北京房山区韩村河中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析

北京房山区韩村河中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下面命题正确的是（

）

A．若m⊥n，m⊥，n∥，则∥

B．若m∥，则n∥，∥，则m∥nC．若m⊥，则n∥，∥，则m⊥n

D．若m∥n，则m∥，n∥，则∥参考答案：C2.一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积关于时间的函数为，则下列图中与函数图像最近似的是参考答案：B3.已知定义域为的函数满足，当时，单调递增，若且，则的值

（

）

A．恒大于0

B．恒小于0

C．可能等于0

D．可正可负参考答案：答案:B4.若函数y=2图象上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（

）

A．

B．1

C．

D．2参考答案：B5.已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20

B．25

C．30

D．42

参考答案：C解：5x－a≤0Tx≤；6x－b＞0Tx＞．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则，即所以数对(a，b)共有C61C51＝30个．6.一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是A

1025

B

1035

C

1045

D

1055参考答案：C7.已知平面α⊥平面β，直线m，n均不在平面α、β内，且m⊥n，则（）A．若m⊥β，则n∥β B．若n∥β，则m⊥β C．若m⊥β，则n⊥β D．若n⊥β，则m⊥β参考答案：A【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的定义及判定定理或结合图形，给出反例进行判断．【解答】解：对于A，若m⊥β，m⊥n，则n∥β或n?β，又直线m，n均不在平面α、β内，∴n∥β，故A正确，C错误；对于B，若n∥β，则β内存在无数条平行直线l，使得l∥n，∵m⊥n，∴l⊥m，根据线面垂直的定义可知m与β不一定垂直，故B错误；对于D，若n⊥β，m⊥β，则m∥n，与条件m⊥n矛盾，故D错误．故选A．8.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（A）6斤

（B）7斤

（C）8斤

（D）9斤参考答案：D原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.

9.离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为

A． B．

C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面，，两两垂直且交于一点O，若空间有一点P到这三个平面的距离分别是3、4、12则点P到点O的距离为________．参考答案：.试题分析：由题意得，点到点的距离为，故填：.考点：立体几何中的距离.已知，均为锐角，且，，则

，=

．

【答案】，.【解析】考点：三角恒等变形.【方法点睛】熟知一些恒等变换的技巧：①公式的正用、逆用及变形用；②熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如，，是的半角，是的倍角等；③在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：，等；④在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．12.用数学归纳法证明“”，从“到”左端需增乘的代数式为

．参考答案：2（2k+1）略13.已知直线与圆相交于A，B两点（C为圆心），且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________.参考答案：【分析】根据三角形为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的，由此列方程，解方程求得的值.【详解】由于三角形为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.直线的一般方程为，圆的方程为，圆心为，半径为.故，解得.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.14.已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则的值是

．参考答案：2【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】取点P为上下定点，分别求出MN的长度，两次求出MN相等，即可得到a、b的数量关系．【解答】解：当点P为（0，b）时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为+b，+b，联立可得M（b，），同理可得N（﹣b，），|MN|=2b．当点P为（a，0）时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为﹣，+，联立可得M（，），同理可得N（，﹣），），|MN|=．若|MN|为定值，则2b=，?，∴则的值是2．故答案为：2．15.等比数列{an}中，若a1=﹣2，a5=﹣4，则a3=．参考答案：【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由题意，{an}是等比数列，a1=﹣2，设出公比q，表示出a5=﹣4，建立关系，求q，可得a3的值【解答】解：由题意，{an}是等比数列，a1=﹣2，设公比为q，∵a5=﹣4，即﹣2×q4=﹣4，可得：q4=2，则那么a3=故答案为．【点评】本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用16.已知函数在区间[1,e]上取得最小值4，则m=

参考答案：-3e17.大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有

种．（用数字作答）参考答案：36【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，再在A，B，C，D四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，分别求出每一种的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，再在A，B，C，D四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，有C42A22=12种情况，则3人不同的乘坐方式有3×12=36种；故答案为：36．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线的斜率．参考答案：．解:（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，……1分则，．

