方差及其性质

§2 随机变量的方差及其性质数学期望从一个角度描述了随机变量的特征,但是对一个随机变蜃来说，仅仅知道它的数学期望是不够的，我们还常常需要知道它的取值关于数学期望的偏离程度.例翊，甲、乙两个工人生产同一种零件，已知他们生产的零件的长度X」与的分布律分别为TOC\o"1-5"\h\zX】 28 29 30 31 32Pk oa 0.15 0.5 0J5 €.1X2 28 29 30 31 32.. .„_r„Pk 0.13 0,17 0,4 0.17 0J3容易算出EX]=EX*=W,这说明仅用葵件泛度的均值还无法判断两工人的技术水平的高低.此时*可以透一步考虑零件长度X与其均值EX的偏离程度]X~EX[的大小.一.随机变量的方差：1.定义设X是一随机变量，若E{[X-E(X)了}存在，则称它为X的方差，记作D"即ZXX)=E{[X—E(X)了}.由定义可知，D(X)>0.如果它不存在，则说X没有方差.(1) 若X为离散型随机变量，其分布律为p{x=m=pgx=i,2,…，则D(X)=WELE(X)]2a・(2)设连续型随机变量X的密度是，则称J—8为X的方差，记作D{XY方差D(X〉的算术平方根/IE称为X的标准差或均方差.方差D(X)表示了随机变量X取值时以E(X)为中心的分散程度。但是*它的单位是X的单位的平方.为了单位一牝还经常使用D(X)的算术根/万E来计量随机变量X取值时以E(X)为中心的分散程度.【例1】测量甲、乙2个人的脉搏(次/分)f其分布情况如下*甲，脉搏5065701560率0.150.20.30.30,05乙，脉30TO90100率0.350.150,050.30U5问谯的健康状况要好一些.M用X表示甲的脉搏数。用P表示乙的眯搏数.则D^=^E(Ar)!-(EZ)1=60iX0.154-652X0.2+701XO-3+752XO.3+6俨XO.05-69-5a=32-2SDr=E(K)5—(EK)2=50*X0.35+60*X0.15+702X0.05+901X0.3+1002X0,15—T22=^406所以 DXVDYBp得：甲的健康状况比乙的要好些，【例2】若随机变量X服从于拉普拉斯分布，其概率密度

[Ik,Q>0),求DX.解:+8DX=j(x—+8DX=j(x—EX)2q(x)dx珞=(E瑚-00+8、2e-|t|dt=入2『12e-tdt=入2r(3)=2入220【例3】设X服从于几何分布，即Q=i,2…），其中P{XF*卜盘

q=1-p,求DX.解:

2.方差的计算公式：关于方差的计算，除了直接用定义外，还经常采用下面的公式：Q(X)=E(X2)一 了.证ZXX)=E{[X-E(X)]2}=E(X」2XE(X)+[E(X)T}=E(X2)一EL2XE(X)1+E{LE(X)12}=E(X2)—2E(X)・E(X)+[E(X)了=E(X?)—[EGO了.二・方醴的性质性质1设。为常数，则D(C)=0.性质2当C■是常数时，D(CX)=<?£)(%)姓质8设才与/互相独立，则D(x+v)=zO)+D(y)证o(x+v)=k〔(x+Y)~£(x+r)y=E〔(X-E(X))+(F-E(y))PnE〔X-E(X)r+£XF-£：(f)r+2E〔(X—E(X))(SE(y))〕n个相互独立随机变量算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1/n倍.性质4D(X)=EUi)-CE(X')r.例1设才服从两点分布，分相作为fP(X=1)=□P.P(X=G)—1—PQ则因E(X)=P,故有贝*)=E〔xr(x)/bE(x-pt=(1-pyp+(0-p)\l-P)例3设x服从参数为x的指数分布’睥*x>o/(x)="lo其它求D(X\解E(X)=%再求E(X\利用性质4,【例4】已知EX=3,DX==5#则E(X+2)'=?解：【例5】已知DX=8fDY=49且X*Y独立，则D[2X—H=?解D(2X-Y)=4DX+DY=4X8+4=36【例6】设X〜BS"求D(X)解：令K表示第£次贝努里试验中成功的次数，则K的分布律为；Q（K）= —p）典而且X可用xg=L2•…顼)表示为：XX因为X”瓦，…,X”相互独立，故由方差的性成得D(X)=史D(X「)=^(1一PL*=1此题若是直接计算D(X),则比较麻烦。(参看PP.88-89)另外,E(X)=E{VxJ三.几个常用的随机变量的期望与方差:(1)二点分布：随机变量X的分布为E(X)=p, D(X)=pq

