一点处应力状态的概念

12.1一点处应力状态的概念建筑力学第十二章应力状态与强度理论【学习目标】【学习目标】1.理解一点处应力状态的概念；2.掌握平面应力状态分析；3.掌握主平面的确定与主应力的计算；4.掌握最大剪应力的计算；5.理解四个强度理论的破坏条件及其强度条件。12.1一点处应力状态的概念12.1一点处应力状态的概念一、一点处的应力状态的概念在前面各章节中,已分别介绍了四种基本变形时横截面上的应力分布规律和计算,并根据横截面上的最大正应力和最大剪应力分别建立起正强度条件与剪应力强度条件,即：

σmax≤[σ]；

τmax≤[τ]12.1一点处应力状态的概念在对材料的力学性能试验中，我们观察到，塑性材料低碳钢在受轴向拉伸时，其破坏是因为在45°斜截面有最大剪应力，而造成斜截面剪切破坏；脆性材料铸铁在受轴向压缩时，其破坏也是因为在45°斜截面有最大剪应力，而造成斜截面剪切破坏；又如塑性材料低碳钢在受扭转时，其破坏沿横截面平整地切断，而脆性材料铸铁在受扭转时，其破坏却是沿45°呈螺旋状，因为是在45°斜截面有最大拉应力。就是说材料受在拉伸时的破坏，不一定是拉伸破坏，受压缩时的破坏不一定是压缩破坏，受扭转时的破坏也不一定是扭转破坏。12.1一点处应力状态的概念而在工程实际问题中，许多构件的危险点上既有正应力又有剪应力，构件的破坏不是单一因为正应力强度不足或剪应力强度不足而造成。这就需要进一步研究构件内各点在各个方向的应力情况，并对强度计算的理论做进一步的讨论。12.1一点处应力状态的概念一般地讲，在受力构件内，在通过同一点的不同方位的截面上，应力的大小和方向是随截面的方位不同而按一定的规律变化的。为了研究受力构件内一点处的应力状态，通常是围绕该点取出一个极其微小的正六面体，称为单元体，其上各个斜截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。单元体的边长取成无穷小的量，因此可以认为，作用在单元体的各个面上的应力都是均匀分布的；在任意一对平行平面上的应力是相等的，且代表着通过所研究的点并与上述平面平行的面上的应力。因此单元体三对平行平面上的应力就代表通过所研究的点的三个互相垂直截面上的应力，只要知道了这三个面上的应力，则其它任意斜截面上的应力都可以通过计算求得，这样，该点处的应力状态就完全确定了，因此，可用单元体的三个互相垂直平面上的应力来表示一点处的应力状态。12.1一点处应力状态的概念如图a所示,在轴向拉伸的杆件内,假想围绕K点用一对垂直于杆轴的横截面、一对平行于杆轴的水平面和一对平行于纵向对称面的平面截出单元体,在该单元体的上、下、前、后四个面上没有应力存在,横截面上有正应力σ=

F/A。受拉杆件内的单元体b图所示,如果画成平面图,则如c图所示.12.1一点处应力状态的概念单元体上的平面，是构件对应截面上的一微小部分。在下图的单元体中，平面①和②分别是构件横截面的一微小部分；单元体的其它各平面则是构件中相应纵向截面的一部分。单元体各平面上的应力，就是构件对应截面在该点的应力。12.1一点处应力状态的概念又如在如图所示的梁内，围绕某点A也可以取出单元体。如果取梁的左半部为隔离体，如图，可先算出1-1截面上的弯矩M和剪力FS，再计算出A点的正应力σ和剪应力τ。若取梁的右半部为隔离体，同理也可以算出1/-1/截面上A点正应力σ和剪应力τ。由于平面1-1与1/-1/无限接近，在这一对平面上的应力是相等的。在梁的上、下两个水平的纵向平面上，根据剪应力互等定理，也存在剪应力τ/，其方向如图所示。在A点的前、后两个纵向平面上没有应力存在。12.1一点处应力状态的概念如图12.1一点处应力状态的概念过A点的任意斜截面2-2上的应力，表示在如图所示的单元体上。σα

τα其计算方法将在下一节讨论。12.1一点处应力状态的概念例12-1

绘出如图所示梁m-m截面上a、b、c、d、e各点处单元体上的应力单元体。12.1一点处应力状态的概念解：（1）画出梁的FS图和M图，可得m-m截面上的内力为

FS=10kNM

=10kN·m12.1一点处应力状态的概念（2）计算各点的应力a点：b点：c点12.1一点处应力状态的概念点d、e点的应力分别与b、a点的应力大小相同，但是正应力为拉应力。（3）截取单元体并标出各点的应力。在各点处分别以一对横截面、一对水平面及一对纵向平面截取单元体，如图所示。根据梁的变形情况及该点在梁上的位置判断其正应力是拉应力还是压应力；根据m-m剪力的正负判定横截面上的剪应力为正（使单元体有顺时针转动的趋势）。根据剪应力互等定理确定单元体的上、下两平面上也有剪应力τ/，方向如图所示。由于假设梁的纵向纤维之间没有挤压，所以各单元体的上、下两平面上没有正应力，同理单元体的前后两平面上也没有应力存在。据此，作出梁m-m截面上a、b、c、d、e各点处单元体上的应力单元体如图所示12.1一点处应力状态的概念梁m－m截面上a、b、c、d、e各点处的应力单元体12.1一点处应力状态的概念二、主应力、主平面1.概念：单元体中剪应力等于0的平面称为主平面。例如下图中a、e两点的单元体的各个面都是主平面；b、c、d三点的单元体的前后面也是主平面。主平面上的正应力叫主应力。12.1一点处应力状态的概念2.主平面的特点：构件内任意一点，总可以找到三对相互垂直的平面，其上的剪应力都等于0，称为过该点的单元体的主平面。这三对主平面上的三个主应力，通常按它们的代数值的大小顺序排列，用σ1、σ2、σ3表示。σ1称为最大主应力；σ2称为中间主应力；σ3称为最小主应力。例如当三个主应力的数值为100MPa、50MPa、－100MPa时，则按照此规定应该有σ1=100MPa，σ2=50MPa，σ3=－100MPa。由主应力围成的单元体称为主应力单元体。12.1一点处应力状态的概念3.应力状态的种类实际上，在受力杆件内所取出的应力单元体上，不一定在每个主平面上都存在有主应力，因此，根据单元体各平面主应力的存在情况，应力状态可以分为三种（1）单向应力状态（2）二向应力状态（3）三向应力状态12.1一点处应力状态的概念（1）单向应力状态三个主应力中只有一个主应力不等于零。如下图中的e点应力状态属于单向应力状态。（2）二向应力状态（平面应力状态）三个主应力中有两个主应力不等于零。如下图的a点应力状态属于二向应力状态。12.1一点处应力状态的