分式重点难点例题、练习题、自测题

分式重点、难点例题解析

【重点、难点例题解析】

例1下列各分式，当X取何值时，分式有意义？当X取何值时，分式的值为零？

人、K-2,八X1-K-2

⑴■，⑵F-

解，（D令加+5=0.得*=-g

，当.#一5时，景有有意义

令x—2=0,得x=2

又当x=2时,3x+5W0

，当K=2时，景有的值为零.

（2）令x?一1=0,得x】=Lx2=-1

，当月时，匕:2有意叉

令x—2=0,得xi=2,x2=—1

又当x==2时,X2—1:^0,当x=-1时，X2—1=0

.•.当”2时，.了了瞳冲

注：（1）分式的有无意义取决于分母中字母的取值，所以只需讨论分母中字母的取值

情况，讨论分式的值必须在分式有意义的前提下进行，因此在讨论何时分式的值为零时须同

时考虑以下两点：①字母取值使得分子值为零；②字母取值使得分母值不为零.

（2）求分式中字母的取值范围时，切不可将原分式的分子，分母进行约分，否则字母

的取值范围可能会被扩大.

如s：当x取何值时，分式

亍温有意义?

幅原式Cr+D(x-7)

(x+D(x+®

i-7

<4-6

令x+6=0,得x=-6

・••当xN—6时，分式有意义.

在上面的解题过程中，分子、分母约去了（x+1）,原分式变形为

当==-1时，蛇分式有意天丽分式无意义.

例2不改变分式的值，求解.

1aI+三

CD把分武胃[”幕的分子与分/中各瞰累数都化为拄

-If+-M—一

236

数；

（2）便分k-Z的分子.分母均不含"一”号j

（3）使分武丁翌丁的分子・分母的岫吠项的系数为汨配

2-J*-x

分析：本题都是有关分式的恒等变形，不改变分式的值是变形的前提与关键，变形的

依据是分式的基本性质和符号法则，在运用符号法则时要注意，一个分式三处有符号（分式

本身、分子、分母），要同时改变两处的符号，才能保证分式的值不变.

4--加+5

M+Sx-lO

(2)

-3x,3x

(3)/J=■…—

、’2-%-矛

x-2

3+*-2

例3约分.

8a%Y(x+W-b)，

CD34aW(x+Tg-b)

--4x+3

xa-1-6

解：(1)分析：此分式的分子、分母均为单项式，约去分子、分母中相同字母的最低

次幕，系数约去最大公约数.

8aJbJc4_8a2b>3,ac_ac

24aab,c,=SaSV•3b=%

(2)分析：可以把(x+y)、(a-b)看做一个整体.

-

(x+y)a(a-b)-x*y

(3)分析：当分式的分子、分母是多项式时，需通过因式分解将其转化为因式乘积的

形式，再进行约分，且约分的结果可以是整式.

1+力1-。+/

，-4x+3X-1

(4)«a-«-6=(«-3X«+2)=«4-2

注：一个分式的最后形式必须是最简分式.

例4通分.

5一X广1J

?+如+［，X'+M'Ka-I

解：(1)•.•最简公分母是60a3b2c3,

,c_c•2Qacs_20ac4

*'3aab4=3a4ba•20acJ=60aW

5b_5b•I*-'__75bV

4aJc4aJc,I5baca60aJb,c3

2a2a«12a*b

M-5bc、•I2a、b-60a+'t

(2)把各分母因式分解，得

X2+2X+1=(X+1)2,x2+x=x(x+1),x2—1=(x+1)(x—1).•.最简公分母是x(x—1)

(x+1)2

.M_______K*K(I-D_13(«-P

**♦+2x+l=r+l>・«L1)=4-g+T

Ll(”D・(xF〉+D(x+lQx-l>

一+I-M(B+1)•(XFM+9口+1)1

i1•如+94+i)

E=(x+g-I).4+1)=*lXx+l>

注：进行分式的通分时，若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式

的最高次塞的乘积，作为公分母，这样的公分母即最简公分母，公分母除以原分母所得的商

即为分子、分母所要乘的因式.若分母是多项式，应先把各分母分解因式，以确定最简公分

母.同约分一样，分式的通分也是对分式进行恒等变形，它的依据是分式的基本性质，通分

前后的分式值不变.

