2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理第六章第五节函数y=Asin(ωxφ)的图象与性质(二)

第五节函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二)复习目标学法指导1.会求形如y=Asin(ωx+)的函数的单调区间、最值、周期.2.能运用三角函数知识分析和处理实际问题.1.能以复合函数的观点分析与解决函数y=Asin(ωx+)的图象与性质问题.2.能用换元法、整体思想将复合函数问题转换为正、余弦函数的图象与性质解决.3.能用建模思想处理与三角函数有关的实际问题.函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的性质1.奇偶性:=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+)为奇函数;=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+)为偶函数.2.周期性:y=Asin(ωx+)存在周期性,其最小正周期为T=.3.单调性:根据y=sint和t=ωx+的单调性来研究,由-QUOTEπ2+2kπ≤ωx+≤QUOTEπ2+2kπ,k∈Z得单调递增区间;由QUOTEπ2+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z得单调递减区间.4.对称性:利用y=sinx图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+=kπ(k∈Z),求得x.利用y=sinx图象的对称轴为x=kπ+QUOTEπ2(k∈Z)求解,令ωx+=kπ+(k∈Z)得其对称轴.1.性质理解(1)奇偶性:对函数y=Acos(ωx+),当=kπ(k∈Z)时,函数为偶函数;当=kπ+QUOTEπ2(k∈Z)时,函数为奇函数.(2)单调性:对于函数y=Asin(ωx+),当A<0或ω<0时,欲求函数的增区间,需将ωx+代入函数y=sinx的减区间,因为函数y=Asin(ωx+),y=Acos(ωx+),y=Atan(ωx+)的单调性的实质是复合函数的单调性.2.与奇偶性、对称性相关的结论(1)若f(x)=Asin(ωx+)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.(2)对于函数y=Asin(ωx+),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(3)三角函数的对称性、奇偶性与周期性一般可以“知二求一”,具体规律结合其图象可以直观的理解,而且注意这些性质的迁移应用.1.将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数解析式为(D)(A)y=2sin(2x+QUOTEπ4)(B)y=2sin(2x+QUOTEπ3)(C)y=2sin(2x-QUOTEπ4)(D)y=2sin(2x-QUOTEπ3)解析:函数y=2sin(2x+QUOTEπ6)的周期为π,将函数y=2sin(2x+QUOTEπ6)的图象向右平移QUOTE14个周期即QUOTEπ4个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=2sin[2(x-QUOTEπ4)+QUOTEπ6]=2sin(2x-),故选D.2.已知函数f(x)=Acos(ωx+)(A>0,ω>0,∈R),则“f(x)是奇函数”是“=QUOTEπ2”的(B)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若f(x)是奇函数,则f(0)=0,所以cos=0,所以=QUOTEπ2+kπ(k∈Z);若=QUOTEπ2,则f(x)=Acos(ωx+QUOTEπ2)=-Asinωx,f(x)是奇函数.所以f(x)是奇函数是=QUOTEπ2的必要不充分条件.故选B.3.设ω>0,函数y=sin(ωx+QUOTEπ3)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是(C)(A) (B) (C) (D)3解析:由题意得·k=(k∈N*),所以ω=QUOTE32k(k∈N*),所以ωmin=QUOTE32.4.函数y=-|sin(x+QUOTEπ4)|的单调递减区间是.

解析:作出函数y=-|sin(x+QUOTEπ4)|的简图(如图),由图象得函数的单调递减区间为[kπ-QUOTEπ4,kπ+QUOTEπ4](k∈Z).答案:[kπ-QUOTEπ4,kπ+](k∈Z)5.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<QUOTEπ2)的部分图象如图所示,则y=f(x+QUOTEπ6)取得最小值时x的取值集合为.

