第讲 数学：微分学二新

2．左、右极限在函数极限的概念中，自变量的变化趋向，x可以从x0的左、右两侧趋向于x0但有时只需考虑x仅从x0的左侧趋向于x0（记成），或x仅从x0的右侧趋向于x0（记成）若当时，f（x）无限趋近于常数A，则称f（x）当时的左极限为A，记成或。类似地，有f（x）当时的右极限，记成或，以及与。函数f（x）当（或）时的极限存在的充分必要条件，是函数的左、右极限均存在且相等，即3．极限运算法则（l）（极限的四则运算法则）注意：上述记号“lim”下的自变量变化过程可以是、、、、、，但等号两端出现的必需是同一种。（3）（复合函数的极限运算法则）设函数y=f[g（x）]是由函数y=f（u）与函数u=g（x）复合而成，f[g（x）]在点x0的某去心领域内有定义，若，，且存在当时，有，则（二）极限存在准则和两个重要极限1．夹逼准则和极限准则I（数列情形）若数列且xn、yn、及zn满足条件：（n=1,2,3，…）且则数列xn的极限存在且准则I’（函数情形）若函数f（x）、g（x）及h（x）满足条件：利用准则I’，可得一个重要极限2．单调有界准则和极限准则II单调有界的数列（或函数）必有极限。利用准则II，可得另一个重要极限狂其氏中恰e色帝是一个无伪理数神，夺e=奏2.搅7182欢8柄袋……支 懂（三）无近穷小的比斤较瓣 工设阳勾a需篮及菜都是在同顽一个自变聚量变化过光程中的无乎穷辈小佛,作且是0徒，辉lim乒张也是在这础个变化过歇程中的极朱限。朗若绘lim完复=蛾0袄，就称营是比种a愚高阶的无掠穷小，记嫩作址=乞（假a倒）；并称组a乒是比梅低阶的无穷小；找若执lim评明=C薪0佣，就称征是本与祸龄a多张同阶的无耽穷小；乖若荐lim晓歌=1,恭拔就称每是笔与术恒a龄经等阶的无齐穷小，记伍作云a援。咐关于等价接无穷小，孙有以下性基质：券若腔,惩且盛lim倒肥存在，则家当绝x兼摊0见时，有以树下常用的步等价无穷鸣小：谅（四）例偏题允一般地，爽对有理分朋式函数朝其中蛾P每（子x谊闸）耽、牺译Q狭切（具构x拘朱）是多项猾式绸，铃任若闲（解x魄）省=慌Q牢（摊x反0僵）烈0无,询则遗注意：升若梳窑Q盏纺（遥耗x浊0僵）润=0流暑，则关于松商的极限返运算法则夺不能应用糟，需特殊燃考虑。求谁【保车解降枣】艺良（嘉x吃2原-9莫饮）江=0畜贪，不能应壁用商的极悉限运算法璃则。但分区子、分母奇有公因勿子欧x-3匪,渡故。肠【稀敌解昌训】阅敲（经x驳2录-5x+赤4胶）晨=0,猴（仍2x-藏3倡）背=-1番,侧故从而展【栏例浸l-自2-词4缴】秀联求及。孝【筒鞠解榨烦】磨银冶当伍x巴架时，分子寨、分母都绑为无穷大慢，不能应着用商的极忧限运算法结则，但可施先娘用绢x3古铺去除分子版、分母，救故艇【拆例炭1-2-珠5监】烫芹等于谢（遮A切图）肿1说（老B私弹）坚0债阶（坟C术圈）不存在睛且不睬是扑桑（带D己猴）核【解饼】轰蜜酷由于刮=类0假，踢，按化照宫“走有界函数射与无穷小嫁的乘积是讽无穷院小歌”毅，故应选轧（踏B占）丰,遍样注意不要垒与极限圈=密1稍相混淆。求。求。疯【拣暴解鸟眨】似衣令章净x车＝灿-t坑,床则姻当累x委忍时悔，垂t质。于是求。求。爽【解】绍当坡x来0借掌时念，判tan2暴x重2x,餐sin闷5x壁5虑x仿，所以求。咏【解宫】抛旁狡当膊x券0脆时，症,cos谢x祝-1家-定,配所以等于爆（历A霞储）煎2跨（直B凭念）朝届0谁（妹C廉肚）谋持（户D挽骂）不存在忌且不术是雅异【解派】锣冒泊因为若所裁以方级故极限不酿存在，且及不苹是抚脏器，应选钥（蝇D性迎）。牛【荒法例轰1-卧2-1晃2土哨】苹株设躲f边（姥挨x径寒）棉=2以x榜＋埋3售x佣-2嘴康，则垂当仗x恳0坡化时，有烘（轨A贤昂）隆凤f悲（坊遗x饶贫）商出与尸x侍是等价无绝穷宏小盖莫怖（修B般港）毕扭f帝其（乡惜x节垃）持与愚林x托折同阶但非涨等价无穷勾小轿修苍（企C闻蝇）藏蒜f随（戒蹈x吴里）是昼比恼帖x付鸭高阶的无企穷窜小妥猴技（幸D释）欲f携减（稳嘉x捞袭）是竖比秋高x祥惑低阶的无捡穷小瓦【解债】钟蛮所以应选申（躲B茅薪）。春【搅洪例竭1-哈2-1厌3狮拣】疼燕宰当倘x写0测旨时哗，吩tan慕x肝-s枯in纲x折否是朗x捏3稀的骑贝（满A捷暖）高阶无富穷悬小控伪秃灰殿格（系B笋械）低阶无苦穷小听（罗C纱怕）同阶但狭非等价无瞒穷毛小谦捉稍脊（抬D胸表）等价无维穷小【解】抽应选炕（葵C砍有）。屯注意：期当盒x柿O可学时短，渣tan耳x蔬~扑x虑，千sin层x够~挤x饭涨，但不能由得号出以tan附x得-s捷in菠x叫~x评-x悬=0去个，从而得队出上述极捎限为零，踢而选扰（摘A感粱）。事实佣上，上面贤的计算结呆果表差明翠tan玻x蜓-si撑n衔x庙~哗。由此可鹿知，在利接用等价无岸穷小求极屑限时，不祝能对分子杨或分母中雀的某个加慧项作代换资，而应该爹对分子或售分母的整弦体，或其悦中的无穷范小的因子联作等价统代换，才惊不致出错义。矮【