例5计算.

♦+5«-6.--12

(1)

«a-«-20x1*3k-18

ma-2mm1-8

m3*nsma-mn*ti1

r、一+F+lOyi--4。.，-2xy-3y'

ia-9yaia+«y-6yaia-iy-2y3

，、x*-2xa-4x1-4（x-2）J

⑷3e-T^

分析：分式的乘除法要注意运算顺序，要按照从左到右的顺序进行；遇到除法运算要

转化为乘法运算；运算的关键是约分，当分子、分母是多项式时，一般先因式分解，再约分,

使运算简化，注意计算结果应为最简分式（或整式）.

g八、/为5n-6./*x-12

晶（D了二三•市口i

(x-IXx+O.。-京

(E*4)(a-3(K-3)(E+Q

1-1

M-5

-2HOLma-mn<-na

m*n3m3-8

-2)m-mn■frn

(m+nXm-mn*n)(m-2)(m*-2m**4)

_m

(m+nXm'+2ni+4)

,、♦+7»y+lOy'-一4。.♦-2«y-3y’

-9yJ1+”-6?，-«y-2yJ

("初(x+5y).(x-2yXx+3y).(x+y)(x-t)

一(x+M(x-3y)(i<-2y)(i-2y)8+D(x-劭

*Sy

«-2y

工+2+--4B<-4(«-2)a

+(rF

K1-5«+6x*2

*+2.

一K(i-2)a(1+2XK-2)K*2

_x-3

例6计算.

Q)(-帝'⑵(^・(-？+($

⑶小(-孙

分析：分式的乘方依据分式乘方的法则，在运算中要注意符号，另外不要忘记系数也

要乘方.

*•Q)(-瞪

27al!>,(：•

⑵铲(-?”今

____c^_±

=一本'Q•宁

(心+心

=空明」)3

(m-D，m-r

(m+D'.

=一g二;才•(m-Dt=-(m-lXin+lK

例7计算.

(I)

z*2yx+2y

，八m3knI

⑵一

（3）包-」_+」_

''3*4sy12n

⑷/-3xdf+61-4"3

分析：分式的加减法运算，首先要判断分母是否相同，若是同分母分式相加减，分母

不变，把分子相加减，分子是多项式时，合并成一个分式后，原来的分子要添括号.若各分

母不全相同，则应通过通分将其化为同分母分式的加减法，注意运算的结果应是最简分式（或

整式）.

»•CD

K+2JFx+2yz*2y

2g+3y+x

i+2y

3«+-4y

z+2y

m-m?3mI

⑵g+E-g

m—n?3m1

m,-1ma-l-1

m-ma-3m-I

--I

—_.2m+D

二

"(m+lXm-D

__m+1

一m-l

2y工.y

（3）

3k4“I2n

=生一当工

12s7c12^xL2^FS

8yaz-3tJ*ya

12zyz

(小4)-i----I-----+-i----I-----+-5----I------

x-3H+2x-5K+6z-4x+3

1II

=-------------+--------------+--------------

(B-D(K-2)(7(7(m

(K-1)(K-2X«-3)(«-lX»-2)(«-3)'(I-1X»-2)(«

i-3+x-l+s-2

(x-D(x-2)(x-3)

_3K-6

=(«-lXx-2X«-3)

3fr-2)

~(a-lX«-2X«-3)

3

=(x-lXx-3)

例8计算.

(3)--------------1----------------+---------------

x+2«-2(K*2X*+D(X-2)(«-D

⑷三十-3…E

解：（1）分析：如果四个分式一起通分，每个分子都将是三个整式的乘积，运算量较

大，不妨适当分组，两两组合，通分化简后再计算，较为简单.

1212

----+--■--

z-lX+2K+1K-2

=Jt-----■I)、+…2fI-，1)、

z+r失+2

-Q-W+DQ+双7

_K-FI-K+1K-2-x-2

=(«-D(H*l)+-+2)(7

28

=(«-1)(«4-1)-(M+2)(«-2)

2(«3-4)-8(B3-0

=(B-1XX*1X«*25(«-2)

2BJ-8-8M1*8

=(«4-IXM-IXB+2)(B-2)

___

="(M*1X«-1XB+2)(B-2)

(2)分析：观察每个分母，发现(x—y)(x+y)=x2—y2,而(x——y?)(x2+y2)=x'

-y,(xl-y1)(xV)=x8-y8,所以不妨从左到右依次通分.

