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文档简介

第四节二次型及其标准型演示文稿目前一页\总数二十五页\编于十八点优选第四节二次型及其标准型目前二页\总数二十五页\编于十八点只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.2/21目前三页\总数二十五页\编于十八点1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法目前四页\总数二十五页\编于十八点2．用矩阵表示目前五页\总数二十五页\编于十八点目前六页\总数二十五页\编于十八点三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．目前七页\总数二十五页\编于十八点解例１目前八页\总数二十五页\编于十八点设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．8/21目前九页\总数二十五页\编于十八点9/21目前十页\总数二十五页\编于十八点说明10/21定理4.4.6经可逆线性变换,二次型的矩阵变为即

且二次型的秩不变.

目前十一页\总数二十五页\编于十八点11/21目前十二页\总数二十五页\编于十八点用正交变换化二次型为标准形的具体步骤12/21目前十三页\总数二十五页\编于十八点解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例213/21目前十四页\总数二十五页\编于十八点从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组14/21目前十五页\总数二十五页\编于十八点4．将正交向量组单位化，得正交矩阵15/21目前十六页\总数二十五页\编于十八点于是所求正交变换为16/21目前十七页\总数二十五页\编于十八点五、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过其他方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．目前十八页\总数二十五页\编于十八点目前十九页\总数二十五页\编于十八点为正定二次型为负定二次型六、正(负)定二次型的概念例如目前二十页\总数二十五页\编于十八点定义4.4.12设有实二次型，（1）若对任何，都有，则称为半正定二次型，而对称矩阵称为半正定矩阵，记作；（2）若对任何，都有，则称为半负定二次型，而对称矩阵称为半负定矩阵，记作.二次型的正定性与它的矩阵的正定性是一致的.

目前二十一页\总数二十五页\编于十八点证明充分性故七、正(负)定二次型的判别目前二十二页\总数二十五页\编于十八点必要性故推论4.4.14对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．目前二十三页\总数二十五页\编于十八点定义4.4.15设有n阶方阵

位于左上角的各阶子式

称为n阶方阵A的主子式.目前二十四页\总数二十五页\编于十八点定理4.4.16（霍尔维茨定理）实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是：A的各阶主子式都为正；

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