光学信息技术原理及技术陈家壁第二课后习题答案

第一章习题解答

1.1已知不变线性系统的输入为

g(x)=comb(x)

系统的传递函数若b取(1)6=0.5(2)6=1.5,求系统的输出g'(x)。并画出

输出函数及其频谱的图形。

答：(1)g(x)=F{6(x)}=l图形从略，

(2)g(x)=F1《/，廿<Z-l>|s(A+l)|=l+f^(2nx)图形从略。

1.2若限带函数/(xj)的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零,

(1)如果同＜(,网＜卷，试证明

向sine俳inc僚*/•(”)=/(3)

.・FyF{/《,y》3=F{/&y»ecf(?/；,bfy)

证明：

fG，y)=F［、{/(2卜以p-jsinesine;f&,y)

⑵如果同〉:,网＞J,还能得出以上结论吗？

答：不能。因为这时F{/(x,_y)}rec/1章(f{x,y^rect(afx/.)。

1.3对一个空间不变线性系统，脉冲响应为

J)=7sincC(y)

试用频域方法对下面每一个输入力(X/),求其输出g,(x/)。(必要时，可取合理近似)

(1)fx(x,y)=cos4TIX

g](X介FT{F{/](X/)}F{〃(xj)})=FT{F{cos4nx}F{7s讥(7x)8(y)}}

答:

-1

=F<F{cos4^x\rec^A=Ft{F{COS4TIX}}=COS4兀X

(2)f2(xj”cos(4^x)rectred

答:

g2(xJ)=Ft{F{<(xM}F%(x,y)}"，中os(4nx)rec/信卜c隹{7si〃(7x)8(y)}>

<(F{cos4Kx}*75.75si〃c(7".)s%c(75/、.卜cos(4^x)rect

=F

(3)f3(xj”[l+cos(8^x)]rect

g3(x，y[F，F|[1+CO5(8nx)]recZ^j|F{7si〃(7x)6(y)})

=Ft«(F{l+cos(8"x)}*75si〃c(7yv)4/Jbec/(?)}

=FT](18(X)46/一4尺6(/,+4)卜5版47%)")卜《外

三Ft<15sinc(75fx)6(/)ec/(„{75sinc(75fx)6(/,)}=的

(4)f4(x,y)=co/nb(x)*(rect(2x)rect(2y))

答：

-1

g2(x,y)=F{F{comb(x)*(rec(2x)-ec(2y))}F\lsin(7x)5(v)}}

=FT科(4/；/卜0.637必—"％o.637〃,+1〃0.212立—3,小…)卜c仔}

=Ft(0.258(./；,/,.>0.1596g-l,/>0.1593伉+100.0536(工—3,f)0.0536(工+3/J}

=0.25+0.318cos(2砍)-0.106cos(64x)

1.4给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波

g,(x)=*A(x)

对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

<1)"(/)=rec归

<2)//(7)=rect((j-rect(《)

答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形

G(/)=F{g,(x)}=<F*Fjrecr(^)|{A(x)}>

=[comb(3/)*50sinc(50/)]sinc2f

方括号内函数频谱图形为：

50

图1.4(1)

sin02/图形为:

图1.4(2)

因为sine?/的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个

分量以外的其他分量，因为此时sine?/的最大值小于0.04%。故图解G(/)频谱结果为：

G(f),

50

图1.4(3)

传递函数(1)形为:

f

图1.4(4)

因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：

22

<6(/)+0.6856(/+*50sinc(50/)+0.1716(/+

其反变换，即输出函数为:

x2xx

1+1.37cos2»—+0.342cos2^--xrect(—)

335500

该函数为限制在［-25,25］区间内，平均值为1,周期为3,振幅为1.37的一个余弦函数与周

期为1.5,振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。

传递函数（2）形为:

图1.4(5)