解析:根据所给图象,周期T=4×(-)=π,故π=QUOTE2πω,所以ω=2,因此f(x)=sin(2x+).图象经过点(QUOTE7π12,0),代入得2×QUOTE7π12+=π+2kπ(k∈Z),再由||<QUOTEπ2QUOTEπ2,得=-QUOTEπ6,所以f(x)=sin(2x-QUOTEπ6),所以f(x+QUOTEπ6)=sin(2x+QUOTEπ6),当2x+QUOTEπ6=-QUOTEπ2+2kπ(k∈Z),即x=-QUOTEπ3+kπ(k∈Z)时,y=f(x+QUOTEπ6)取得最小值.答案:{x|x=kπ-QUOTEπ3,k∈Z}考点一函数y=Asin(ωx+)的奇偶性、周期性与对称性[例1]已知函数f(x)=Asin(ωx+)+1(ω>0,A>0,0<<QUOTEπ2)的周期为π,f(QUOTEπ4)=QUOTE3+1,且f(x)的最大值为3,则函数f(x)的对称中心为,对称轴方程为.

解析:因为T=π,所以ω=2,因为最大值为3,所以A=2.所以f(x)=2sin(2x+)+1,因为f(QUOTEπ4)=QUOTE3+1,所以2sin(QUOTEπ2+)+1=QUOTE3+1,所以cos=.因为0<<QUOTEπ2,所以=QUOTEπ6.所以f(x)=2sin(2x+QUOTEπ6)+1.令2x+QUOTEπ6=kπ,k∈Z,得x=QUOTEkπ2-(k∈Z),所以对称中心为(QUOTEkπ2-,1)(k∈Z).由2x+=kπ+QUOTEπ2,k∈Z,得x=QUOTEkπ2+QUOTEπ6(k∈Z),所以对称轴方程为x=+QUOTEπ6(k∈Z).答案:(QUOTEkπ2-,1)(k∈Z)x=+QUOTEπ6(k∈Z)(1)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义;②利用公式:y=Asin(ωx+)和y=Acos(ωx+)的最小正周期为QUOTE2π|ω|,y=tan(ωx+)的最小正周期为;③利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要画出图象,结合图象进行判断.(2)三角函数的对称性、奇偶性①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心;②若f(x)=Asin(ωx+)为偶函数,则=QUOTEπ2+kπ(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx+)为奇函数,则=kπ(k∈Z);③若求f(x)=Asin(ωx+)的对称轴,只需令ωx+=QUOTEπ2+kπ(k∈Z),求x即可;若求f(x)=Asin(ωx+)的对称中心的横坐标,只需令ωx+=kπ(k∈Z),求x即可.1.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(B)(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos2x-+2=QUOTE32QUOTE32cos2x+QUOTE52,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.2.(2019·湖州高三检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<QUOTEπ2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点(QUOTEπ3,)对称,则m的值可能为(D)(A) (B)QUOTEπ2(C) (D)解析:依题意得解得==-QUOTEπ6=,故ω=2,则f(x)=sin(2x+)+.又f(QUOTEπ6)=QUOTE3sin(QUOTEπ3+)+=,故QUOTEπ3+=QUOTEπ2+2kπ(k∈Z),即=+2kπ(k∈Z).因为||<,故=QUOTEπ6,所以f(x)=QUOTE3sin(2x+QUOTEπ6)+.将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)=QUOTE3sin(2x+QUOTEπ6+2m)+的图象,又函数g(x)的图象关于点(QUOTEπ3,)对称,即h(x)=QUOTE3sin(2x+QUOTEπ6+2m)的图象关于点(QUOTEπ3,0)对称,故QUOTE3sin(+QUOTEπ6+2m)=0,即+2m=kπ(k∈Z),故m=-(k∈Z).令k=2,则m=.故选D.考点二函数y=Asin(ωx+)的单调性[例2]已知函数f(x)=-2sin(2x+)(||<π),若(QUOTEπ5,)是f(x)的一个单调递增区间,则的取值范围为()(A)[-,-] (B)[QUOTE4π10,QUOTE9π10](C)[QUOTEπ10,QUOTEπ4] (D)(-π,QUOTEπ10]∪[QUOTEπ4,π)解析:令2kπ+QUOTEπ2≤2x+≤2kπ+QUOTE3π2,k∈Z,所以kπ+QUOTEπ4-QUOTEφ2≤x≤kπ+-QUOTEφ2,k∈Z,又因为(QUOTEπ5,QUOTE5π8)是f(x)的一个单调递增区间,||<π,所以QUOTE5π8≤kπ+-QUOTEφ2,k∈Z,解得≤,同理由QUOTEπ5QUOTEπ5≥kπ+QUOTEπ4-QUOTEφ2,k∈Z,可得≥QUOTEπ10,所以≤≤QUOTEπ4.故选C.(1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+QUOTEπ4)在(QUOTEπ2,π)上单调递减,则ω的取值范围是.

