等差数列前n项和(第二课时)教案

精品文档精品文档PAGE精品文档等差数列的前n项和（第二课时）（人教A版·必修5）

【教学目标】

1.知识与技能：

进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式

研究Sn的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用 .

2.过程与方法：

通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.

3.情感、态度与价值观：

①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；

②通过生动具体的现实问题、 数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望， 树立

求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感 .

【教学重点】

等差数列前n项和公式的掌握与应用.

【教学难点】

灵活应用求和公式解决问题 .

【教辅手段】

多媒体投影仪、黑板

【教学过程】

I.情景设置—温故知新

首先，回顾上一节所学的内容：

（1）等差数列的前n项和公式1：snna1an2（2）等差数列的前n项和公式2：snna1nn1d2Ⅱ.新知探究1.等差数列的等价条件例1：已知数列a的前n项和Snn221n，求n（1）Sn Sn1(n 2).

（2）求这个数列的通项公式 .

（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？

分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生 .过程略.

[设计意图]本例题实际上给出了数列前n项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n项是一个常数项为0的关于n的二次型函数.

接下来，我们来完成一探究题 .

2如果一个数列 an的前 n项和为Sn pn qn r.其中p、q、r为常数，且

0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什

么？

觐铥请铖蛴賀鸷诋缎飴嗇驳蛏縷鷙。解：由Snpn2qnr得S1a1pqranS1(n1)Snpn2qnrnn1(n2).又SSn2时anSnSn1(pn2qnr)[p(n1)2q(n1)r]2pn(pq)anpqr(n1)2pn(pq)(n2).danan1[2pn(pq)][2p(n1)(pq)]2p此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列an为等差数列，则2p1(pq)pqr,即r0.[设计意图]本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n项公式是一个常数项为0的关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.

2.等差数列的最值问题样譖訟膠剎無铊鰩样痙蘆胇颀慚围。例2：已知等差数列5,42,34,的前n项和为sn，求使得sn最大的序号n

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的值

分析：等差数列的前n项和公式可以写成Snna1n(n1)ddn2(a1d)n222，所以可以看成函数ydx2a1dx，xN*，当xn时的函数值.另一22方面，容易知道sn关于n的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值.解：由题意知，等差数列5,42,34,的公差为5所以777n255snn12775n5n21425n取与15最接近的整数即为7或8时sn取最大值.2

[设计意图]通过学习等差数列前n项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。an10ssn例3：等差数列中，，912求使得S最小的序号n的值？解法一（同例2的解法一样，在此可以带过即可）：由912得9a198d12a1211dss212因此3a130d则d1a110a10则d01121d2212snna12212nn1d2dn2dn2n28d由以上条件知sn有最小值.又nN*ns，则=10或11时n取最小值，最小值为55d.ss55d即1011解法二：由解法一知1a1a0d100而1则数列a为递增数列.nan0a1(n1)d0令0即a1nd0an1a1(n1)101a101101(n1)010n11.a1n101a101101n0数列的前10项均为负值,a11=0.从第12项开始为正值.n=10或n=11时sn取最小值.

解法三： s9 s12aaa12010113a011011即aa0n又1则数列a为递增数列.数列的前10项均为负值，a11=0.从第12项开始为正值.当n=10或11是sn取最小值.

[设计意图]本例是对例2的深化，通过一般的求最值方法，引导学生思考用简单的方法来解决同样的问题，达到数学浅入深出的学习效果。

3.等差数列前n项和的性质

餃鈔脈鍬連園务晖榇線滚巯温緯译。例4：已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和，求证S6,S12S6,S18S12也成等差数列，设kN,Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列吗？解法一：由S66a115d,S1212a166d,S1818a1153d,可得S6(S18S12)2(S12S6).解法二：S12S6a7a8a9a10a11a12a16da26da66da1a2a636dS636d.

同理可得：S18 S12 S6 72d.

S6 (S18 S12) 2(S12 S6).

（k的情况也类似，在此省略）

[设计意图]本例是要求学生通过自己做题来得出结论的，但是为了学生能更好的理解这个结论并且应用这个结论，在本节课加了这个例题，希望可以减轻学生课后的负担。

例5：（备用例题，时间允许可在课堂上讲解）若两个数列 an和bn的前n项和铆饒拨縲錚餒潜删鬓亙罰毡頑栀锇。An和Bn满足关系式An7n1(nN),求anBn4n27bn（分析：条件是前n项和的比值，而结论是通项的比值，所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值，恰当的应用等差公式可以简化解题过程.）

则砾历续举贞趨淵晋詮羅饭譯阅绸。解：由等差数列性质：

ana1a2n1,bnb1b2n1,22ana1a2n1(2n1)(a1a2n1)A2n122bnb1b2n1(2n1)(b1b2n1)B2n1227(2n1)114n6.4(2n1)278n23[设计意图]本例题对于初学者来说解答比较困难，若果让学生自行解答比较吃力，在这里加了讲解，希望对学生有所帮助。

【归纳提升】

1.等差数列的等价条件

2恳葦滬囵锓鸝鶩疟創務闕擄珑計聰。若一个数列为等差数列，则SnAnBnC中的C必为0，A、B为任意常数.反之也成立.

2.求等差数列前n项和sn的最值有两种方法

第一种：根据项的正负来定

若a10，d0则数列的所有正数项之和最大，若a10,d0则数列的所有负数项之和最小..

第二种：玀員鰾節癞镂弃孌鷺躯显鬧页辞銣。snna1nn1d2dn2a1dn2222dada1d122nd2d222d1a1d1a1n2d22d2nN*1a1s由二次函数的最大，小值知识及知.当n取接近于d的正整数时，n2取最大值（或最小值）值得注意的是接近1a1的正整数有时1个，有时2个.3.等差数列前n项和的性质2d若数列an是等差数列，Sn是其前n项和，设nN,Sn,S2nSn,S3nS2n,也成等差数列.

[设计意图]总结是为了让学生明白本节课的重难点在哪，同时使学生回顾本节课

的知识点，达到复习加总结的效果。

【即时体验】

镜弳裤歟殯襠规阕铯撻择骗懔谭灭。问题1.等差数列a中，a415,d3，求数列a的前n项和Sn的最小nn值.分析：利用归纳的2种解题方法进行求解：①将Sn表示成关于n的一元二次函数的最值求解.②确定数列中负值的个数，由所有项之和最小求解.解答过程略.问题2：已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为多少？解：S10,S20S10,S30S20,,S110S100,成等差数列，设其公差为D，又首项为S10100，前10项的和为S1001010010109D10,D22.2又S110S100S1010DS1101001010(22)110.问题3：若两个等差数列的前 n项和之比是(3n 1):(6n 2)，试求它们的第

11项之比.

分析：同例3同题型，问题转化为具体的项之比，题目更简单化，解答过程在此处省略.

[设计意图]及时巩固，让学生活学活用，直接应用本节课所学的知识点来解决数

学问题。达到加深理解的学习效果。

八、课后延续

P46习题组第3题；P47习题组第4题

[设计意图]课后作业可以让学生加深本节课的认识，同时不忘记巩固。

九、板书设计來訶缲弪廬氽閑馊关廳鏑硤韧鬢鹧。幕布

课题

一、复习

一例1

二探究分析

三例2分析

四例3分析

二、探究题归纳总

结

三、最值问题归纳

四、等差数列性质

十、备用问题（高考题）：【2010年高考福建卷·理 3】设等差数列

{an}的前

n项和为

Sn，若

a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn