2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）注意注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：，其中为圆柱的表面积，为高．圆柱的侧面积公式：，其中是圆柱底面的周长，为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合，，则_______．【答案】【解析】由题意得．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数(为虚数单位)，则的实部为_______．【答案】21【解析】由题意，其实部为21．（3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的的值是_______．【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解．整数解为，因此输出的．（4）【2014年江苏，4，5分】从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______．【答案】【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_______．【答案】【解析】由题意，即，，，因为，所以．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是________．【答案】4【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是_______．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为________．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】据题意，解得．（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是________．【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得，所以．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，则的值是________．【答案】22【解析】由题意，，，所以，即，解得．（13）【2014年江苏，13，5分】已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【答案】从而．因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=，又因为AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150．因此新桥BC的长是150m．（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO=所以．因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以，即，解得，故当d=10时，最大，即圆面积最大．所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数其中e是自然对数的底数．（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．解：（1），，∴是上的偶函数．（2）由题意，，即，∵，∴，即对恒成立．令，则对任意恒成立．∵，当且仅当时等号成立，∴．（3），当时∴在上单调增，令，，∵，∴，即在上单调减，∵存在，使得，∴，即．∵，设，则，．当时，，单调增；当时，，单调减，因此至多有两个零点，而，∴当时，，；当时，，；当时，，．（20）【2014年江苏，20，16分】设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．解：（1）当时，，当时，，∴时，，当时，，∴是“H数列”．（2），对，使，即，取得，，∵，∴，又，∴，∴．（3）设的公差为d，令，对，，，对，，则，且为等差数列．的前n项和，令，则．当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，．因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．的前ｎ项和，令，则∵对，是非负偶数，∴，即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”，因此命题得证．注意注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A、B、C、D4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A）【2014年江苏，21-A，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB=∠D．解：因为B，C是圆O上的两点，所以OB=OC．故∠OCB=∠B．又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB=∠D．（21-B）【2014年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，，向量，为实数，若，求的值．解：，，由得解得．（21-C）【2014年江苏，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长．解：直线l：代入抛物线方程并整理得，∴交点，，故．（21-D）【2014年江苏，21-D，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知，，证明：．解：因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，所以(1+x+y2)(1+x2+y)≥=9xy．【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．（22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望．解：（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率．（2）X的所有可能取值为，则；；．∴X的概率分布列为：X234P故X的数学期望．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数，设为的导