…………2分所以，…………………3分所以椭圆方程为．…………4分（Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直．

…………6分于是，设直线的方程为，点，，…7分则整理得，…8分，

…………9分所以．

………

10分因为四边形为平行四边形，所以，

………

11分所以点的坐标为，……………12分所以，

……………13分解得，所以．………………14分略19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，点在棱上，且．求证：平面平面；已知与底面所成角为，求二面角的正切值．参考答案：20.设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（1）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[，+∞）内有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，从而得到函数的单调区间；（2）问题转化为只需m=1+有两个实数解，令g（x）=1+，（x＞0），求出g（x）的最值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）当a=b=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x（x＞0），f′（x）=﹣x﹣=，易知f（x）在（0，1]上递增，在[1，+∞）上递减，故f（x）的最大值为f（1）=﹣．（2）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，由f（x）=mx，得lnx+x=mx，又x＞0，于是m=1+，要使方程f（x）=mx在区间[，+∞）内有两个不同的实数解，只需m=1+区间[，+∞）内有两个不同的实数解，令g（x）=1+，（x＞0），于是g′（x）=，由g′（x）＞0，得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，于是g（x）在区间[，e]上是增函数，在区间[e，+∞）上是减函数，g（）=1﹣e，g（e）=1+，故1﹣e≤m＜1+．21.已知函数y＝sin(2x＋)＋，x∈R.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(3)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？参考答案：(1)振幅A＝，周期T＝＝π，初相φ＝；(2)当sin(2x＋)＝1，即2x＋＝＋2kπ，k∈Z时，取最大值＋＝，此时x＝kπ＋，k∈Z.(3)把y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin(x＋)的图象，然后再把y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin(2x＋)的图象，然后再把y＝sin(2x＋)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到y＝sin(2x＋)的图象，最后把y＝sin(2x＋)的图象向上平移个单位长度，就得y＝sin(2x＋)＋的图象．22.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同．（1）求椭圆C1的方程；（2）求经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1、k2（k1≠k2）的两条直线，两直线分别与椭圆C1交于M、N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1?k2的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率和且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线PM：y=k1（x+2），与椭圆联立，求出M，同理求出N，由直线MN与y轴垂直，得，由此能求出k1k2的值．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，∴，解得a=2，c=，b2=4﹣3=1，∴椭圆C1的方程为．（2）由题意，当k1=0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则点N的纵坐标也为0，∴k1=k2=0，与k1≠k2矛盾，∴k1≠0，设直线PM：y=k1（x+2），由，得，解得或y=0（舍），∴M（，），同理N（，），∵直线MN与y轴垂直，∴=，化简，得，∴（k2﹣k1）（4k1k2﹣1）=0，又由k1≠k2，得4k1k2﹣1=0，∴k1k2=．已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．【答案】【解析】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】解法一：（Ⅰ）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k，结合已知可求a（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx，利用函数的导数，判断函数F（x）在（0，+∞）上的单调性，结合F（1）=﹣1＜0，F（2）=8ln2＞0，可证（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），对h（x）求导，通过讨论t的取值范围来判断h′（x）的符号，进而可判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），对h（x）求导，若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，二次函数的性质可求【解答】解法一：（Ⅰ）因为f（x）=x2+alnx，所以，函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=2+a．由2+a=10得：a=8．

…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx．因为F（1）=﹣1＜0，F（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一个根．又因为，所以F（x）在（0，+∞）上递增，所以函数F（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一个实根．

…（Ⅲ）证明如下：由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲线y=f（x）在点A处的切线方程为，即（x＞0）．

…记h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），则．

…（1）当，即t=2时，对一切x∈（0．+∞）成立，所以h（x）在（0，+∞）上递增．又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时h（x）＞0，即存在点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．

…（2）当，即t＞2时，时，h'（x）＞0；时，h'（x）＜0；x∈（t