此时，输出函数仅剩下在［-2,-1］及1,2］两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的

频谱很小，相对于传递函数(2)在的零值也是不能忽略的，由于

sinc2(y)=0.043sinc2(1)=0.027

可以解得，通过传递函数(2)得到的输出函数为：

~451x

0.043cos2万一x+0.027cos2万一xrect(一)

L33J50

该函数依然限制在［-25,25］区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043,周期为0.75,的•

个余弦函数与振幅为0.027,周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5若对二维函数

h(x,y)-qsine2(at)

抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

答：:F{/?(x,y)}=F{asinc2(ax))=A(A］4/；)

1_1

7^~2aK<oo

也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于l/2a,在y方向抽样间隔无限制。

1.6若只能用ax6表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即

combcomb

gs(%,力=g(x,y)[j][y)，，戊闫rect

试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复g(x,y)。

答：因为axb表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g(xj)也有贡献，不可省略。

1.7若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”/(x,y)=b(x),系统对线脉冲的输出响应称

为线响应A(x)。如果系统的传递函数为证明：线响应的一维傅里叶变换等于

系统传递函数沿/轴的截面分布"(人,0)。

证明：F{〃x)}=F做y)*破,力}=b(/,)"(/,/)=,0)

1.8如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间纥，］(归By之外恒为

零，系统输入为非限带函数g0(x,y),输出为g(x,y)。证明，存在一个由脉冲的方形阵列

构成的抽样函数g°(x,y),它作为等效输入，可产生相同的输出g'(x,y),并请确定g0(x,y)。

答：为了便于从频率域分析,分别设：

物的空间频谱41(/；/，)=尸｛go(xj)｝;

像的空间频谱4(/；/，)=尸｛g,(x/)｝；

等效物体的空间频谱⑷。(/；,刀)=尸｛g'o(xj)｝；

等效物体的像的空间频谱⑷。(£/)=F｛g'°(xj)｝.

由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在|工区Bx,\fy\<"，之外

恒为零，故可将其记为:

H(fx,fy)rectrect

利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为

4(4/)H｛fx,fy)rect

=4(£/)

在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办

法是把4(，/"JX工、安置在人<,平面上成矩形格点分布的每•个

rectl25J

(2纥〃,28,⑼点周围，选择矩形格点在工、力,方向上的间隔分别为2纥和24，以免频谱

混叠，于是

0000

%(fx，fy)=4(n*E工队八

«=-00卅=-00

=4（A/）rec/rec/-*——-——combj（1）

（23」［2By）4BxBy125J\lBy）

对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许〃’0（/；,刀,）的中央一个

周期成份（〃=加=0）通过，所以成像的谱并不发生变化，即

⑷。（/；，/；）

S）

=4(/,/)

图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对4和A'。的作用，为简单计，系统传递函数在

图中表示为"以

⑷o(Zr)=4(Zv»ec/

26区一28”)

Bx2Bx

fxfx

B：

Ai(fx)=Ao(fx)H(fx)A>>(fx)=A'o(fx)H(fx)

fx

图题L8

既然,成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即

U：(x,jO=Q(x,y)

因此，只要求出⑷0（人/）的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即

U'0（x,y）=F-'{A'0（fx,fr）}

带入（1）式，并利用卷积定理得到

(fx1/

U'o（x，y）=尸t《4C4/）re以xF-'---combcomb

4BXBy、2Bx>

x

F\Wfx,f^rectcomb(2Bxx)comh(2BYy)(2)

上式也可以从抽样定理来解释。

是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来

表示，若抽样的矩形格点的间隔，在x方向是一1一,在y方向是一L,就得到等效物场

2BX2BY

U'°(x,y)

F(fx，fy)rect

t/0(x,y)*4BXBYsinc(2Bxx)sinc(2BYy)

00

4BxByjjU0(<^,77)sinc[2Bx(x-^)]xsinc[2By(y-r])]d^d?]；(3)

-00

comh(2Bxx)comb(2BYy)

