2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷5含答案

2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷（5）

（本试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷

类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作

答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合4={》67|—2<x<2},3={-1』,2,3},则AB=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合A,然后利用交集的定义可求出集合AB.

【详解】

A={xGN|—2<2}={0,1},因此，Ac6={l}.

故选：A.

【点睛】

本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.

]-i

2.设2=-+2i,则|z|=

1+i

I

A.0B.-C.1D.Jl

2

【答案】C

【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共朝复数，化简复数Z,然后求解复数

的模.

(5二Li

详解:Z=—+2i=

1+i(l-i)(l+i)

=—i+2i=i,

则忖=1,故选C.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,

掌握纯虚数、共辄复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数

的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3.若向量a=(4,2)，b=(6,k)，若a//》，则忆=()

A.-12B.12C.-3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若a//，则有4xZ=2x6=12,解可得左的值，即可得

答案.

【详解】

解：根据题意,向量a=(4,2),b=(6,k))

若a//力，则有4x4=2x6,

解得k=3；

故选：D.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题.

4.设等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,若％+%=15-%，则S9等于()

A.18B.36C.45D.60

【答案】C

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前八项和公式求得$9的值.

【详解】

由于数列｛0“｝是等差数列，所以由。2+6=15-%得%+6+%=15,即34+12。=15,而

S9=^_1^x9==3x(34+12d)=3x15=45.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式及前〃项和公式的基本量计算，属于基础题.

的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64,则『的系数为()

B.45C.135D.405

【答案】C

【解析】

【分析】

令x=1代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为2",结合两个系数比即可求得〃的值，进

而根据二项展开式的通项求得/的系数即可.

【详解】

令x=l,代入(x+

可得各项系数和为4"

展开式的各项的二项式系数和为2"

由题意可知，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64

4"

所以t=64

2"

解方程可得

n=6

则二项式x+的展开式的通项公式为

K珞6f层J=cQ.⑶'=⑶「笳：三

3

令6-巳，=3

2

解得r=2

所以3的系数为32或=9x15=135

故选:C

【点睛】

本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用，求指定项的

系数,属于基础题.

22

6.已知椭圆T+*=i（a>Z,>0）的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为尸，若MN.NF=0,

则椭圆的离心率为（)

A.BR友-1Q6-ID,非-1

D.--------

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

设椭圆的焦距为2c（c〉0）,利用向量数量积的坐标运算得出匕2=6%，可得出"一/=。°，等式

两边同时除以/可得出关于椭圆离心率的二次方程，解出即可.

【详解】

设椭圆的焦距为2c（。>0）,离心率为e,则点M（—a,0）、N（0,b）、F（c,0）,

所以，MN=（a,b）,NF=（c,-b）,则MN.NE=ac-/=0，即ac-（/-c?）=0,

即/+这一/=0,等式两边同时除以/得/+e—1=0，

Q0<e<l,解得e=*@,因此，该椭圆的离心率为避二1.

22

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的计算，涉及向量数量积的坐标运算，解题的关键就是要得出关于。、b.c的

齐次等式，考查运算求解能力，属于中等题.

x-y+l>0

7.在满足不等式组<x+y-3<0的平面内随机取一点M（而,%）,设事件A="yo<2xo"，那么事

y>0

件A发生的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率.

【详解】

x-y+l>0

如下图，作出不等式组<x+y-3<0表示的平面区域（阴影部分ABC）,易知A（l,2）,3（—1,0）,

y>0

C（3,0）,该区域面积为g[3—（―l）]x2=4.

事件A="NO<2%”，表示的区域为阴影部分AOC,其面积为:X3X2=3.

3

所以事件A发生的概率是7.

【点睛】

本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用,

属于基础题.

、

/log]x-i（\\

8.函数/'(x)=tan|2%-logtan在区间-,2上的图像大致

212

(47'\/27

为（）

【答案】B

【解析】

【分析】

；』）和xe[1,2）函数分类讨论去绝对值，即可求解.

结合选项对xw

【详解】

>>

/(x)=tanf-x|-log2fx--|-tanf-xVlog,fx--

故选:B

【点睛】

本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题.