解析:令+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,则得QUOTE12+4k≤ω≤QUOTE54+2k,k∈Z,因为k>0时上式无解,所以k≤0,又因为ω>0,所以k=0,所以QUOTE12≤ω≤QUOTE54.答案:[QUOTE12,QUOTE54]考点三由函数y=Asin(ωx+)的性质求解析式[例3]已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f(QUOTEπ4)=0,其中a∈R,θ∈(0,π).(1)求a,θ的值;(2)若f(QUOTEα4)=-QUOTE25,α∈(QUOTEπ2,π),求sin(α+QUOTEπ3)的值.解:(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,而y1=a+2cos2x为偶函数,所以y2=cos(2x+θ)为奇函数,又θ∈(0,π),得θ=QUOTEπ2,所以f(x)=-sin2x·(a+2cos2x),由f(QUOTEπ4)=0得-(a+1)=0,解得a=-1.解:(2)由(1)得f(x)=-QUOTE12sin4x,因为f(QUOTEα4)=-QUOTE12QUOTE12sinα=-QUOTE25,即sinα=QUOTE45,又α∈(QUOTEπ2QUOTEπ2,π),从而cosα=-QUOTE35,所以sin(α+QUOTEπ3)=sinαcosQUOTEπ3+cosαsinQUOTEπ3=.依据三角函数性质求y=Asin(ωx+)+B,一是用性质求参数,二是以点的代入求参数,求解过程中注意参数的范围限制.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-≤≤QUOTEπ2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2QUOTE2,且过点(2,-),求函数f(x)的解析式.解:据已知两个相邻的最高点和最低点的距离为2,可得=2QUOTE2,解得T=4,故ω==QUOTEπ2,即f(x)=sin(+).又函数图象过点(2,-QUOTE12),故f(2)=sin(×2+)=-sin=-QUOTE12,即sin=QUOTE12.又-QUOTEπ2≤≤QUOTEπ2,解得=,故f(x)=sin(+QUOTEπ6).考点四易错辨析[例4]设函数f(x)=sin(-QUOTEπ6)-2cos2+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0,QUOTE43]时y=g(x)的最大值.解:(1)f(x)=sinQUOTEπ4xcosQUOTEπ6-cosQUOTEπ4xsinQUOTEπ6-cosQUOTEπ4x=QUOTE32sinx-QUOTE32cosQUOTEπ4x=QUOTE3sin(QUOTEπ4x-QUOTEπ3).故f(x)的最小正周期为T==8.解:(2)法一在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于直线x=1的对称点为(2-x,g(x)).由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而g(x)=f(2-x)=QUOTE3sin[QUOTEπ4(2-x)-]=sin[QUOTEπ2-QUOTEπ4x-QUOTEπ3]=QUOTE3cos(QUOTEπ4x+).当0≤x≤QUOTE43QUOTE43时,QUOTEπ3≤QUOTEπ4x+≤,因此y=g(x)在区间[0,QUOTE43QUOTE43]上的最大值为QUOTE3cosQUOTEπ3=.法二因为区间[0,QUOTE43QUOTE43]关于x=1的对称区间为[QUOTE23,2],且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称,故y=g(x)在[0,QUOTE43]上的最大值就是y=f(x)在[QUOTE23,2]上的最大值,由(1)知f(x)=QUOTE3sin(QUOTEπ4x-QUOTEπ3),当QUOTE23≤x≤2时,-QUOTEπ6≤QUOTEπ4x-QUOTEπ3≤QUOTEπ6,因此y=g(x)在[0,QUOTE43]上的最大值为QUOTE3sinQUOTEπ6=.易错分析解答该类问题的易错点(1)对三角公式不熟导致三角恒等变换错误.(2)不能正确将x的范围转化为ωx+的范围致误.已知函数f(x)=4tanxsin(QUOTEπ2-x)cos(x-QUOTEπ3)-QUOTE3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[-QUOTEπ4,]上的单调性.