112K4—

-----+-------+-5----5-+-I----T

K-y«：+y—+/K**y*

_s+y+i-y2z4M1

一(x-力(-X+y)、+/+«*+y*

-2K2K4一

-ya*1+/+B4*y4

一-y4)(«4+y4)+«4*/

_M4«3

_4BJ(«*+y4<-»*-y4)_8KY

--Y-y*.

(3)Mb对于后两个分武，可以依据公式7二='-二7，

n(ii/DnQ*1

将其拆成两个分式，可与前两个分式合并，以简化原式.

II,1,1

K+2K-2(E+2X>+D(X-29(K-1)

1

=lL+J____1_.□____

x+2i-2i+l1*21-21-l

IIx-l-(i+l)

=(M+IXX-1)

«-l-M-12

=(«4-1)(K-1)=_(M4-1)(«-1)

(4)分析：可先将每个分式化简，再计算，可将每个分式化成一

个捶式与一个真分式的和，加口=1一人.瑛这样的化1%蜷,

1-11-1

可使运算更简便.

—i-^2――K-3.——I*4%—i+5

1-11-2K*3K*4

为一(“贵心击)

_x-lr+2x+3-x-4

=g-&(x-D+(x+$(K+4)

=11

♦+7x+12-p-3k*2)

=(«-9(«-2XB*3J(«*4)

♦+7x+12--<-3B-2

=3)(…

10x4-10

=(«-D(X-2)(«*3XB+4)

例9计算.

Q）…普）.要A当

,、II21tXs-f

⑵丁产

r、x-2«-1-—5K-4.

（3）-------------x-------------+-----------------・（2+M）2

''K+2♦+4*+4*2'>

分析：分式的混合运算中，要注意运算顺序，对于每个分式，能约分时要先约分，可

使后面的运算较为简单.

+2y，.”一力.x+y

a+y(«a+尸)8+y)(«-y)夷'

p1

a+y(s1*ya)(«*y)至

1

一咏"醇

心力’

心力

一。*可+7

C3)•(2+货

z**2+4x+4«+2

K-2s-1.x*2)

K-2M+2

x+2x-4

a

(»-2)(z-4)-(K4-2)

(x+双x-4)~~

_--6i+8-1-4i-4

U*2)(«-4)-

-llh+4

=(«4-2X«-4)

lOx-4

="(«+2)(«-4)

例10化简下列繁分式.

（2）

1-xa*ba-b

分析：在分子或分母中含有分式的分式叫做繁分式，繁分式的化筒实际上就是分式的

混合运算.化简繁分式一般采取两种方法：①可以将繁分式转化为除法进行化简，利用这种

方法，要注意分数线的两个作用——除号和括号的作用；②可以根据分式的基本性质约去分

子或分母中的分母，将其化为一一般分式再进一步化简.

解，(I)LaZZ

x-iz7

M+M'

l*r1l+xB-1

«=-----y=—

TX-t-1

l-K1-K

(2)鹤一:a-ba+b

a-ba*b

a1-baa'+b'、a-ba+b

、a-ba+b)、+ba-b，

(a+b)(ab)〜+b\一(a-」-，+b)：

一1-a-ba*b,(a+b)(a-b)

a'+bL_4ab

=3a-a+b(a+b)(a-b)

,ka'+b\,(a*b)(a-b)

……F")・一^—

___a'->>ifl.(a+b)(a-b)

a+b4ab

=-2ba(a-IQb(a-b)

4ab2a

解法二:

(正小一笔…一b)

(-rr~-r)(«+b)(a-b)

a*ba-b

(a+bXa-b)'-(a-b)q'+b‘)

(a-b)1-(a*b)a

Ca-b)(aa-ba-aa-ba)

=aa-2**b1-(aJ*2*+bJ)

-2ba(a-b)b(a-b)

=--2a

例11化简求值.

a-ab+lf1*b-a-ab

>其中*=2,b=3.

l一b-a+ab

a-ab*l-b.l+b-a-ab

a'_a'b'_II-b-a+ab

aG・b)+(l・b).(l+b)-a(l+b)

-a'Q-b')-(l-b')G-b)-aG-b)

—(1-bXa+D.(l+bXl一0

"(a*D(a-1X1+b)(l-b)(1-bXl-a)

1

=(a-lXl-b)

Va=2,b=3

I

(a-Dd-b)(2-l)(l-3)2

例12已知：a+b=3,ab=l

Va+b=3,ab=l

3

baba»aa(a4-b)a-2ab

C2)f

absbah

Va+b=3,ab=l

.bj-2xl

..一土==---：---=7

ab1

例13解下列关于x的方程.