9.《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有

一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的根的值为35,则输入

的a的值为（）

/7

TH

•由m

A.4B.5C.7D.11

【答案】A

【解析】起始阶段有〃z=2a-3,i=l,第一次循环后，加=2（2。-3）-3=4。-9,i=2；

第二次循环后，加=2（4。-9）-3=8。-21,z=3；第三次循环后，

加=2（8。-21）-3=16。-45,i=4；接着计算机=2（16。-45）-3=32。-93,跳出循环，输

出M=32a—93.令32。-93=35,得。=4.选A.

10.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体AO尸一BCE内

自由飞翔，则它飞入几何体尸一AMC。内的概率为（)

侧视图

俯我图

3

B.

8

15

C.一D.

28

【答案】c

【解析】

【分析】

根据三视图求出三棱柱的体积，再求出几何体F—AMCC的体积，即可求出概率.

【详解】

由三视图可知：底面三角形是腰长为a的等腰直角三角形，几何体4OF—BCE是侧棱为〃的

直三棱柱，

3

由题图可知VF-AMCD—:XSAMCD^DF——tz,

34

_13

VADF-BCE——a，

2

13

--Cl|

所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为P=

S2

2

故选：C

【点睛】

此题考查求几何概型概率，关键在于根据三视图准确求出几何体的体积.

11.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、

癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”

以“甲，，字开始，，，地支，，以“子，，字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲

子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组

合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支

纪年法”中的

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年

【答案】C

【解析】

【分析】

按照题中规则依次从2019年列举到2026年，可得出答案。

【详解】

根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸

卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选：C。

【点睛】

本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，

考查逻辑推理能力，属于中等题。

12.定义在R上函数满足〃T)=/(X),且对任意的不相等的实数和与W。,大功有

<0成立,若关于x的不等式/(2/nr-lru-3)22/'(3)-"-2/nr+lnx+3)在

xe[l,3]上恒成立，则实数m的取值范围是()

-1,ln6]「1,ln3]「1^3][1、m6一

]_2e6J\_2e6J|_e3」]_e3J

【答案】B

【解析】

【分析】

结合题意可知/(X)是偶函数，且在[0,+8)单调递减，化简题目所给式子，建立不等式，结合导函数与

原函数的单调性关系，构造新函数/?(£),g(x),计算最值,即可.

【详解】

结合题意可知/(X)为偶函数，且在[0,+8)单调递减，故

/(2/nr-Inx-3)22/⑶-/(-2/nr+Inx+3)可以转换为

/(2如-Inx-3)2/⑶对应于xe[1,3"亘成立，即R/wlar-3|W3

即042rnx-ln_r46对xe[1,3]恒成立

即2m>—且2根<6+lnA对xw[1,3]恒成立

令g(x)=墨，则g[x)=在[l,e)上递增，在(e,3]上递减，

所以g(x)max=3

令〃(x)=矢1竺,〃O)=三芈<0,在[1,3]上递减

所以/?(x).=―.故机G—,1+——，故选B.

'/m,n3L2e6

【点睛】

本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系，计算范围，可以转化为函数,结合导函数,

计算最值，即可得出答案.

第n卷(非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.已知a是第二象限角，且sina=；,且sin('-a)=.

【答案】一述

3

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的基本关系求出COSa,然后利用诱导公式可求出sin的值.

【详解】

Qa是第二象限角，则cos。=-Vl-sin2a-----，

3

由诱导公式可得sin--a=coscif=-----.

(2)3

故答案为：—递.

3

【点睛】

本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.

14.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一

的和谐美，定义：能够将圆。的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。的一个“太极函数”,

则下列有关说法中：

①对于圆O:/+/=1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；

②函数/(x)=sinx+l是圆0：/+&-1)2=1的一个太极函数；

③直线+1)%—(2机+1)丁-1=0所对应的函数一定是圆O：(x—2p+(y-1)2=R2(R>O)的

太极函数；

④若函数/(%)="3-丘(4€出是圆0：%2+丁=1的太极函数，则Zw(—2,2).

所有正确的是.