188nm

x-------,y-------(4)

I2Bx2B)

4BXBYr

把（3）、（4）式代入（2）式，得到

cosnm

sinc[2B(x-J)]xsinc[2B(y-rj)]d^dr/>xx-------,y-------

U'o(x/)=xYEI2Bx2B

-00〃="£»W=-COY

利用S函数性质（1.8）式，上式可写为

U'o（xJ）=

oooo00nm、

jj7)sinc[n-xsinc[m-2Brj)]d^d?]8x-------y-------

Y2Bx928J

-00

这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体U0产生完全一样的像

本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立

叶逆变换,求出等效物场的空间分布,这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。

第二章习题解答

2.1一列波长为4的单位振幅平面光波，波矢量左与x轴的夹角为45°,与y轴夹角为

60°,试写出其空间频率及z=Z1平面上的复振幅表达式。

答：Zv=TT，/v=77，^（x,y,z,）=exp（jkzl）expj27T^-x+—yt7（0,0,0）

2A-2z12入2入J

2.2尺寸为aXb的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面

上的透射光场的角谱。

..、（x\（yA/COSOCOS.（COS.（.COS

答：U[x,y）=rect\—ject\T\，—,——v=absinc\a—―\sinc\b——I,

2.3波长为;l的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的

模板，其振幅透过率为/（%0）=0.5（1+0。52口女），求紧靠孔径透射场的角谱。

答::

4誓,平）=0.56（竿写）+0,25（3入（3号—1）+3入,胃+1加胃

2.4参看图2.13,边长为2。的正方形孔径内再放置一个边长为4的正方形掩模，其中心落

在6,力点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫

琅和费衍射图样的光场分布。画出&=〃=0时，孔径频谱在x方向上的截面图。

y。

Xo

图2.4题

22

F>^0)j^4t75ZHC(2o/t)sinc(2afy)-asinc(afx)sinc(afy,xp(-J2*(/；+/「))

U—exp(jkz)exp2+y2)}

2.5图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为。，长度为6,中心相距为

d.采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍

射图样的强度分布。假定6=4。及d=1.5a,画出沿x和y方向上强度分布的截面图。

如果对其中一个矩形引入位相差万，上述结果有何变化?

图题2.5(1)

答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,2)及(0,-^)的矩形孔径振幅透射

率之和：

dd

yX。一不yxo+7

t(x0，Jo)=rec/(—)rec/(----)+rect(—)rect(-----)(1)

abab

山于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

Uo("o)=l，

透射光场

dd

xx%+弓

U(x。，%)=。0(X。Jo)/(X。Jo)=recDrect(--^-)+rect(-^-)rect(―(2)

abab

由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

U(x,y),它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标工=工,<=匕)，即

4z

exp(及z)expj—(x2+y2)

0(x,y)=-----------一^---------xF{U(X。,%)}(3)

利用傅立叶变换的相移定理，得到

_d+d

电("。)}“侬吟).(7)+尸件吟)的(牛>

="sinc(af'x)sinc(%)x[exp(-j7rfyd)+exp(./^/；J)]

.,ax、..by..Tidy、

=2nt/osinc(——)sinc(^—)xcos(——)

MAz2z

把它带入(3)式，则有

exp(jkz)expi—(x2+y2)

.,ax.bydy

x2oabsinc(-^~)sinc(——)xcos(----)

4z丸z4z

强度分布

不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。

双缝的振幅透射率也可以写成下述形式:

+*o/o+?

