2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理第九章第二节　求数列的通项

第二节求数列的通项复习目标学法指导1.能根据数列的前几项写出一个通项公式.2.由递推公式求通项.3.由an与Sn关系求通项.4.会构造数列求通项.1.观察归纳法求通项公式关键是找出各项的共同规律与项数n的关系,当项与项之间的关系不明显时,可采用适当变形或分解的办法.2.由递推公式求通项,通常用累加、累乘法求解,当出现an=an-1+f(n)时,用累加法;当出现=f(n)时,用累乘法求解.一、观察法求通项观察数列中各项与其序号之间的关系,分解各项中变化部分与不变部分,再探索各项中变化部分与序号之间的关系,从而归纳出构成规律,写出通项公式.二、公式法求通项能够判定函数是等差数列(或等比数列),并能求得数列的首项和公差(或公比),运用等差数列(或等比数列)通项公式求出数列通项.三、给出an和Sn的关系式,求通项1.an与Sn的关系是an=当n=1时,a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式;若n=1时不适合Sn-Sn-1,则用分段函数形式表示.2.若给出an与Sn满足的等量关系式,求an时,通常用an+1=Sn+1-Sn,构造出an+1和Sn+1,两式相减即可得到关于an的等量关系式,从而变形求得an,注意解题过程中需检验a1是否符合通项,若不符合则写成分段函数形式.四、给出递推关系式求数列通项1.通过对递推关系式进行变形、整理,构造出其他形式的等差或等比数列.2.由递推公式求通项的四种常见类型.(1)形如an+1-an=f(n)(用累加法求通项,这时f(n)可以求和);(2)形如QUOTEan+1an=f(n)(用累乘法求通项,这时f(n)能求积);(3)形如an+1=pan+q(p≠0,p≠1,q≠0),转化为an+1+λ=p(an+λ),其中λ=QUOTEqp-1的形式,则数列{an+λ}是首项为a1+λ,公比为p的等比数列;(4)形如an+1=pQUOTEanr(p,r是常数且p>0,an>0)的形式,等号两边取对数转化为(3)的形式求解.1.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是(D)(A) (B)QUOTE133QUOTE133 (C)4 (D)0解析:因为an=-3(n-)2+QUOTE34,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大值为0.2.已知数列{an}中,a1=-1,an+1·an=an+1-an,则数列的通项an=.

解析:把an+1·an=an+1-an的两边同时除以an+1an得QUOTE1an+1-QUOTE1an=-1,所以{}组成公差为-1,首项为-1的等差数列,故=-n,an=-QUOTE1n.答案:-QUOTE1n3.数列{an}满足:a1=3,an-anan+1=1,An表示{an}前n项之积,则A2013=.

解析:根据an-anan+1=1可得an+1=1-,又a1=3,可以求得a2=,a3=-QUOTE12,a4=3,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,且a1·a2·a3=-1,因为2013=3×671,所以A2013=(-1)671=-1.答案:-14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an+1),则a7=.

解析:由Sn=2(an+1)得n≥2时,Sn-1=2(an-1+1),两式相减得an=2(an-an-1),an=2an-1,而a1=2(a1+1),a1=-2,所以a7=-2×26=-128.答案:-1285.已知数列{an},a1=1,an+1=,则数列{an}的第40项是.

解析:由an+1=可知==3+QUOTE1an,数列{QUOTE1an}是等差数列,首项为1,公差为3,则=1+3(n-1)=3n-2,an=,a40=.答案:QUOTE1118考点一已知数列的前几项归纳数列的通项公式[例1]写出下列各数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,…;(2)QUOTE12,QUOTE34,QUOTE78,QUOTE1516,QUOTE3132,…;(3)-1,QUOTE32,-QUOTE13,QUOTE34,-QUOTE15,QUOTE36,…;(4)3,33,333,3333,….解:(1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以an=QUOTE2n-12n解:(3)奇数项为负,偶数项为正,故第n项的符号为(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,所以an=(-1)n·,也可写为an=(4)将数列各项改写为:QUOTE93,QUOTE993,QUOTE9993,QUOTE99993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,….所以an=QUOTE13(10n-1).由前几项归纳数列通项公式的策略(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项的符号特征和绝对值特征;(5)化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;(6)对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.1.下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…,的通项公式的是(C)(A)an=2-(-1)n (B)an=(C)an=2-|sinQUOTEnπ2| (D)an=QUOTE(-1)n-1+32解析:把n=1,2,3,…代入验证,易知选C.2.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(C)(A)6n-2 (B)8n-2 (C)6n+2 (D)8n+2解析:本题规律就是:每增加一个“金鱼”就增加6根火柴棒.由图形可知:第一个“金鱼”需用火柴棒的根数为2+6=8;第二个“金鱼”需用火柴棒的根数为2+2×6=14;第三个“金鱼”需用火柴棒的根数为2+3×6=20;…;第n个“金鱼”需用火柴棒的根数为2+n×6=2+6n.故选C.考点二由Sn求an[例2](1)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=;