【答案】(2)(3)(4)

【解析】

【分析】

利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可

【详解】

①显然错误，如图

②点(0,1)均为两曲线的对称中心，且〃x)=sinx+l能把圆/+(y-i)2=i一分为二，故正确

③直线(加+1卜一(2加+1))，-1=0恒过定点(2,1),经过圆的圆心，满足题意，故正确

④函数/(%)=小一米(攵eR)为奇函数，

V=kx3-kx

(3=］，

则k—6-2k2x4+(1+/)/一1=0

令得肺3-2肺2+(]+/>_]=0

即(rf俨产_公/+])=o

/.t=\即X=±1

对上2_攵2/+1，当％=0时显然无解，△<0即0〈公〈4时也无解

即左€(-2,2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分

若左=±2时，函数图象与圆有四个交点，

若々2>4时,函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二

综上所述，故正确的是②③④

【点睛】

本题主要考查了关于圆的新定义，首先是要理解新定义的内容，其次是根据新定义内容结合已经学

过的知识来判定正确还是错误，在解答过程中只要能举出一个反例即可判定结果

15.已知点P(x,y)是抛物线)?=4x上任意一点，。是圆(x+2)2+(y-4)?=1上任意一点，则

\PQ\+x的最小值为.

【答案】3

【解析】

【分析】

利用抛物线的定义得x=PE-l,以及圆上的点的到定点的距离的最小值为圆心到定点的距离减去

半径即可转换题目中的条件分析.

【详解】

画出图像，设焦点为尸(1,0),由抛物线的定义有PR=x+1,故x=PF—1.

又PQ+QC2CP当且仅当C,Q,P共线且。为CP与圆。的交点时归。取最小值为

归。一|。。=归。一1.故忸。+》的最小值为|PC|-1+|PF|-1=|PC|+|Pq-2.

又当P为线段CF与抛物线的交点时|PCj+|P司取最小值，

此时I尸。|+x=IPC|+1—2=|CF|—2=7ll-(-2)]2+(0-4)2-2=3

【点睛】

(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离.

(2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系.

16.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：

①所有的奇数项满足4,1<外"+I，所有的偶数项满足«2«<a2n+2；

a

②任意相邻的两项«2«-1，。2"满足«2„-1<2n.

根据上面的信息完成下面的问题：

(力数列1,2,3,4,5,6"有趣数列"(填"是"或者”不是”)；

2

(«)若4=〃+(-1)”—,则数列{4}“有趣数列’'(填"是''或者"不是“).

n

【答案】是是

【解析】

【分析】

依据定义检验可得正确的结论.

【详解】

若数列为123,4,5,6,则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，

故123,4,5,6为“有趣数列”.

222

若%=〃+(-1匚，则j=2〃-1-罚,、=2〃+1-罚

22

=

Cl^y—2〃H---,92H+2H------

2"2n2"+22〃+2

224

一%,用=-2-罚+罚=-2-<°'故%…

4

兄〃一见田=-2+——-----二-2+---------«-2H—<0

2〃(2〃+2)〃(川+1)2

故％<%〃+2・

2222

^-.-^=2,.-1---2«--=-1----<0,故%-心知―

综上，｛%｝为“有趣数列”.

故答案为：是，是.

【点睛】

本题以“有趣数列''为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21

题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.某市规划一个平面示意图为如下图五边形A8COE的一条自行车赛道，ED,DC,CB,BA,

AE为赛道（不考虑宽度），的为赛道内的一条服务通道，ZBCD=ZCDE=ZBAE=—,

DE=4km,BC=CD=y/3bn-

（1）求服务通道5E的长度；

TC

（2）当NAE8=一时，赛道8A的长度？

4

【答案】⑴5⑵8目

3

【解析】

【分析】

（1）连接80,在ABC。中，由余弦定理可得80=3,由等腰三角形的性质结合

NBCD=ZCDE=号可得NBDE=1,再由勾股定理可得结果；（2）在ABAE中，NBAE=弋,

TT

BE=5,NAEB=—,直接利用正弦定理定理可得结果.

