2014年高考浙江理科数学试题及答案(word解析版)

年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年浙江，理1，5分】设全集，集合，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，，故选B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．（2）【2014年浙江，理2，5分】已知是虚数单位，，则“”是“”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，反之，，即，则，解得或，故选A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．（3）【2014年浙江，理3，5分】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）（A）90（B）129（C）132（D）138【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：，故选D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（4）【2014年浙江，理4，5分】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）（A）向右平移个单位（B）向左平移个单位（C）向右平移个单位（D）向左平移个单位【答案】C【解析】，而=，由，即，故只需将的图象向右平移个单位，故选C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．（5）【2014年浙江，理5，5分】在的展开式中,记项的系数，则=（） （A）45（B）60（C）120（D）210【答案】C【解析】令，由题意知即为展开式中的系数，故=，故选C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．（6）【2014年浙江，理6，5分】已知函数，且（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由得，解得，所以，由，得，即，故选C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．（7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐标系中，函数，的图像可能是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函数，分别的幂函数与对数函数答案A中没有幂函数的图像,不符合；答案B中，中，中，不符合；答案C中，中，中，不符合；答案D中，中，中，符合，故选D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．（8）【2014年浙江，理8，5分】记，，设为平面向量，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知与的大小不确定，平行四边形法可知所对的角大于或等于，由余弦定理知，（或），故选D．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．（9）【2014年浙江，理9，5分】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解法一：，=，∴－=，故．又∵，，∴，将一、二、三等奖各1张分给4个人有种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法，因此不同的获奖情况共有种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．（15）【2014年浙江，理15，5分】设函数若，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】由题意或，解得∴当或，解得．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．（16）【2014年浙江，理16，5分】设直线()与双曲线（）两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是．【答案】【解析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为和，分别与直线：联立方程组，解得，，，设中点为，由得，则，即，与已知直线垂直，∴，即，即得，即，即，所以．解法二：不妨设，渐近线方程为即，由消去，得，设中点为，由韦达定理得：……①，又，由得，即得得代入①得，得，所以，所以，得．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．（17）【2014年浙江，理17，5分】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练．已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小．若，，，则的最大值是（仰角为直线与平面所成角）．【答案】【解析】解法一：∵，，，∴，过作，交于，1当在线段上时，连接，则，设，则，（）由，得．在直角中，∴，令，则函数在单调递减，∴时，取得最大值为2当在线段的延长线上时，连接，则，设，则，（）由，得，在直角中，，∴，令，则，当时；当时，所以当时，此时时，取得最大值为，综合1，2可知取得最大值为．解法二：如图以为原点，、所在的直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，，∴，由，可设（其中），，，所以，设()，，所以，当时；当时，所以当时，所以取得最大值为．解法三：分析知，当取得最大时，即最大，最大值即为平面与地面所成的锐二面角的度量值，如图，过在面内作交于，过作于，连，则即为平面与地面所成的二面角的平面角，的最大值即为，在中，由等面积法可得，，所以．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2014年浙江，理18，14分】在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．解：（1）由题得，即，，由得，又，得，即，所以．（2），，，得，由得，从而，故=，所以，的面积为．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（19）【2014年浙江，理19，14分】已知数列和满足．若为等比数列，且．（1）求与；（2）设．记数列的前项和为．（ⅰ）求；（ⅱ）求正整数，使得对任意均有．解：（1）∵①，当，时，②，由①②知：当时，，令，则有，∵，∴．∵为等比数列，且，∴的公比为，则，由题意知，∴，∴．∴．又由，得：，即，∴．（2）（ⅰ）∵，∴====．（ⅱ）因为，，，；当时，，而，得，所以，当时，，综上，对任意恒有，故．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（20）【2014年浙江，理20，15分】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小．解：（1）在直角梯形中，由，，得，由，得，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面．（2）解法一：作，与交于点，过点作，与交于点，连接，由（1）知，则，所以就是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，由于平面，得．在中，由，，得；在中，由，得；在中，由，，，得，，从而，在，中，利用余弦定理分别可得，．在中，，所以，，即二面角的大小为．解法二：以的原点，分别以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知各点坐标如下：，，，，．设平面的法向量为，平面的法向量为，可算得：，，，由，即，可取，由即可取，于是．由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．（21）【2014年浙江，理21，15分】如图，设椭圆:动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．（1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．解：（1）解法一：设方程为，，消去得：，由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为，又点在第一象限，故点的坐标为．解法二：作变换，则椭圆：变为圆：，切点变为点，切线（，变为．在圆中设直线的方程为（），由，解得，即，由于，所以，得，即，代入得，即，利用逆变换代入即得：．（2）由于直线过原点且与直线垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得:，因为，所以，当且仅当时等号成立．所以，点到直线的距离的最大值为．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函数．（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求；（2）设若对恒成立，求的取值范围．解：（1）∵，∴，由于，（ⅰ）当时，有，故，所以，在上是增函数，因此，，故．（ⅱ）当时，若，，在上是增函数；若，，在上是减函数，∴，，由于，因此当时，；当时，；（ⅲ）当时，有，故，此时在上是减函数