(1)m(x-m)=n(x—n)(mWn)

(2)空=与配1廿b)

abab

分析：解含有字母系数的一元一次方程，注意不能用等于零的含字母的式子去乘或除

方程的两边，对于字母的取值，通常会在已知条件中直接或间接地给出，如(2)题，除题

目告诉的aWb这一条件外，隐含有aWO,bWO的条件.

解：(1)原方程变形为(m—n)x=m‘一i?

„.,.m—n7^0

m-nm-n

(2)去分母，得ab+ax二bx—ab+ab

整理，得(a—b)x=—ab

VaT^b/.a-b^O

ab

.■«=----

b-a

例14公式［•白+白中，R'玛已虬且JMl，求即.

解：方程两边同乘以RRR,得

RR=RR2+RR1

R1R2—RRFRRZ

RI(R2—R)-RR2

VR^R2,・・・R2—RHO

RBL

*"■Rl=nK,_一ok

说明：(1)此题是把一个公式从一种形式变成另一种形式，叫做公式变形.

(2)公式变形的实质就是解含字母系数的方程，这里，R、R?是已知数，R是未知数,

此方程可以看做是关于R的分式方程，解时要注意分母不能为零.

例15解方程.

分析：解分式方程的思路是：用最简公分母乘方程的两边，从而将分式方程转化为整

式方程，再解这个整式方程，注意分式方程的根•定要检验.

解：(1)方程两边都乘以(x+1)(x-1)

-ri(«+o0--7(<+o(M—i)=；.A-

z+lK-I+

(x+1)(x—1)(x—1)J—(x+1)=4

整理，得x?—3x—4=0

(x+1)(x-4)=0

Xi——1,X2=4

检验：当Xi=-1忖，(x+1)(X-1)=0

当X2=4时，(x+1)(x-1)=5X3=1570

・・・x=4是原方程的根.

"、gI-I*1r-2+1r-4+1r-5*1

（2）解，----——-----=---—―-----

1-1i-21-4z-4

壮;一［_-=11—^--1-^-

K-lK-2»-4一一5

z-2-（z-l）x-5-（x-4）

I1

―扬逸”吟。

两边乘以（X—1）（X—2）（X—4）（X—5）

（X—4）（X—5）=（X—1）（X—2）

x‘一9x+20=x'一3x+2

-6x=-18

x=3

检验：当x=3时，（x-1）（x-2）（x-4）（x-5）WO

Ax=3是原方程的根.

例16甲、乙两队合作一项工程，原计划12天完成，他们共同合作了6天之后，乙队

被调走，甲队又单独做了18天才全部完成.问甲、乙两队单独工作，各需多少天完成工程？

分析：此题是工程问题，设工作总量为1,设甲队单独做需x天，

乙单独做新天，耳甲每天的工作效率为乙每天的工作效率为;.

解：设甲、乙两队单独工作，分别需要X天、y天完成工程，根据题意，得到方程组:

(x=36

&=18

64-186

答：甲单独工作需36天完成工程,

乙单独工作需18天完成工程.

分式重点难点练习题

【重点、难点练习题】

一、当X取何值时，下列分式有意义？分式的值为零?

2K-t-4

1.——r2.———

«-lx+2

x-2-9M*20

'I*s-84'«a-7i+12

二、计算

l・.------+—1.-8-----

m*4ma-16

5a-82

,aa-2a-8a-4

三、解下列分式方程

c4-8K,2z-l

3.-j--1=--

z—42-K

I6K-l

4.X-l+I*1

xK+7K+2_«*5

5.

z+1B+6K+3K*4

重点、难点练习题

1.当*/时.分支有童叉，当X与时，分式的值为零，

2.当x#-2时，分式有意义，当x=2时，分式的值为零；

3.当x#2时，分式有意义；x取任何实数，分式的值均不为零;

4.当xW3且xW4忖，分式有意义；当x=5时，分式的值为零.