(4)

((x0,y0)=rect

它和（1）式本质上是相同的。山（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出

与上述同样的结果。代入所给条件b=4a,d=1.5a

沿x轴，此时办=0

/(/r/)=8"2sine?(%)

中心光强：I（0,0）=8a2

77

极小值位置为：f=-(〃=±1,±2,…)

xa

图题2.5(2)

沿y轴：

此时＜=0,故

/«/)=婷sinc(4r)2cos2(1.5皿)

中心光强：1(0,0尸8a2

极小值位置：fv=—及卜上空(〃=±1,±2,…)

4a5a

y方向上强度分布的截面图示意如下：

1311411131

-2-------

--元a4a3a

3Q254Q

Qa

图题2.5(3)

d

f(x,y)^rectexp[-/句+5/

00闺*卜卜,%+彳

名、*6x,y-^]exp[-j^]+^(x,y+4

redredA0000

<b

dyd

yy,+—

'-2x为2

redrectexp[-"]+rec7ired

b、ab

77

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

Uo(X|，M)=l，

透射光场，b=4a,d=1.5a时

。（再,乂）=。0（%,乂）«芭,凹）

(d\d\

上一2弘+一

rectI—Irectexp+rec/rect一2(2)

bh

7

rect（五］rect（必；75“卜「［一"］+加以［土卜"+；乃"［

由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到大琅和费衍射图样

U（x,y）,它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标，=工,<=匕），即

Az2z

exp（井z）exp堵，+y2）

U（x,y）=------------------------xF{Z7（x0,y0）}（3）

利用傅立叶变换的相移定理，得到

尸{。(%,%)}=F<rectfjrectfjexp+F<rec("ec(纶含百

2

=[8/sinc(aft)sinc(4ofv)exp(-1.5j^/v)exp(-")]+8asinc(初)sinc(44)exp(l

=8/sinc(afx)sinc(44)x(exp(-L5"/„-")+exp(1.5j7r/v))

把它带入（3）式，则有

exP(a)exp[/]，+/)

U(x,y)二x8Q2sinc(q/；)sinc(4qfy)

x(exp(-1.5/X4-")+exp(1.5；^4))

exp®xp臣”)

-x8/sinc(^—)sin

c苧)

AzAZ

-1.5j7ryj兀、//万

xexpexp(--y)+exp(L5V、

Az2z2

exp(井z)exp/£3+/)

-x8八inc(爹)sine(簧)

\.5jry7i

xexpcos

I22

强度分布

/(x/)/^Tsinc2f空〕sind(也]cos?f1^+勺

{Az)[Az)2zJI/lz2J

2.6图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为/（x0）=step（x0）。采

用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复

振幅分布。画出在x方向上的振幅分布曲线。

ox

图题2.6

答：F{&%）卜F卜@卜）卜16（，v叱白7

_JJX

exp(jkz)exp2

=exp(jkz),xJ]

j2kz1Az'XzJ

振幅分布曲线图从略。

2.7在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：（1）不论孔径的形状如

何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则

衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布g（xj）是一个实函数，其

傅里叶变换是厄米型函数，即:

因此/（/：/卜口（/“）=旷（-/；所以夫琅和费衍射图样有一个对

称中心。

（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为y轴建立坐标系。有:

g(x,y)=g(-x,y)

因此

同时G(fx,f^=G'yx-f^

G.(九-/；.卜(-3,2(",)

所以

可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

2.8试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N个形状和方位都相同的全等形开孔，在每

一个开孔内取•个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫

琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该

衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面

上的干涉。

证明：假设置于原点的一个孔径表示为。（与/。），N个处于代表孔位置的点上的点光源表

示为Z6（x-吃匕），则衍射屏的透过率可表示为

N

&%RQo"ZS（x一k,y-y,\

N

其傅里叶变换可表示为

F{@，匕）"，&，儿）}・F]E6（…丁-匕）]，

该式右边第一项对应于置于原点的•个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N个处于代表

孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因

子的乘积。

2.9一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数

circ

G)=L几s”}(3

22

(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜？

(2)给出此屏的焦距表达式。

(3)什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置(特别是对于彩色物体)？

答：(1)解

衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式:

/(xj)={；+；cos[a(x2+/)]卜加

11221,,

=j-+-exp[-ja(x+y)]+-exp[ja(x+y)]\xcirc(1)