(2)已知各项均为正数的数列{an}满足:++…+=n2+3n,则an=;

(3)已知数列{an}的前n项和为Sn,an≠0,且a1=1,an+1=-2SnSn+1,求数列{an}的通项公式.解析:(1)因为Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.所以数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以Sn===1-2n,所以S6=1-26=-63.解析:(2)由QUOTEa1+QUOTEa2+…+QUOTEan=n2+3n,可得QUOTEa1+QUOTEa2+…+=(n-1)2+3(n-1)(n≥2),两式相减可得=2n+2(n≥2),当n=1时,QUOTEa1=12+3×1=4=2×1+2,满足QUOTEan=2n+2,所以QUOTEan=2n+2(n∈N*),则an=(2n+2)2=4(n+1)2.答案:(1)-63(2)4(n+1)2(3)解:因为an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1-Sn=-2SnSn+1,两边同除以SnSn+1得QUOTE1Sn+1-=2,又QUOTE1S1=QUOTE1a1QUOTE1a1=1,所以QUOTE1Sn是以1为首项,2为公差的等差数列,所以=2n-1,所以Sn=QUOTE12n-1.所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=-QUOTE12n-3=-QUOTE2(2n-1)(2又a1=1不适合上式,所以an=(1)形如Sn=f(n)型的数列求通项一般直接使用公式确定数列通项公式即可.用公式an=QUOTES1,(n=1),S(2)形如Sn=f(an)型的数列求通项如果数列{an}的前n项和Sn与第n项an之间的关系式可整理成Sn=f(an)的结构时,我们可以利用n≥2时,an=Sn-Sn-1转化为an与an-1之间的关系,从而确定数列{an}所具有的性质,进而求出an的表达式.(3)形如an=f(Sn)型的数列求通项如果数列{an}的前n项和Sn与第n项an之间的关系式可整理成an=f(Sn)的结构时,我们可以利用n≥2时,an=Sn-Sn-1转化为Sn与Sn-1之间的关系,从而确定数列{Sn}所具有的性质,进而求出Sn的表达式,转化为Sn=f(n)型的数列,进而求出an.1.已知数列{an}中,a1=1,nan+1=2(a1+a2+…+an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.

解析:因为nan+1=2(a1+a2+…+an),①所以当n≥2时,(n-1)an=2(a1+a2+…+an-1)②①-②得nan+1-(n-1)an=2an,即nan+1=(n+1)an,所以QUOTEan+1an=QUOTEn+1n,所以an=a1·QUOTEa2a1·…·QUOTEanan-1=1·QUOTE21·…·QUOTEnn-1=n,当n=1时,结论也成立.所以an=n.答案:an=n2.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=3n2-2n+1,则an=.