分式自测题

(-)填空

।•当A—分武昌财童叉.

2.若分食WttW,Xk=.

3.在分式札1=时，分再熠毒心i=

分母幡是零.

4.当^=时,分或脚的值是零.

5.当==时，分式年^无意叉.

---------------IM-z

时，分式需无意义，3

6.K为叶，这个分式的

值为零.

7・审吩武舟的值为零,用施联值应为一

8.事=时,分.广.的却序&=时,

----------K*1-4------------

分武碧无意义.

九已知—4那么B•

10.若、一誓吧的值为零,«a=

a+z-----------

ll-3i=或*=时.分式」y无意义.

i+-

X

12.若2K=为，M—=

y-----------

B.当*/,笔・7・

14.把含盐15%的盐水m千克与含盐25%的盐水n千克混合，则混合后盐水的浓度是

15_.如果a个同学在b小时内搬砖100块，那么以同样的速度，x个同学搬100块砖需

小时.

16.把a千克盐溶在b千克水里，那么在m千克这种盐水里含盐是.

17.

18.I邮岛+与+含.

2x*6，十,-6

19.W.

/-4r*4+(T*+3

20.牝1$

21.若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值为2,则

a+b_i

—：+n>24-de

a+b+c

22.若海，则空的《是

b，b

23.当*=1.y=4时.咏0-2+口^^

zxy----------

24.若1减去（卜x）的倒数的差等于（1-x）的倒数，则x=.

25.A,B两个水桶的容量之比为3：4,A桶内有水56升，B桶内有水49升，如果把B

桶内的水倒入A桶并加满，那么B桶内剩下的水是它的容量的-半，求两个水桶的容量.

解设A,B两个水桶的容量分别为x升，y升.根据题意，得方程组

（二）选择

分食等于零，曲诲为

4s*U

A.1；B.±1；

c.D.

2

27.分点里的值为零叶，峋醍[]

K-3

A.x=3；B.x=-3；

C.x=±3；D.x=0.

28.曲〉y＞。，那么:的结果是[]

M+1x

A.零；B.正数；

C.负数；D.整数.

29.下列等式中正确的

是[]

g2dbb-2a(aW(l-a)，

'(a-b)a(b-a)21-(b-a)3-(a-b)31

一a_ba*b_a-bb-a

C.------------------jD.-------..........-.

na-nm*ni+b-a-b

如.如就分武含中的迪g倍'那么分式的值

[]

A.扩大两倍;B.不变;

C.缩小两倍.

31.去分号解岫方程三■含时产生增福M如等于

[]

A.-2；B.-1；

C.1；D.2.

32.某人打靶，有m次是每次中靶a环，有n次每次中靶b环，则平均每次中靶的环

数是[]

A.=3B.岸丹

m*Q211nnJ

am*bmI

C.-----------1D.—(am-i-bn).

m-*-■>2

(三)计算

_x2-3*.K-3

33.-------<--2——.

ia-4

y”4….-1，+5x-6

ia1-i<-t4-4i2-a

35-

23

a1-7a*10.a*1+a*L

a-a+la+4&+4a+2

3

♦+2x+4■«-8■I

z2<-4B*43x+61-4

a+55

5a-20a2-9a*20

（四）求值

其中&==.

61.

4

62.已知x：y：z=3：4：5,x+y-z=6,求x,y,z的值.

先化顺再求值,其中“=」•

（五）应用题

64.甲、乙二人分别从相距36千米的A,B两地同时相向而行，甲从A地出发行至1

千米时，发现有物件遗忘在A地，便立即返回，取了物件又立即从A地向B地行进，这样甲、

乙二人恰在A,B中点处相遇.又知甲比乙每小时多走0.5千米，求甲、乙二人的速度.

65.甲、乙两个工程队合做一项工程，乙队单独做一天后，山甲、乙两队合做两天就

完成了全部工程，已知甲队单独做所需的天数是乙队

单独做所需天数的多求甲,乙两队单独做各需多少天.

66.某班学生利用星期天到离学校a千米的农场参加劳动，男同学骑自行车先出发1

小时30分钟后，女同