4

【详解】

(1)连接

在ABC。中，由余弦定理得：

BD2=BC2+CD2-2BCCDcosZBCD=9,

:.BD=3.BC=CD,

式

:./CBD=/CDB=—,

6

27r7t

又乙CDE=JZBDE=-,

32

在RtABOE中，BEZBD:+DEZ=5-

2万

(2)在A8AE中，NBAE=—,

3

71

BE=5.NAEB=-

4

BEAB

由正弦定理得.2%.n,

sm——sin

34

5ABr

即：耳=/，得BA=W^

D

【点睛】

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用

法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）

知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接

圆半径.

18.如图，在四棱锥尸―A5CO中，侧棱PAL平面ABC。，E为AD的中点，BE//CD,

BELAD,PA=AE=BE=2,CD=\.

(1)求二面角C—P8—E的余弦值；

(2)在线段PE上是否存在点M,使得。///平面PBC?若存在，求出点M的位置，若不存在,

说明理由.

【答案】(1)硬；(2)存在，PE的中点.

7

【解析】

【分析】

(1)作EzLAD,以E为原点，以EB,ED的方向分别为左轴，轴的正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量、平面P6E的法向量即可得二面角C-P8-E的的余弦

值；

(2)线段PE上存在点M,使得。M//平面PBC”等价于垂直面PBC的法向量.

【详解】

作Ez_LAO,以E为原点，以EB,ED的方向分别为％轴，V轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(0,0,0),P(0,—2,2),A(0,—2,0),8(2,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0)

则PB=(2,2,-2),BC=(一1,2,0),=(0,-2,2)

设平面PBC的法向量为〃=(x,y,z),

n-PB=0x+y-z=0

由有《

WBC=G'-x+2y=Q

则可以取〃=(2,1,3)

设平面PBE1的法向量为m=(〃/,c)，

m-PB=0一a+b-c=0

由＜，有《

m-EP=0-Z?+c=0

则可以取加=(0,1,1)

n-m1+32币

所以COS(〃，M=

\n\-\m\A/14XA/27

由图可知，二面角C-P3-E的余弦值为纪

7

(2)由(1)可知面PBC的法向量为〃=(2,1,3),

“线段PE上存在点M，使得D例〃平面PBC”等价于DM工〃,

EP=(0,-2,2).设PM="E=(0,24,—2/1),丸e(0,D

则DM=DP+PM=(0,-4,2)+(0,22,-22)=(。,22-4,2-22)

由DM-〃=(),得24—4+6—6X=0解得4=•

所以线段PE上存在点M,即PE中点，使得。M//平面PBC.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定，向量法求二面角、动点问题，考查了转化思想，属于中档题.

19.如图，已知抛物线C：V=8x的焦点是F,准线是/.

y

(I)写出焦点E的坐标和准线/的方程；

(II)己知点尸(8,8),若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A、B(均与「不重合)，直线PA、

PB分别交/于点M、N求证：MF1NF.

【答案】(I)网2,0),准线/的方程为》=一2；(H)见解析.

【解析】

【分析】

(I)根据抛物线。的标准方程可得出焦点F的坐标和准线/的方程；

(11)设直线48的方程为》=冲+2,设点A(%,yJ、3(%,%)，将直线AB的方程与抛物线C

的方程联立，列出韦达定理，求出点M、N的坐标，计算出M/.NE=0,即可证明出M/7J-N/7.

【详解】

(I)抛物线。的焦点为口(2,0),准线/的方程为：x=-2；

(H)设直线A8的方程为：x=tny+2[m^R),令A(玉,y),8(々,月)，

x=my4-2「

联立直线A8的方程与抛物线C的方程《2；-消去》得丁―8冲—16=0,

y=8x

由根与系数的关系得：X%=-16.

y-8x-8产4^&_8)+8=8乃+"

方程为：。一。，

丫2—8元)一X&-8

8

8>,-16'.2,3]

2时，%。，：.N

%+8〔必+8J

_48y2T6)

Sy-168yj-16_16(y+8)(y,+8)+(8%-16)(8--16)

:,FN・FM=16+2X2

%+8y+8(%+8)(y+8)

80(y%+16)_80(-16+16)_Q

(%+8)(y+8)(%+8)(%+8)

:.FNLFM，：-MFA.NF.