解析:设a1+2a2+3a3+…+nan=Tn,当n=1时,a1=T1=3×12-2×1+1=2,当n≥2时,nan=Tn-Tn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,因此an=,显然当n=1时,不满足上式.故数列的通项公式为an=答案:QUOTE2,n=1,6考点三由递推关系求通项[例3](1)已知数列{an}满足a1=QUOTE12,an+1=an+QUOTE1n2+n,求an;(2)已知数列{an}满足a1=2,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*),求an;(3)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.解:(1)因为an+1=an+QUOTE1n2+n,所以an+1-an=QUOTE1n2+n=QUOTE1n(n+1)=QUOTE1n-QUOTE1n+1,所以a2-a1=1-QUOTE12,a3-a2=-QUOTE13,a4-a3=QUOTE13QUOTE13-QUOTE14,…,an-an-1=QUOTE1n-1-QUOTE1n(n≥2),相加,得an-a1=(1-QUOTE12)+(-QUOTE13)+(QUOTE13-)+…+(-QUOTE1n)=1-QUOTE1n,所以an=QUOTE32-QUOTE1n(n≥2),经检验a1=QUOTE12适合上式,所以an=QUOTE32-QUOTE1n.解:(2)因为(n+1)an=(n-1)an-1,所以QUOTEanan-1=QUOTEn-1n+1因此·QUOTEa3a2·QUOTEa4a3·…·QUOTEanan-1=QUOTE13×QUOTE24QUOTE24×QUOTE35×…×QUOTEn-1n+1=QUOTE2n(n+1),所以an=QUOTE4n(n+1)解:(3)设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t⇒t=-3.故递推公式为an+1+3=2(an+3),令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且QUOTEbn+1bn=QUOTEan+1+3an+3所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列,则bn=4×2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.(1)累加法适用于形如an+1-an=f(n)的数列求an,具体步骤如下:写出下面n-1个等式:a2-a1=f(1);a3-a2=f(2);a4-a3=f(3),…an-an-1=f(n-1).将这n-1个等式两边分别相加,得an-a1=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1),所以an=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)(n≥2).(2)累乘法适用于形如QUOTEan+1an=f(n)的数列求an,用累乘法求通项公式的具体步骤如下:写出下面n-1个等式:QUOTEa2a1QUOTEa2a1=f(1),QUOTEa3a2=f(2),QUOTEa4a3=f(3),…,QUOTEanan-1=f(n-1)(n≥2),将这些等式左右两边分别相乘,得QUOTEana1=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-1),所以an=a1·f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-1)(n≥2).(3)an+1=pan+q(p≠0,p≠1,q≠0)型的数列求an常把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=QUOTEq1-p,再利用换元法转化为等比数列求解.(4)an+1=pan+qn型.解法一般有两种:①一般地,要先在原递推公式两边同除以qn+1,得=QUOTEpqQUOTEpq·QUOTEanqn+QUOTE1q,引入辅助数列{bn}(其中bn=QUOTEanqn),得bn+1=QUOTEpqbn+QUOTE1q,再应用an+1=pan+q的方法解决.②先在原递推公式两边同除以pn+1,得QUOTEan+1pn+1=+QUOTEqnpn+1,引入辅助数列{bn}(其中bn=QUOTEanpn),得bn+1=bn+QUOTEqnpn+1,再应用累加的方法解决.1.已知数列{an}中,a1=1,an+1=9an+2·3n+1,求an.解:因为an+1=9an+2·3n+1,所以QUOTEan+13n+1=3·QUOTEan3n+2,所以QUOTEan+13n+1+1=3(QUOTEan3n+1),所以数列{QUOTEan3n+1}是以为首项,3为公比的等比数列,所以+1=QUOTE43·3n-1=4·3n-2,所以an=4·32n-2-3n.2.已知数列{an}中,a1=1,当n∈N*,n≥2时,an=QUOTEan-11+an-1解:因为an=QUOTEan-11+an所以=,所以QUOTE1an2=QUOTE1an-12+1,则可知数列{QUOTE1an2}是等差数列,因此QUOTE1an2=1+n-1=n,所以an=.考点四双数列型递推关系求通项公式[例4](1)已知数列{an}中,a1=1;数列{bn}中,b1=0.当n≥2时,an=(2an-1+bn-1),bn=QUOTE13(an-1+2bn-1),求an,bn;(2)已知数列{an}中a1=3,其前n项和Sn满足Sn=QUOTE12an+1-QUOTE32QUOTE32.①求数列{an}的通项公式;②设{bn}是公差为3的等差数列,b1=1.现将数列{an}中的QUOTEab1,QUOTEab2,…,QUOTEabn…抽出,按原有顺序组成一新数列{cn},试求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)因为an+bn=(2an-1+bn-1)+(an-1+2bn-1)=an-1+bn-1,所以an+bn=an-1+bn-1=an-2+bn-2=…=a2+b2=a1+b1=1,即an+bn=1,①又因为an-bn=QUOTE13(2an-1+bn-1)-QUOTE13(an-1+2bn-1)=QUOTE13(an-1-bn-1),所以an-bn=QUOTE13(an-1-bn-1)=(QUOTE13)2(an-2-bn-2)=…=(QUOTE13)n-1(a1-b1)=(QUOTE13)n-1,即an-bn=(QUOTE13)n-1,②由①,②得,an=QUOTE12[1+(QUOTE13)n-1],bn=QUOTE12[1-(QUOTE13)n-1].解:(2)①当n=1时,S1=a1=QUOTE12a2-QUOTE32=3,所以a2=9.因为Sn=·an+1-QUOTE32,所以Sn-1=QUOTE12·an-QUOTE32(n≥2),相减得=3(n≥2),所以an=a2·3n-2=3n,当n=1时,符合an=3n,所以an=3n.解:②bn=b1+(n-1)d=3n-2,cn=QUOTEabn=a3n-2=33n-2,所以{cn}是以3为首项,以27为公比的等比数列,Tn==QUOTE326(27n-1).(1)给出两个数列的通项所满足的递推关系,解题时常进行适当的转化,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解.(2)涉及两个数列的综合性问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来,研究这些项与序号之间的关系.(2019·丽水模拟)已知数列{an}中,a1=0,an-an-1-1=2(n-1)(n∈N*,n≥2),若数列{bn}满足bn=n··()n-1,则数列{bn}的最大项为第项.

