福建省福州市江洋林业中学高三数学理测试题含解析

福建省福州市江洋林业中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，由不等式可以推出结论：=（

）A．2n

B．3n

C．n2

D．参考答案：D2.已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（） A．10° B．20° C．70° D．80°参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0， 点P在第一象限，OP的斜率 tanα===cot20°=tan70°， 由α为锐角，可知α为70°． 故选C． 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．3.集合，，则下列结论正确的是(

)A．

B．C．

D．参考答案：D4.i为虚数单位，复平面内表示复数的点在(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C5.在△ABC中，AC＝6，BC＝7，＝，是△ABC的内心，若，其中,动点的轨迹所覆盖的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.设是等比数列{an}的前n项和，，则的值为A．或-1

B．1或

C．

D．参考答案：C7.当时，不等式恒成立，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知，则下列不等式中总成立的是（）A B

C.

D参考答案：A略9.设为的边上一点，为内一点，且满足，，则

（

）A． B．

C．

D．参考答案：B10.已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．3 C．2 D．2参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则和复数的模计算即可．【解答】解：z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，则|z|=3，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(坐标系与参数方程选讲）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是

.参考答案：略12.设函数则=

参考答案：413.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______．参考答案：14.在____.参考答案：略15.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．参考答案：12【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．16.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为

（结果用最简分数表示）.参考答案：

17.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数是

．参考答案：128三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）参考答案：解析：每月生产x吨时的利润为

，故它就是最大值点，且最大值为：

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.19.设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=，其中n∈N*（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先判断函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．再求导，由导数的正负判断函数的单调性；（Ⅱ）尝试n的值，使y=f（x）的最大值小于y=g（x）的最小值即可，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，，令f′（x）=0，解得．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：xf′（x）+0﹣f（x）↗

↘所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：x（0，n）n（n，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↘↗所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，∴≥，即en+1≥nn﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，当n=1时，成立，当n≥2时，≥lnn，即≥0，设h（n）=，n≥2，则h（n）是减函数，∴继续验证，当n=2时，3﹣ln2＞0，当n=3时，2﹣ln3＞0，当n=4时，，当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，则n的最大值是4．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．20.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB与BB1的中点。

（I）求证：EF⊥平面A1D1B；

（II）求二面角F—DE—C的正切值；

（III）若AA1=2，求三棱锥D1—DEF的体积。

参考答案：解析:方法一：（I）∵E、F分别为AB与BB1的中点

∴EF∥AB1，而AB1⊥A1B，∴EF⊥A1B又D1A1⊥平面ABB1A1，∴D1A1⊥EF，∴EF⊥平面AD1B1

…………2分

（II）设CB交DE的延长线于点N，作BM⊥DN于M点，连FM∵FB⊥平面ABCD，∴FM⊥DN，∴∠FMB为二面角F—DE—C的平面角

…………5分设正方体棱长为a，则中，∴二面角F—DE—C的正切值为

…………8分

（III）连结DB，∵BB1∥DD1

…………12分方法二：如图所示，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—ACD1，不妨令正方体的棱长为2。

（I）∵E、F分别为AB与BB1的中点∴E（2，1，0），F（2，2，1），A1（2，0，2）D1（0，0，2），B（2，2，0），，，…………2分，

（II）显然，平面DEC的法向量为解得

…………6分记二面角F—DE—C的平面角为α，故二面角F—DE—C的正切值◆

…………8分21.（本小题满分12分）如图，从到有6条网线，数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从中任取3条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息之和为.（1）当时，线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；（2）求的分布列和数学期望．参考答案：（1）；（2）见解析.试题分析：（1）三条网线共有20种选择，其中的有5种∴