体系的自由度

14.2体系的自由度14.2体系的自由度14.2体系的自由度一、自由度的概念在没有受到约束之前，所有的像平面内的点、杆件、刚片（即平面内的刚体）等，都是可以自由运动的。当点（或刚片、体系）在平面内运动时，为确定其运动位置所需的独立坐标的数目，称为点（或刚片、体系）在平面内的自由度。14.2体系的自由度1.点在平面内的自由度如图所示，一个点A在平面内运动时，为确定其运动位置，需要用两个坐标x和y，因此平面内一个点的自由度等于2。14.2体系的自由度2．刚片在平面内的自由度如图所示，一个刚片在平面内运动时，为确定其运动位置，需要用它上面的任一点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角来确定，因此平面内一个刚片的自由度等于3。思考：在日常生活中，挂一幅相片(比如结婚照)，如何确定位置？14.2体系的自由度二、约束的作用能够使体系的自由度减少的装置统称为约束。平面杆件体系中的杆件，总是用各种不同的约束连接在一起，工程实际中的约束，形式各异，但是经过分析，主要可以归纳为以下几种，即：1.链杆2.单铰3.复铰4.支座14.2体系的自由度1．链杆：两端是铰链连接，中间不受力的杆件称为链杆。链杆主要为直杆，少数也可以为折杆或曲杆。如图所示，两个刚片原来各有3个自由度共有6个自由度。用一根链杆相连接以后，要确定其位置，左面刚片Ⅰ需要确定3个参数即点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角即可，再确定链杆与直线的夹角以及右边刚片上的直线与链杆的夹角，一共5个参数。可见一根链杆可减少一个自由度。14.2体系的自由度2．单铰及其作用：联结两个刚片的铰称为单铰，如图所示，两刚片之间用单铰相连，在连接之前，两个刚片原来各有3个自由度共有6个自由度，用单铰联结后，左面刚片Ⅰ需要确定3个参数即点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角，确定刚片Ⅱ的位置只需要一个独立坐标即可，一共4个参数，与原来无铰连接时相比减少了2个自由度。可见一个单铰可减少2个自由度。14.2体系的自由度3．复铰及其作用：在进行几何组成分析时,还会遇到同一个铰同时连接多个刚片的情形,如图所示。我们把同时连接两个刚片以上的铰称为复铰,复铰可以这样形成：在刚片I上设一个铰A,不会改变其自由度,在铰以外依次连接刚片Ⅱ、刚片Ⅲ、……,每增加一个刚片,这个刚片的自由度比起与铰A连接前的情形减少2个自由度,若增至第n个刚片,它们的总自由度比没有与铰A存在的情形减少了2（n-l）个。因此一个连接n个刚片的复铰相当于（n-1）个单铰,减少2(n-l)个自由度。

14.2体系的自由度4．支座的作用体系要维持几何不变，必须用支座与地基基础相连。如可动铰支座（即链杆支座）、固定铰支座、固定支座等。这些不同的支座，限制运动以及减少自由度的个数各不相同。

14.2体系的自由度（1）可动铰支座：如图所示，如果用一个可动铰支座将刚片与基础相连接，则刚片在链杆方向的运动将被限制，但此时刚片仍可进行两种独立的运动，即链杆AC绕C点的转动以及刚片绕A点的转动。所以，一个可动铰支座减少1个自由度。我们将它用支座链杆的根数来体现，即一个可动铰支座有一根支座链杆，减少1个自由度。14.2体系的自由度（2）固定铰支座：如图所示,如果用一个固定铰支座将刚片与基础相连接,则刚片的任何移动都受到限制,刚片只能绕A点的转动。所以,一个固定铰支座减少2个自由度。我们同样将它用支座链杆的根数来体现,即一个固定铰支座有2根支座链杆,减少2个自由度。（3）同样地分析可知,一个固定支座应有3根支座链杆,减少3个自由度。14.2体系的自由度三、关于多余约束通过上面的介绍，我们了解了，约束是减少体系自由度的装置。但是，约束使体系的自由度减少是有条件的，在许多情况下，体系中有的约束实际上并不能起到减少自由度的作用，这种约束称为多余约束或无效约束。