解析:由a1=0,且an-an-1-1=2(n-1)(n∈N*,n≥2),得an-an-1=2n-1(n≥2),则a2-a1=2×2-1,a3-a2=2×3-1,a4-a3=2×4-1,…,an-an-1=2n-1(n≥2),以上各式累加得an=2(2+3+…+n)-(n-1)=2×-n+1=n2-1(n≥2),当n=1时,上式仍成立,所以bn=n·QUOTEan+1+1·()n-1=n··(QUOTE811)n-1=(n2+n)·(QUOTE811)n-1(n∈N*).由得QUOTE(n2+n)解得≤n≤.因为n∈N*,所以n=6,所以数列{bn}的最大项为第6项.答案:6数列通项与求和[例题]设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,QUOTEan+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.

解析:由题意得a1+a2=4,a2=2a1+1⇒a1=1,a2=3,再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)⇒an+1-an=2an⇒an+1=3an(n≥2),又a2=3a1,所以an+1=3an(n≥1),所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列.S5=QUOTE1-351-3答案:1121规范要求:(1)由S2=4,an+1=2Sn+1,列出关于a1,a2的方程组求解.(2)由an+1=2Sn+1的递推关系,构造Sn-Sn-1转化为an的递推关系,再转化为特殊数列求通项.[规范训练1]已知等差数列{an},等比数列{bn}的公比为q(n,q∈N*),设{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn.若T2n+1=,则an=.

解析:Sn=na1+QUOTEn(n-1)2d=QUOTEd2n2+(a1-QUOTEd2)n,Tn=QUOTEb1(1-qn)1-q=QUOTEb11-q-QUOTEb11-因为T2n+1=QUOTESqn,所以QUOTEb11-q-QUOTEb11-q·q2n+1=QUOTEd2q2n+(a1-)qn,这是关于n的恒等式,所以QUOTEb11-q+1=0,a1-d2=0,所以an=1+2(n-1)=2n-1.答案:2n-1[规范训练2](2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.解:(2)由(1)得Sn=QUOTEa1+an2·n=n2-8n=(n-4)2所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.类型一归纳法求通项公式1.QUOTE12,QUOTE14,-QUOTE58,,-QUOTE2932,QUOTE6164,…的一个通项公式是.

解析:先写符号(-1)n,观察得an=(-1)nQUOTE2n-32n答案:an=(-1)nQUOTE2n-32n,0.88,0.888,…的一个通项公式是.

解析:数列变为QUOTE89(1-QUOTE110),QUOTE89(1-),QUOTE89(1-QUOTE1103),…,故an=QUOTE89(1-QUOTE110n).答案:an=QUOTE89(1-QUOTE110n)类型二由Sn、an递推关系求an或Sn3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5等于(B)(A)-16 (B)16 (C)31 (D)32解析:当n=1时,S1=a1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,故Sn-Sn-1=an=2an-1-2an-1+1,即an=2an-1.所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列.所以an=2n-1,所以a5=24=16.故选B.4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-3(n∈N*),则S6等于(B)(A)192 (B)189 (C)96 (D)93解析:因为Sn=2an-3(n∈N*),所以n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3.当n=2时,S2=a2+a1=2a2-3⇒a2=6,当n≥2时,Sn+1=2an+1-3,可得an+1+Sn=2an+1-3⇒an+1+2an-3=2an+1-3⇒QUOTEan+1an=2,又QUOTEa2a1=QUOTE63=2,符合上式,所以数列{an}是等比数列,首项为3,公