2023届陕西省榆林市高三下学期第二次模拟检测文科数学试题

榆林市2022～2023年度高三第二次模拟检测数学试题（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考生时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容，高考全部内容．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．（）A． B． C． D．3．已知，，，则（）A． B． C． D．4．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4:1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A．90 B．96 C．120 D．1445．在中，内角，，所对应的边分别是，，，若的面积是，则（）A． B． C． D．6．已知双曲线：（）的左、右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，若，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．7．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革。改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成。已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是（）A． B． C． D．8．如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．9．已知，则（）A． B． C． D．10．已知函数在和上都是单调的，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知函数，若函数掐有5个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．已知向量，，若，则______．14．已知实数，满足约束条件则的最大值是______．15．已知函数满足，当时，，若对任意的，都有，则的最大值______．16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为______；若，且平分，则______.（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）通过市场调查，现得到某种产品的资金投入（单位：百万元）与获得的利润（单位：百万元）的数据，如下表所示：资金投入24568利润34657（1）求样本（）的相关系数（精确0.01）；（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归直线方程；（3）现投入资金1千万元，求获得利润的估计值．附：相关系数，，对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．18．（12分）已知数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，是棱上的动点，且．（1）证明：平面．（2）若，，求点到平面的距离．20．（12分）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程．（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，曲线在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题目计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，，求的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数的最大值是.（1）求的值；（2）若（，），求的最小值．榆林市2022～2023年度高三第二次模拟检测数学试题参考答案（文科）1．D2．A3．B4．C5．A6．B7．B8．B9．C10．D11．B12．A13．14．715．516．0；2设17．解：（1）由题意得，．因为，，所以，，故．（2），，故线性回归直线方程为．（3）当时，百万元．18．解：（1）因为，所以（），所以，即（）．当时，．因为，所以，所以，则是首项和公比都为3的等比数列，故．（2）由（1）可得，则是首项和公比都为-3的等比数列，故．19．（1）证明：记，连接，则是，的中点．因为四边形是菱形，所以．因为，且是的中点，所以．因为，平面，且，所以平面．（2）解：连接．因为，且是的中点，所以．因为，，平面，且，所以平面．因为，，所以，．故三棱锥的体积，因为，所以．过点作，垂足为，由题中数据可得，，则．因为平面，且平面，所以，则的面积．设点到平面的距离为，则，解得．20．解：（1）由椭圆的对称性可知，，在椭圆上．由题意可得解得故椭圆的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则不妨令，．因为，所以，．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立整理得，则由，得，，．因为，，所以．综上，直线，的斜率之和是定值，且该定值为1．21．解：（1）当时，，则，则，．故曲线在处的切线方程为．（2）因为，所以．因为，所以至少满足，即f，解得．当时，．设，显然在上单调递增，则，即恒成立，从而在上单调递增，故．故的取值范围是．22．解：（1）由（为参数），得，故曲线的普通方程为．由，得，故直线