(1)式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因

k

子exp-j—(x2+/)比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分

2j

别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似

与透镜，因子circ表明该屏具有半径为/的圆形孔径。

(2)解

把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于

1]r

一expt-Jafr?+/)]项，令a=—「，则有

424

k兀

J\=~=~r~

2aAa

I、c~~k

焦距/为正，其作用相当于会聚透镜，对于上exp[/a(f+y2)]项，令。=」，则有

42于z

_k_7i

'一一五一—蔡

焦距人为负，其作用相当于发散透镜，对于“g”这一项来说，平行光波直接透过，仅振

幅衰减，可看作是

Z=°°

（3）解

由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷

远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参

看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接

收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物

体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长丸成反比。例如取

%d=6900A,4kle=4000A,则有

_4000

J"d6900'”"e

x057fbme

这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现

象。

这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。

2.10用波长为A=6328/的平面光波垂直照明半径为2mm的衍射孔，若观察范围是与衍

射孔共轴，半径为30相机的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅利费衍射的范围。

答：由式（2.55）z3》“4+彳）2及式（2一57）z〉〉g左（焉+"）有菲涅耳衍射和夫琅和费

衍射分别要求

------------(l2+l52丫=398.1mm

4x0.6328x10-r3、'

z》Y"；片熹行『

=4964.6mm

2.11单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在

轴上的强度分布。

答：圆形孔径的透过率可表示为

：.u

根据式（2.53）有

如力嘴Up

.exp2+y2)exp+处)为力

ZzLAz

轴上的振幅分布为

3=啥”

_exp{jkz)

j-r2rdrd^=exp{jkz\\-expj—a~

j'z2zIL2z

轴上的强度分布为

］、2

(0,0,z)=al\-co^—a2

Uexp^jkz\\-expi~=2

-)(2z

=4s/V,2

(4z

2.12余弦型振幅光栅的复振幅透过率为

t(xQ)=a+bcos2n-j-

式中，d为光栅周期，a>b>Q,。〉6>0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数

值：（1）z=Zy~=2d；（2）z=—=；（3）z=—=（式中z7称作泰伯距离）

T222422T

时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。

答：根据式⑵31）单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为

U（xQ,y0）=a+bcos2号

强度分布为

/(X。//"C°s2号

角谱为

传播距离z后，根据式⑵40)得到角谱

/(//，z&4(/",卜4/反Ji-(入/)玉/4]

=1<<3，/J++打(yJ_(vrH

=a6(A/?上中[ak|[｛工-j>zV胆/图

利用二项式近似有

(1)z—zT—2d时

TA

4./'v>,/>-2)=exp./，；(6(./AJy卜q1'/；—Jj；J+《"+)”))

与4)(/；，/)仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直

照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。

⑵z/=4时

A/",,/)=exp

6(/"再([，％)))

对应复振幅分布为

xx-d/2

U(x,y)=a-bcos2^—=a+bcos2n-----------

dd

因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型

振幅光栅产生的强度分布。

Zd-

(3)2=1T=—

422

对应复振幅分布为

U\x,ya-jbcos2JT—

d

强度分布为

2.13图2.16所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为〃，齿宽为a,齿形角为二，光栅

整体孔径为边长L的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求距离光栅为z的

观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，a

应如何选择？

图2.16(题2.13)

答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直

照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为

uQ0，歹0y=exp{jkxtga尸ec,(']

其角谱为

4S/&jkt%N(-，"(XOA+^O/JK^O

-00

asinc(afx}comb(afx)5(/vyl}sincLfxsincLfy

\-comb(af)\^fyl}sincLfsincLf

asincd\『中))xyxy

£6(以-加)8(/2

=asinc]a\v\LsincLfxsincLfy

若让衍射图样中的机级谱幅值最大，应选择a使得

tg[〃-/)_/%

^=7

因而有

n-1a

2.14设〃(x)为矩形函数，试编写程序求p=1/4,1/2,3/4时，其分数阶傅里叶变换,

并绘制出相应卜3©的曲线。

答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)

