高中人教B第二册案：5.1.1第2课时　分层抽样含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：5.1.1第2课时分层抽样含解析NNN第2课时分层抽样素养目标·定方向课程标准学法解读1.通过实例，了解分层抽样的特点和使用范围．2．了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．通过分层抽样的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养．必备知识·探新知知识点分层抽样1．定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有__明显差别__的、__互不重叠__的几部分时,每一部分可称为层,在各层中按__层在总体中所占比例__进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样）思考1:如何理解“层在总体中所占比例”？提示:从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x,y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么eq\f（a，x）＝eq\f（b，y)＝eq\f(c，z）＝eq\f（n，N）．2．应用的广泛性（1)分层抽样所得到的样本,一般更具有代表性,可以更准确地反映总体的特征,尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此．(2)分层抽样在各层中抽样时,还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法．（3）想同时获取总体的信息和各层的内部信息时，常采用分层抽样．思考2:简单随机抽样和分层抽样的联系和区别是什么?提示：类别简单随机抽样分层抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互联系在各层抽样时采用简单随机抽样适用范围总体中的个体数较少总体由存在明显差异的几部分组成共同点①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等②每次抽出个体后不再放回,即不放回抽样关键能力·攻重难题型探究题型分层抽样的概念┃┃典例剖析__■典例1下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(B）A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户．为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本C．从1000名工人中抽取100人调查上班途中所用的时间D．从生产流水线上抽取样本检查产品质量[分析]根据分层抽样的特点选取．［解析]A中总体所含个体无差异且个数较少,适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．规律方法：分层抽样的依据（1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．（2)样本能更充分地反映总体的情况．(3）等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都相等．┃┃对点训练__■1．（1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一层（类），然后每层抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(C）A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽取的个体数量相同（2）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是__分层抽样__．[解析］(1）保证每个个体等可能地被抽取是基本抽样的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比例等可能抽取．（2）因为三个年级的学生视力会存在明显差异，因此使用分层抽样．题型分层抽样中的有关计算┃┃典例剖析__■典例2（1)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师__182__人．（2)某网站针对“2020年法定节假日调休安排”提出的A，B,C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：支持A方案支持B方案支持C方案35岁以下的人数20040080035岁以上(含35岁）的人数100100400①从所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值．②从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？[解析］(1）设该校其他教师有x人，则eq\f（16，x)＝eq\f（56，26＋104＋x），解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182人．（2)①由题意得eq\f（6,100＋200)＝eq\f（n，200＋400＋800＋100＋100＋400），解得n＝40．②35岁以下的人数为eq\f(5，500)×400＝4人，35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1人．［母题探究］将本例的条件改为“A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A方案有16人”，求样本的容量n．［解析]由于A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5，样本中A方案有16人，则eq\f（2，10)＝eq\f（16,n),解得n＝80．规律方法：分层抽样中的求解技巧(1)eq\f(样本容量n，总体的个体数N）＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)．（2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．┃┃对点训练__■2．(1）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查,假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(B)A．101 B．808C．1212 D．2012(2)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向,用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为__16__．［解析］（1）因为甲社区有驾驶员96人,并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为eq\f(12,96）＝eq\f（1,8）,所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43）÷eq\f（1,8)＝808(人）．（2）设应在丙专业抽取的学生人数为x,则eq\f（40,150＋150＋400＋300）＝eq\f（x,400）,即eq\f（40，1000）＝eq\f(x,400），解得x＝16．题型分层抽样的方案设计┃┃典例剖析__■典例3一个单位有职工160人,其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人,为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，写出用分层抽样的方法抽取样本的过程．[分析]分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配，确定各层抽取的个体数之后，可采用简单随机抽样在各层中抽取个体．［解析］三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x,x,2x,则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14，2和4．对112名业务人员进行编号，用随机数表法抽样抽取14人．再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码．将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．规律方法：分层抽样的注意事项分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠．（2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比，等可能抽样．（3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．［特别提醒]保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点所有层按同一抽样比，等可能抽样．┃┃对点训练__■3．某政府机关有在编人员100人，其中科级以上干部10人，科员70人，办事员20人．上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,并写出具体的抽样过程．［解析］因为个体差异较大，而且机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样法抽取．抽样过程如下:第一步，确定抽样比：eq\f(20,100）＝eq\f（1,5)．第二步，确定各层抽取的人数:从科级以上干部中抽取10×eq\f(1，5)＝2(人)；从科员中抽取70×eq\f（1,5）＝14（人）；从办事员中抽取20×eq\f（1,5)＝4(人）．第三步,在各层中分别用简单随机抽样抽取，抽取科级以上干部2人，科员14人，办事员4人．第四步，将所抽取的个体组合在一起构成样本．易错警示┃┃典例剖析__■抽样方法选择不当导致所得样本不具有代表性典例4某单位有职工120人,欲从中抽取20人调查职工的身体状况．领导安排工会某干部负责抽样,他应该怎样做？［错解]将120名职工编号,用随机数表法抽样抽取20人作为样本．［辨析]年