易知，对于0T分布，在参数P=*时，方差D(X)最大,为(2)二项分布若随机变量X服从二项分布B(n0,即其分布列为E(X\=npiD(X)二押pq.证明:设X〜B(%P).不妨设门》2,已知=而£(?)=丈:胪艾尸q#"£=U=丈;CKQ—i)+们ypw”*LU二斗以-D•点衍+

n\咤捎二迅)[X时 +E(X)=n(n—1)/O(X)二£(X父一E，(X)™n(n—I)俨+r?p—0=啪*如：掷一颗骰子162。次，则“六点”出现的次数X的期望，方爰各为多少？解据题意X服从村=1620度=|的二项分布，即X〜8(1620,*)所以EX= =1620Xy=270DX—npq=1620XX~225⑶泊松分布P{X=也}设X服从参数为P{X=也}m,~,m—0i1 03，m!—*Z(祖一3，m!—*Z(祖一1)!=Ae-J•e;—AE(X)=会用况一*另外，

£(X2)=E〔X(X—1)+X〕=E〔X(X-1)+E(X)〕=y\m{m一1)二L+A竺、 事！二 J*-2=&2Q—2）!+A=A2eA也—』+』=^+A所以d（x）=Ecxy一c£（x）r=a 因为泊松分布只含一个参数不因而知道了它的数学期望或方差，就能完全确定它的分布.【例7】设X〜N(l,2)工服从参数为3的泊松分布，且IX,丫独立，求D(XY)O解D(XY)=E(XY)S-[E(XY)JS=EX*EY2一(EXy\EY)2=〔2+r)(3+32)-(IX3V=36—9=27F{X=m}= (m=0*l+2+…/)5£=min(ME)争则E(X)=碧、E(X)=碧、D(XX刑N-M”N-n)V(N—1)其中nMN为自然数eWN’MMN.几何分布若随机变量X眼从几何分布，即其分布列为P{X=k}=(l-pY^p^q 对于区间以上的均匀分布来说，区间长度越长，方差〃3) 对于区间以上的均匀分布来说，区间长度越长，方差〃3)越大・则E(X)=LQ(X)=%均匀分布若随机变量X的密度为心』击心5“0,其它.砍XU孝，畋=与次£ J£t证明：指数分布若随机变量X的密度为［如-%jr>0I0,K。则EX=1,DX=1_正态分布：XN(R,b2)，贝UEX=R,DX=b2证明:也可以用下面方法来证明:与P.85—一习题九一4类似，设再(0.1),r:<p(x)dx=L乂小3，湛九那么/=诫*=守版从Mo,i),即EW)=o,以y)=i则E(X2)=E(/z+crlO=EO^+2^F+^2r2)顼+街E(Y)+/E(『)=#'+2pS7*0+(7211=*+/■D(X)=E(x2)“(E(X))22t2 2 2=p+a一fi=if*由此，我们知道;正态分布N(M的两个参数久温恰为X的数学期望和方差.对一般的随机变量X,作变换丫*-E也)■/DO)'那么 EW)=E(漏剧=y^(E(x)-EU))=0-E(X-E(X))2=D(x)一咐_1称Y为X的标准化随机变量.【例8】若连续型随机变量的概率密度是V=0<5 /.x(a