14.2体系的自由度如图所示，平面内一个点A有两个自由度，如果用两根不共线的链杆将点A与基础相连接，则点A减少两个自由度，即被固定；在图中，如果再增加一根不共线的链杆将点A与基础相连接，实际上仍只减少两个自由度。因此，这三根链杆中有一根是多余约束。14.2体系的自由度又如，如图所示，刚片I通过两根竖直的链杆1和2与地基连接后，仍能在水平方向发生移动，体系的自由度为1；如果在体系中再加进一根竖直的链杆3，刚片仍能发生水平移动，体系的自由度仍为1。因此，链杆1、链杆2或链杆3三根链杆之中，有一根是多余约束。14.2体系的自由度四、体系的理论自由度一个一般的平面杆件体系，通常都是由若干刚片相互用铰相连并用支座链杆与基础相连组成的。设其刚片数（地基基础不计入）为m，单铰数为h，支座链杆数为r

,则其理论自由度W为：W=3m

－2h

－r

(14－1)式中：h是单铰总数目，如果是复铰，应把它们折算成相应的单铰，代入公式计算。14.2体系的自由度在折算成单铰时，应正确识别该复铰所联结的刚片数。如图所示几种情形，铰分别连接4个刚片、3个刚片、2个刚片，所以其相应的折算单铰数应分别为3、2、1。r是支座链杆总数目，对不同的支座，应把它们折算成相应的支座链杆，代入公式计算。14.2体系的自由度还有一些平面杆件体系，都是在两端用铰联结的杆件所组成的体系，称为铰接链杆体系。这类体系的理论自由度，除可用式（14－1）计算外，还可采用更为简便的公式进行计算。设以j表示结点数，b表示杆件数，r表示支座链杆数。则链杆体系的理论自由度为：

W=2j

－b

－r(14－2)【注】一般体系公式通用，链杆体系公式特殊（专用）14.2体系的自由度例14-1

试求如图所示体系的理论自由度。解：若将体系视为一般体系，则可数得：刚片数m=13，换算后的单铰总数h=18，换算后的支座链杆r=3，代入公式，可得W=3m

－2h

－r=3×13－2×18－3=0

14.2体系的自由度若将体系按照链杆体系计算，则可数得：结点数j=8，杆件数b=13，换算后的支座链杆r=3，代入公式，仍可得：W=2j

－b－r=2×8－13－3=0因此，对链杆体系，既可按链杆体系计算，也可以按一般体系计算，两者结果相同。但是，用链杆体系公式较计算稍简单些。14.2体系的自由度有时候，需要了解体系内部本身的几何组成情况，计算体系的内部理论自由度，由于一个内部几何不变的物体，至少需要用三根支座链杆与地基基础相连接，才能整体几何不变。所以求体系的内部理论自由度，其公式为W=3m

－2h

－3

(14－1b)或

W=2j

－b

－3

(14－2b)14.2体系的自由度五、体系的理论自由度的意义在对体系的理论自由度进行计算后，一般可能有以下三种结果：1．理论自由度W＞0,表示体系尚需要添加约束条件,才能几何不变。所以自由度W＞0的体系是几何可变体系。2．理论自由度W=0,表示体系已经具备几何不变的必要条件,可能为几何不变,但是不一定就是几何不变。因为即使体系的理论自由度W=0,如果其组成不合理仍然可能是几何可变的。

14.2体系的自由度3．理论自由度W＜0，表示体系已经具备几何不变的必要条件，且存在多余约束，体系可能为几何不变，但仍然不一定就是几何不变。因为即使体系的理论自由度W＜0，如果其组成不合理，仍然可能是几何可变的。因此，体系的理论自由度W≤0，是体系几何不变的必要条件，不是充分条件。在这里，有必要再讨论一下多余约束，上面已经提到，体系中有的约束并不能起到减少自由度的作用，这种约束称为多余约束，但是在求杆件体系的计算