五海森堡运动方程

五、海森堡运动方程经典物理中，对不是时间显函数的，有由此，根据Dirac的量子化规则便得海森堡运动方程。但在海森堡运动方程中可以无经典对应，例如自旋算符也满足（但不能写成q和p的函数）

即经典力学可由对应关系推出，反之却不然六、量子力学与经典力学观察量的对应

时间演化算符的薛定谔方程和海森堡运动方程的使用都需要有合适的哈密顿算符H。对有经典对应的物理体系，我们假定H与经典物理有相同的形式而将经典的和用量子力学的相应算符来代替。当对应规则牵涉不对易观测量时，则要求H是厄米的。例如，经典力学的乘积xp之量子力学对应为。物理体系无经典对应时，需要猜想H算符的形式。猜想形式的正确性以所用H给出与实验观测结果相同来检验。七、自由粒子的运动

由经典哈密顿的形式：并将观测量和理解成Heisenberg绘景的算符，1）即对自由粒子，动量算符是运动常量，即。一般而言，若与H对易，则是运动常量。2）与匀速直线运动的经典轨迹方程相似。由于不同时刻的坐标算符不对易根据测不准关系，表明粒子的位置会随时间而变得越来越不确定(对应于波动力学的波包扩展)八、Ehrenfest定理考虑粒子在势场中运动。是x，y，z算符的函数由于与对易，与自由粒子情形形式相同。

即，与牛顿第二定律相仿（海森堡绘景）取期望值，（适用于薛定谔和海森堡绘景）由于Ehrenfest定理里无(要求空间和时间平移算符中相关常数相等),波包中心的运动与经典粒子受势场作用的形式相同经典粒子运动轨迹反映的是量子体系波包中心的位置变化！九、基矢在薛定谔绘景中，基矢满足。因A与时间无关，故，基矢不随时间变化，这与态矢随时间变化是极不相同的。在海森堡绘景中，由时可推得基矢的本征方程为即基矢随时间变化为。可见海森堡绘景的基矢与薛定谔绘景的态矢旋转方向相反，前者满足错号的薛定谔方程：。注：基矢对应的本征值则由上可知不随时间变化，与么正等价观测量具有相同本征谱这点相一致。十、算符和态矢的展开算符的展开：与基矢随时间按变化的情况一致态矢的展开：两绘景中态矢的展开系数是相同的（薛定谔绘景）基矢态矢（海森堡绘景）基矢态矢基矢与态矢点积对i）基矢不变、态矢逆时针旋转，或ii）基矢顺时针旋转相同角度、态矢不变是相同的。注：原则上可以在海森堡绘景中坚持用不随时间变化的基矢，这时展开系数也将不随时间变化。只是这样的话，基矢便不再是时的算符本征态了，理论上更复杂。十一、跃迁振幅初态为A的本征值为a’的本征态，在时间t被发现在B的本征值为b’的本征态的振幅，即跃迁振幅可计算为：薛定谔绘景,态矢为与时间无关，振幅海森堡绘景，态矢不变，基矢反方向演化，，振幅仍为。两图像完全等价两绘景的差别可总结为薛定谔绘景海森堡绘景态矢变化（时间演化算符、薛定谔方程）不变观测量算符不变变化（幺正变换、海森堡运动方程）基矢不变变化经典力学与量子力学的比较基本假设经典力学量子力学1粒子状态由x(t)和p(t)表征，即是相空间{x,p}中的一个点粒子状态由Hilbert空间中的矢量表征2力学量A是x和p的函数：A=A(x,p)力学量与厄米算符对应，A对应的算符为A(x,p)=A(x,p)3如粒子处于(x,p)状态，测量A的结果为A(x,p)，粒子的状态不变对处于态的粒子，测量A的结果是得到其本征值之一，ai,相应几率为.由于测量，体系的状态变为相应的4体系状态随时间的变化由Hamilton方程给出：态矢服从薛定谔(海森堡)方程

时间演化与薛定谔方程的导出：薛定谔方程的导出只需利用时间平移的基本性质（但利用了经典力学的哈密顿量是时间平移的生成元的概念）利用力学量算符与经典物理量的对应，及经典力学的动量是空间平移生成元和空间平移的基本性质，可导出基本对易关系与Ehrenfest定理量子力学包含了经典力学，即经典力学只反映了一（小）部分量子力学描述的规律（力学量算符与经典物理量的对应是可以由量子力学导出经典力学的基础。）海森堡运动方程量子力学与经典力学观测量的对应规则时间演化算符的形式解能量本征矢、定态回顾2.4薛定谔波动方程一、含时薛定谔方程薛定谔绘景，坐标表象的状态随时间演化为暂考虑为厄米算符，且为定域的，即为的实函数以后我们会讨论含时的非定域但可分离的势，与动量相关的势，,等等。一、含时薛定谔方程（续）由而得含时薛定谔方程为基于上式的量子力学有时称为波动力学，是当时态矢在坐标表象下薛定谔方程的特殊形式。二、不含时薛定谔方程对A和H的共同本征初态,对能量本征态得定态薛定谔方程：束缚态：要解方程需加边界条件，假设要求的解，合适的边界条件为当即粒子被限于一定的空间内，或称束缚态。由偏微分方程理论知满足该边界条件的非平凡解，只有分立的一组E值。定态薛定谔方程能级的量子化。由定态薛定谔方程可见，寻求微观物理体系的能级与寻求弹簧的特征频率相仿，都是数学物理的边界值解问题。三、几率流连续性方程波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几率密度，在附近的体积内找到该粒子的几率为由含时方程可推出连续性方程

其中该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。几率流与动量有关：四、波函数的解释连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因此曾被认为是物质密度，是实际电荷密度。奇特物理图像：1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到Born提出了被广泛接受的解释，即为几率密度的统计解释。不过Born的解释也不是没有争议的重新思考：相位、完整性、电子云五、波函数的相位S为实数，