∞并去掉式③即可。上面得到的哥尔莫可尔夫方程，它的解与系统所处的时刻有关。一般来说，当系统处于运行的最初阶段，它与系统的初始条件有关，但我们关心的是系统处于长期工作的情况。可以证明，当t→∞时，Pj（t）趋于一个常数，即系统达到了统计平衡状态，或者说系统达到了稳定。2023/5/8第66页，共90页，2023年，2月20日，星期四排队系统的状态概率j表示系统中有j个顾客的状态2023/5/8第67页，共90页，2023年，2月20日，星期四各状态概率间的关系在实际应用中，我们不可能等到当t→∞，但对于绝大多数实际问题，系统会很快地趋于统计平衡状态。2023/5/8第68页，共90页，2023年，2月20日，星期四例6-2P1472023/5/8第69页，共90页，2023年，2月20日，星期四第四节标准M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)排队系统的状态n（n个顾客，其中n-1个顾客排队）随时间变化的过程称为生灭过程，设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统（M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：01

n-1n

n+1...

λλλλλλ

μμμμμμ

稳态概率方程如下：

-λP0=μP1λPn-1+μPn+1=λPn+μPn设ρ=λ/μ<1，考虑到Pn=1，解得

P0=1-ρPn=(1-ρ)ρn,n≥1

这里的ρ称为服务强度，它刻划了服务机构的繁忙程度，所以又称服务机构的利用率。2023/5/8第70页，共90页，2023年，2月20日，星期四在M/M/1/∞/∞排队系统中，必须有ρ<1,即服务率大于到达率。如果ρ>1，即单位时间内到达服务系统的顾客数大于离开服务系统的顾客数，那么当t→∞时，排队长度将无限增加，使系统达不到稳定状态。当ρ=1时，系统的负荷水平达到100%，即单位时间内到达的顾客数等于离开的顾客数，但这时也无法达到稳定状态。虽然这时平均到达率等于平均服务率，但由于到达是随机的，可能有些时候服务台是空闲的，因而失去了一些可用于服务的时间，这种时间损失越多，排队积累越快，渐渐的越排越长，而达不到统计平衡。2023/5/8第71页，共90页，2023年，2月20日，星期四服务系统的运行指标

对于一个排队系统，运行状况的好坏既涉及到顾客的利益，又涉及到服务机构的利益，还有社会效果好坏的问题。为了研究排队系统运行的效率、估计服务质量、研究设计改进措施，必须确定一些基本指标，用以判断系统运行状况的优劣。下面介绍几种常用的指标。

1)队长：把系统中的顾客数称为队长，它的期望值记作Ls。而把系统中排队等待服务的顾客数称为排队长（队列长），它的期望值记作Lq。显然有

队长＝排队长＋正被服务的顾客数。2023/5/8第72页，共90页，2023年，2月20日，星期四2)逗留时间：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时间称为逗留时间，它的期望值记作Ws。

一个顾客在系统中排队等待的时间称为等待时间（或排队时间），它的期望值记作Wq。显然有

逗留时间＝等待时间＋服务时间。3）忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止的时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。研究目的：通过对排队系统中概率规律的研究，使系统达到最优设计和最优控制，以最小费用实现系统的最大效益。2023/5/8第73页，共90页，2023年，2月20日，星期四

平均队长：

Ls=ΣnPn=λ/(μ–λ)平均排队长：

Lq=Σ(n–1)Pn=ρλ(μ-λ)=Ls–ρ=Ls–(1-P0)逗留时间分布函数为:F(ω)=1–e－(μ－λ)ω平均逗留时间:Ws=1/(μ–λ)=Ls/λ平均等待时间:Wq=Ws–1/μ=Lq/λ

系统的各项运行指标计算P1492023/5/8第74页，共90页，2023年，2月20日，星期四例6-3P1502023/5/8第75页，共90页，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第76页，共90页，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第77页，共90页，2023年，2月20日，星期四系统运行指标系统平均顾客数（队长）:系统平均排队顾客数（排队长）：顾客在系统中的平均逗留时间:顾客在系统中的平均等待时间:

2023/5/8第78页，共90页，2023年，2月20日，星期四在系统中，当排队长度未满排队容量时，平均到达率为，而一旦排满，到达率为0，即：对于损失制和混合制的排队系统，顾客在到达服务系统时，若系统容量已满，则自行消失。这就是说，到达的顾客不一定全部进入系统，为此：有必要寻求整个过程的有效到达率，取有效到达率为到达率的期望值，即每单位时间内进入系统的平均顾客数：2023/5/8第79页，共90页，2023年，2月20日，星期四工程实例例一P152例二P153例三停车规划项目

2023/5/8第80页，共90页，2023年，2月20日，星期四[例6-4]某市区有一加油站为汽车加油。站上服务台平均36s时间处理一辆汽车，加油时间服从负指数分布，汽车到加油站加