解:(1)f(x)的定义域为(x|x≠QUOTEπ2+kπ,k∈Z).f(x)=4tanxcosxcos(x-QUOTEπ3)-=4sinxcos(x-QUOTEπ3)-QUOTE3=4sinx(QUOTE12cosx+QUOTE32sinx)-QUOTE3=2sinxcosx+2QUOTE3sin2x-QUOTE3=sin2x+QUOTE3(1-cos2x)-QUOTE3=sin2x-cos2x=2sin(2x-QUOTEπ3).所以f(x)的最小正周期为T=QUOTE2π2=π.解:(2)令z=2x-QUOTEπ3,函数y=2sinz的单调递增区间是[-QUOTEπ2+2kπ,QUOTEπ2+2kπ],k∈Z,由-QUOTEπ2+2kπ≤2x-QUOTEπ3≤+2kπ,k∈Z,得-QUOTEπ12+kπ≤x≤QUOTE5π12+kπ,k∈Z.设A=[-QUOTEπ4,QUOTEπ4],B={x|-QUOTEπ12+kπ≤x≤QUOTE5π12+kπ,k∈Z},易知A∩B=[-QUOTEπ12,].所以当x∈[-QUOTEπ4,QUOTEπ4]时,f(x)在区间[-,QUOTEπ4]上单调递增,在区间[-QUOTEπ4,-QUOTEπ12]上单调递减.三角函数图象与性质的综合问题[例题]设f(x)=2QUOTE3sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(QUOTEπ6)的值.解:(1)f(x)=2QUOTE3sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=2QUOTE3sin2x-(1-2sinxcosx)=QUOTE3(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-QUOTE3cos2x+-1=2sin(2x-QUOTEπ3)+QUOTE3-1.由2kπ-QUOTEπ2QUOTEπ2≤2x-≤2kπ+QUOTEπ2QUOTEπ2(k∈Z),得kπ-QUOTEπ12≤x≤kπ+QUOTE5π12(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是[kπ-QUOTEπ12,kπ+](k∈Z)(或(kπ-QUOTEπ12,kπ+)(k∈Z)).解:(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-QUOTEπ3)+QUOTE3-1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-QUOTEπ3)+QUOTE3-1的图象,再把得到的图象向左平移QUOTEπ3个单位,得到y=2sinx+QUOTE3-1的图象,即g(x)=2sinx+-1,所以g(QUOTEπ6)=2sinQUOTEπ6+QUOTE3-1=QUOTE3.规范要求:(1)三角变换与性质问题的解决依据一般是针对y=Asin(ωx+)+b的形式,所以化简整理是关键的一步.(2)函数化为asinωx+bcosωx是求函数解析式的难点,可借助诱导公式辅助分析确定.(3)求三角函数y=Asin(ωx+)+b的性质一般利用y=sinx的性质解决,此时应用复合函数的单调性方法处理.温馨提示:解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步:将f(x)化为asinx+bcosx的形式,构造f(x)=QUOTEa2+b2sin(x+)(其中为辅助角).第二步:利用f(x)=QUOTEa2+b2sin(x+)研究三角函数的性质.第三步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.[规范训练1]已知点(QUOTE5π12,0)是函数f(x)=(asinx+cosx)cosx-QUOTE12图象的一个对称中心.(1)求实数a的值;(2)求f(x)在闭区间[-,QUOTEπ3]上的最大值和最小值及取到最值时对应的x值.解:(1)由题意得f(x)=(asinx+cosx)cosx-QUOTE12=QUOTEa2sin2x+QUOTE12cos2x.因为f(x)的图象关于点(QUOTE5π12,0)中心对称,所以f()=QUOTEa2sinQUOTE5π6+QUOTE12cosQUOTE5π6=0,解得a=QUOTE3.