【点睛】

本题考查利用抛物线方程求焦点坐标和准线方程，同时也考查了直线与抛物线的综合问题，涉及到

两直线垂直的证明，一般转化为两向量数量积为零来处理，考查计算能力，属于中等题.

20.2019年春节期间.当红彩视明星翟天临“不知“知网学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发

了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院、乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思.为进一步端

正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育

部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博

士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家

中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学位论文.将认定为“存在问题学位论文”。有

且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评.2位复评专家中有

1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”。设每篇学

位论文被每位专家评议为“不合格''的概率均为P(0<p<1),且各篇学位论文是否被评议为“不合格”

相互独立.

(1)记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为了(〃)，求)(〃)；

(2)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评

审费外，其它费用总计为100万元。现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？

并说明理由.

【答案】⑴/(p)=—3p5+12p4-17p3+9p2；(2)不会超过预算，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)分别考虑学位论文初评被认定为“存在问题学位论文“、学位论文复评被认定为“存在问题学位

论文''的概率，然后相加求解对应概率；(2)将一篇论文的评审费用用随机变量表示，然后考虑随机

变量的均值，注意使用函数思想，最后考虑600篇论文的评审费与其他费用之和同800万元的大小

关系.

【详解】

(1)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C；p2(l-p)+C；p3

一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C；p(l-p)2[l-(l-p)2],

所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为

/(P)=C；/(l一〃)+*+C>(1-p)2[1-(1-0)21

=3p2(l-p)+p3+3p(l-p)2[l-(l-p)2]=-3p5+12p4-17p3+9p2.

(2)设每篇学位论文的评审费为X元，则X的可能取值为900,1500.

P(X=1500)=C；p(l—p)2,

P(X=900)=1-C；p(l-p)2,

所以£(X)=900x口一C；p(l-pW+1500xC如(1—of=900+1800P(1—p)2

令g(P)=P(l-Of，

g'(P)=(1-p)2-2p(l-p)=(3p-l)(p-1)

当卜j,g'(p)>0,g(p)在(0,g)上单调递增；

当时，g'(p)<0,g(p)在上单调递减，

所以实施此方案，最高费用为100+6000x(900+1800x捺JxloTngOO(万元).

综上，若以此方案实施，不会超过预算

【点睛】

本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值与函数的综合，难度较难.概率统计题型中，

对于计算出的形式较为复杂的用未知量表示的概率或期望，可通过函数单调性或者导数的思想去计

算最值.

TF

21.设函数f(^x)-ax-sinx,xG(0,—),a为常数

⑴若函数/(x)在(0,上是单调函数，求0的取值范围；

(2)当aKl时，证明

6

【答案】(1)(F,0]u[l,48);(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)对函数求导，单调分单调增和单调减，利用/'(x)=a-cosxNO或/"(x)=a-cosxWO在

(0,上恒成立，求得实数。的取值范围；

(2)利用导数研究函数的单调性，求得结果.

【详解】

(1)由/'(工)=这一5111¥得导函数/"(1)=0-00a¥,其中0<COSX<1.

当Q21时，/'(力>0恒成立,

故〃x)=Gt-sinx在上是单调递增函数，符合题意；

当a40时,/'(力<0恒成立，

故/(£)=◎—sinx在上是单调递减函数，符合题意；

当0<“<1时，由/'(x)=a-cosv=0得8&x=a,

则存在尤oe(0,]J,使得co%=a.

f

当0cxe与时，y(x0)<0,当■时，

/(x0)>0,所以/(x)在(0,x0)上单调递减，在(%,])上单调递增,

故/(X)在(0,上是不是单调函数，不符合题意.

综上，。的取值范围是(一8,()]31，+8)-

(2)由(1)知当々=1时，/(x)=x-sin¥>/(0)=0,

/、2

岳・2%xI

即sinx<x，故sin—v—

2⑶

令g(x)=/(x)-：x3=ax-siru--x3,xe|0,-