(x)dx

P=2—(2.79)

71

即可编程计算p=1/4,1/2,3/4时的分数阶傅里叶变换（此处略）。

第三章习题解答

3.1参看图3.5,在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子

.k

expJ--Uo+亦）4+4、

L2doexP，亚

试问

（1）物平面上半径多大时，相位因子

exp+y：）

L2〃J

相对于它在原点之值正好改变n弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第个零点的半径是

多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,A和d.之间存在什么关系

时可以弃去相位因子

exp./各（x；+只）

解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为乃的条件是

聂田+说啜=…。

（2）根据（3.1.5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图

样，其中心位于理想像点（为,%）

ib

〃（%，%；x,，BdJJP（x,y）exp<~Jyr[（毛-±0）2+（乂-％）2]\dxdy

MJ

Jcircf4|二J皿&ap）

尢'd°di）\2~do4p

式中r=次+/,而

p=&2+??西一玉））2“乂%>

在点扩散函数的第一个零点处，/（2万的）=0,此时应有27rap=3.83,即

将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点（七=乂=0）,于是得

（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点

扩散函数对于原点的贡献Mx。,外；。,。）。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以

外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点

附近为40.61/14）/。范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子

expU死）2/2do］变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小区

域内相位变化不大于几分之一弧度（例如万/16）就满足以上要求，则公；/24）4微，

</LJ0/16,也即

a>2.44〃4

例如Z=600〃a，d0=600〃机，则光瞳半径a>1A6mm,显然这一条件是极易满足

3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为

«/,九）=y+ycos2班X。

放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x°z平

面内，与z轴夹角为0o透镜焦距为f,孔径为Do

（1）求物体透射光场的频谱；

（2）使像平面出现条纹的最大0角等于多少？求此时像面强度分布；

（3）若。采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与0=0时的截

止频率比较，结论如何？

解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Zexp（/5sin。），为确定起见设

夕＞0,则物平面上的透射光场为

4（/，%）=/exp（./5sin0）t（xo,y0）

Af..sin。+；expj27rx(f+sin。)+；exp-j27rx(f-

'jexpy2Go~T00~r00

其频谱为

延,〃）=尸。际％）｝

A(sin。sin。sin。

J—H—3J一+----

2r~1~~r24

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿J轴整体平移了sin6/2距离。

（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率

2=0/44/,于是要求

sin。DDsin。<D

<-----,--------wTo+

~T4V4024"

由此得

九八一--Wsin0<--(1)

°4/4/

。角的最大值为

D、

=arcsin4/J

此时像面上的复振幅分布和强度分布为

4D、

GE/A5exp/24玉[l+；exp(-/2g/。)]

/2「5

/.(七，乂)=彳—+cos27rfx

4Q

(3)照明光束的倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得

“T哈

即

八~22/或'max-22/(3)

，=0时，系统的截止频率为£=0/4/1/,因此光栅的最大频率

D

./omax—Pc(4)

比较(3)和(4)式可知，当采用。=耳海倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了

一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3光学传递函数在f产fy=0处都等于1,这是为什么？光学传递函数的值可能大于1

吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

(1)在(3.4.5)式中,令

“似冷乂)

JJ九(巧,乂)的血

-00

为归一化强度点扩散函数，因此(3.4.5)式可写成

8

H(4〃)=JJ〃(x”H)exp[-J2万(a+〃匕).血

-00

而

00

H(0,0)=1=J^h[xi,yi)dxidyi

-00

即不考虑系统光能损失时.，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，

这便是归•化点扩散函数的意义

(2)不能大于1

(3)对于理想成像，归一化点扩散函数是b函数，其频谱为常数1,即系统