解:(2)由(1)得f(x)=QUOTE32sin2x+QUOTE12cos2x=sin(2x+QUOTEπ6),设t=2x+QUOTEπ6,x∈[-QUOTEπ6,QUOTEπ3],则t∈[-QUOTEπ6,QUOTE5π6],所以f(x)min=-QUOTE12,此时x=-.f(x)max=1,此时x=QUOTEπ6.[规范训练2]设函数f(x)=sin(ωx-QUOTEπ6)+sin(ωx-),其中0<ω<3.已知f(QUOTEπ6)=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移QUOTEπ4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin(ωx-QUOTEπ6)+sin(ωx-QUOTEπ2),所以f(x)=sinωx-QUOTE12cosωx-cosωx=QUOTE32sinωx-cosωx=(QUOTE12sinωx-cosωx)=QUOTE3sin(ωx-QUOTEπ3).由题设知f(QUOTEπ6)=0,所以-QUOTEπ3=kπ,k∈Z,故ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<3,所以ω=2.解:(2)由(1)得f(x)=QUOTE3sin(2x-),所以g(x)=QUOTE3sin(x+QUOTEπ4-)=QUOTE3sin(x-).因为x∈[-QUOTEπ4,],所以x-QUOTEπ12∈[-QUOTEπ3,],当x-QUOTEπ12=-QUOTEπ3,即x=-QUOTEπ4时,g(x)取得最小值-.类型一函数y=Asin(ωx+)的奇偶性、周期性与对称性1.已知曲线f(x)=sin2x+QUOTE3cos2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈[0,QUOTEπ2],则x0等于(C)(A)QUOTEπ12 (B)QUOTEπ6 (C)QUOTEπ3 (D)解析:由题意可知f(x)=2sin(2x+QUOTEπ3),其对称中心为(x0,0),故2x0+=kπ(k∈Z),所以x0=-QUOTEπ6+(k∈Z),又x0∈[0,QUOTEπ2],所以k=1,x0=QUOTEπ3,故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为(C)(A)QUOTEπ4 (B)QUOTEπ2 (C)π (D)2π解析:由已知得f(x)====sinx·cosx=QUOTE12sin2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.3.已知函数f(x)=QUOTE3sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为QUOTEπ3,则f(x)的最小正周期为.

解析:f(x)=QUOTE3sinωx+cosωx=2sin(ωx+QUOTEπ6)(ω>0).由2sin(ωx+QUOTEπ6)=1,得sin(ωx+QUOTEπ6)=,所以ωx+QUOTEπ6=2kπ+QUOTEπ6或ωx+QUOTEπ6=2kπ+(k∈Z).令k=0,得ωx1+QUOTEπ6=,ωx2+QUOTEπ6=,所以x1=0,x2=.由|x1-x2|=QUOTEπ3,得=,所以ω=2.故f(x)的最小正周期T==π.答案:π类型二函数y=Asin(ωx+)的单调性4.(2018·天津卷)将函数y=sin(2x+QUOTEπ5)的图象向右平移QUOTEπ10个单位长度,所得图象对应的函数(A)(A)在区间[QUOTE3π4,QUOTE5π4]上单调递增(B)在区间[QUOTE3π4,π]上单调递减(C)在区间[,QUOTE3π2]上单调递增(D)在区间[QUOTE3π2,2π]上单调递减解析:函数y=sin(2x+QUOTEπ5)的图象向右平移QUOTEπ10个单位长度后的图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-QUOTEπ10)+QUOTEπ5]=sin2x,则函数y=sin2x的一个单调增区间为[QUOTE3π4,],一个单调减区间为[QUOTE5π4,QUOTE7π4].由此可判断选项A正确.故选A.5.函数y=sin(ωx+)(ω>0且||<QUOTEπ2)在区间[QUOTEπ6,QUOTE2π3]上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(A)(A)QUOTE12 (B)QUOTE22 (C)QUOTE32 (D)QUOTE6+24解析:函数y=sin(ωx+)的最大值为1,最小值为-1,由该函数在区间[QUOTEπ6,QUOTE2π3]上单调递减,且函数值从1减小到-1,可知QUOTE2π3-