江苏省无锡市新城中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

江苏省无锡市新城中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆C：，直线过C的一个焦点，则C的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】直线过的一个焦点，得，利用椭圆的性质求出，解出离心率即可．【详解】椭圆：，直线过椭圆的一个焦点，可得，则，所以椭圆离心率为：．故选：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．2.定义：关于的不等式的解集叫的邻域．已知的邻域为区间，其中分别为椭圆的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（

）A． B． C．

D．参考答案：B3.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：D4.若点为椭圆的焦点，P为椭圆上一点，当△F1PF2的面积为时，的值为（

） A．0 B． C．1 D．参考答案：B5.某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．则租金最少为A．31200元

B．36000元

C．36800元

D．38400元参考答案：C6.函数的一个递减区间为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=55，则a3+a8=（）A．5 B． C．10 D．11参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5（a3+a8），由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=55，∴S10===5（a3+a8）=55，解得a3+a8=11．故选：D．8.设a=cos，函数f（x）=则f（log2）的值等于(

) A． B．4 C． D．6参考答案：C考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先化简a=cos=，从而利用分段函数求值．解答： 解：a=cos=，f（log2）=f（﹣log2）=f（log26）==；故选C．点评：本题考查了分段函数的函数值的求法，属于基础题．9.设向量，，则“”是“x=2”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若⊥，则?=（x﹣1）（x+2）+x（x﹣4）=0，即2x2﹣3x﹣2=0，解得x=﹣或x=2，则“”是“x=2”的必要不充分条件．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量垂直的等价条件是解决本题的关键．10.若sin36°cosα－sin54°cos84°＝，则α值可能为

A．96°

B．6°

C．54°

D．84°参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的前项和为，若(是常数)，则数列是等比数列的充要条件是

.参考答案：当时，。当时，，所以要使是等比数列，则当时，，即，所以。12.图3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入，则输出

．参考答案：22

略13.以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为；……，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则=________.参考答案：14.设曲线y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；导数的综合应用．【分析】利用y=x2在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【解答】解：∵y=x2，∴y'=2x．x=2，y'=4∵y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，∴曲线（x＞0）上点P处的切线斜率为﹣．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴﹣=﹣，∴x0=±2，∵x＞0，∴x0=2，∴y0=，∴点P．故答案为．【点评】本题考查导数的几何意义：在切点处的斜率就是该点处的导数值，以及直线垂直的条件，属于中档题．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，若，且，则△ABC的面积等于

▲

．参考答案：由得，所以，所以，所以。16.若是奇函数，则

．

参考答案：17.如图所示，一游泳者与游泳池边AB成60°的方向向游泳池里直线游了10米,然后任意选择一个方向继续直线游下去,则他再游不超过10米就能够回到游泳池边AB的概率是

。参考答案：。如图所示为该游泳者再游不超过10米就能够回到游泳池边AB边的区域，根据几何概型公式得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列，设,数列。（I）求证：是等差数列；（II）求数列的前n项和Sn；参考答案：

于是两式相减得

……12分

略19.近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设多个分支机构，需要国内公司外派大量后、后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从后和后的员工中随机调查了位，得到数据如下表：

愿意被外派不愿意被外派合计后后合计（Ⅰ）根据调查的数据，是否有以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排名参与调查的后员工参加．后员工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的人报名参加，现采用随机抽样方法从报名的员工中选人，求选到愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数的概率．参考数据：（参考公式：，其中）参考答案：（Ⅰ）

所以有以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．（Ⅱ）设后员工中报名参加活动有愿意被外派的人为，不愿意被外派的人为，现从中选人，如图表所示，用表示没有被选到，

则“愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数”即“愿意被外派人数为人或人”共种情况，则其概率．20.已知（1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合。（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）………………2分……4分

（Ⅱ）因为对定义域内任一x有

∴=最大为

21.已知由n（n∈N*）个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），记SA＝a1+a2+…+an，对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.（1）求a1，a2的值；（2）求证：“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“”；（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.参考答案：（1）a1＝1，a2＝2；（2）证明见解析；（3）n最小值为11，an的最大值1010【分析】（1）考虑元素1，2，结合新定义SA，可得所求值；（2）从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；（3）由于含有n个元素的非空子集个数有2n﹣1，讨论当n＝10时，n＝11时，结合条件和新定义，推理可得所求.【详解】（1）由条件知1≤SA，必有1∈A，又a1＜a2＜…＜an均为整数，a1＝1，2≤SA，由SA的定义及a1＜a2＜…＜an均为整数，必有2∈A，a2＝2；（2）证明：必要性：由“a1，a2，…，an成等差数列”及a1＝1，a2＝2，得ai＝i（i＝1，2，…，n）此时A＝{1，2，3，…，n}满足题目要求，从而；充分性：由条件知a1＜a2＜…＜an，且均为正整数，可得ai≥i（i＝1，2，3，…，n），故，当且仅当ai＝i（i＝1，2，3，…，n）时，上式等号成立.于是当时，ai＝i（i＝1，2，3，…，n），从而a1，a2，…，an成等差数列.所以“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）由于含有n个元素的非空子集个数有2n-1，故当n＝10时，210﹣1＝1023，此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.而用11个元素的集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数.因此当SA＝2020时，n的最小值为11.记S10＝a1+a2+…+a10，则S10+a11＝2020并且S10+1≥a11.事实上若S10+1＜a11，2020＝S10+a11＜2a11，则a11＞1010，S10＜a11＜1010，所以m＝1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是2020＝S10+a11≥2a11﹣1，得，，所以a11≤1010.当a11＝1010时，A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意，所以当SA＝2020时，n的最小值为11，此时an的最大值1010.【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题.22.(本题10分)已知椭圆，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对