山东省青岛市城阳第一中学高三数学理月考试题含解析

山东省青岛市城阳第一中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．【分析】利用不等式性质和集合定义求解．【解答】解：（1）∵集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2.P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，且，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.某人参加央视《开门大吉》节目，他答对第一首歌名的概率为0.8，连续答对第一、二首歌名的概率为0.6，在节目现场，他已答对了第一首歌名，那么接下来他能答对第二首歌名的概率为（）A．0.48 B．0.6 C．0.7 D．0.75参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由条件概率计算公式能求出已答对了第一首歌名，接下来他能答对第二首歌名的概率．【解答】解：∵某人参加央视《开门大吉》节目，他答对第一首歌名的概率为0.8，连续答对第一、二首歌名的概率为0.6，在节目现场，他已答对了第一首歌名，∴由条件概率计算公式得接下来他能答对第二首歌名的概率为：p==0.75．故选：D．4.设是集合A到集合B的映射，若B={1，2}，则为

（

）

A．

B．{1}

C．或{2}

D．或{1}参考答案：答案:D5.函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()

（A）.f(1)25

（B）.f(1)＝25

（C）f(1)25

（D）.f(1)＞25参考答案：A略6.已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．3 B．2 C． D．参考答案：D【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，∵该三棱锥外接球的半径为，∴正方体的体对角线长为2，∴球心到平面ABC的距离为×=∴点Q到平面ABC的距离的最大值为+=．故选：D．【点评】本题考查点Q到平面ABC的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC的距离是关键．7.已知数列满足（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C8.设f（x）是定义在R上的增函数，其导函数为f′（x），且满足+x＜1，下面不等式正确的是(

)A．f（x2）＜f（x﹣1） B．（x﹣1）f（x）＜xf（x+1） C．f（x）＞x﹣1 D．f（x）＜0参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=（x﹣1）f（x），得到g（x）在R上单调递减，根据g（1）=0，得到x＞1时：f（x）＜0，从而求出答案．【解答】解：∵f（x）定义在R上的增函数，其导函数为f′（x），∴f′（x）＞0，∵+x＜1，∴（x﹣1）f′（x）+f（x）＜0，设g（x）=（x﹣1）f（x），∴g′（x）=（x﹣1）f′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减，∵g（1）=0，∴当x＞1时：g（x）=（x﹣1）f（x）＜g（1）=0，∴x＞1时：f（x）＜0，又f（x）是定义在R上的增函数，∴当x≤1时：必有f（x）＜0，综上可知f（x）＜0，x∈R，故选：D．【点评】本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数g（x）=（x﹣1）f（x），根据x＞1时得到f（x）＜0是解题的关键，本题是一道中档题．9.(1+i)(2－i)=A．－3－i B．－3+i C．3－i D．3+i参考答案：D解答：，选D.

10.已知抛物线的焦点恰好为双曲线的焦点，则a=

A．1

B．4

C．8

D．16参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值为,则=.

参考答案：【知识点】导数的几何意义.B11【答案解析】2解析：解：函数f（x）=|sinx|（x≥0）与直线有且只有三个交点如图所示，

令切点为A，,在上，故【思路点拨】令切点为A，,在上，根据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系，即可求出，代入所求化简即可求出所求．12.为了确定学生的答卷时间，需要确定回答每道题所用的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据，如表所示：题数x（道）23456所需要时间y（分钟）367811由最小二乘法求得回归方程，则a的值为_________．（参考公式：，）参考答案：由题意可知，，，，所以．13.已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+b﹣m=

．参考答案：2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出函数y=ax+的导数，求出切线的斜率，由已知切线，得到a﹣2=﹣1，从而得到m，再由切线过切点，即可得到b，进而得到a+b﹣m．【解答】解：点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，则m=a+2，函数y=ax+的导数y′=a﹣，该函数图象在P点处的切线斜率为a﹣2，由于直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则有a﹣2=﹣1，即a=1，m=3，b=1+m=4，则有a+b﹣m=1+4﹣3=2．故答案为：2．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．14.已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是．参考答案：（﹣，﹣）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式ax2+5x+b＞0的解集求出a与b的值，再化简不等式bx2﹣5x+a＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则ax2+5x+b=0的实数根是3和2，由根与系数的关系，得3+2=﹣，3×2=，解得a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．15.已知，则不等式的解集是

▲

．来参考答案：略16.定积分=

参考答案：4π17.若变量满足约束条件

，则的最小值为

．参考答案：试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，是以为顶点的三角形区域，可知当直线过点时取得最小值，代入求得最小值为.考点：线性规划.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）设是定义在R上的函数,对恒有，且当时,．（１）求证：；（２）求证：当时，恒有；（３）求证：在R上是减函数。参考答案：（3）设

由条件知，所以

所以。略19.在极坐标系中，已知曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=，曲线C1，C2相交于A，B两点．以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求A，B两点的极坐标；（2）曲线C1与直线l分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=，得ρ2cos=8，所以ρ2=16，求出ρ，即可求A，B两点的极坐标；（2）利用参数的几何意义，求线段MN的长度．【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为θ=，得ρ2cos=8，所以ρ2=16，即ρ=±4所以A，B两点的极坐标为：A（4，），B（﹣4，）…（2）由曲线C1的极坐标方程得其直角坐标方程为x2﹣y2=8，…将直线代入x2﹣y2=8整理得t2+2t﹣14=0…即t1+t2=﹣2，t1?t2=﹣14，…所以|MN|==2．

…20.已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由题意可得即g（x）＜﹣a恒成立，作出函数g（x）的图象，求得函数g（x）的最大值为g（x）max=1，可得﹣a＞1，∴从而求得a的范围．（2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象，由题意可知，把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），则它与y=x的图象始终有3个交点，从而得到a的范围．【解答】解：（1）令g（x）=|x+1|﹣|x|，则由题意可得f（x）≥0的解集为?，即g（x）≥﹣a的解集为?，即g（x）＜﹣a恒成立．∵，作出函数g（x）的图象，由图可知，函数g（x）的最小值为g（x）min=﹣1；函数g（x）的最大值为g（x）max=1．∴﹣a＞1，∴a＜﹣1，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象如下图所示，由题意可知，把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．21.如图所示，已知点M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点．（1）求点M到其准线的距离；（2）求证：直线AB的斜率为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知得32=4a，，由此能求出点M到其准线的距离．（2）设直线MA的方程为：，联立，得，由已知条件推导出，，由此能证明直线AB的斜率为定值．【解答】（1）解：∵M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点∴32=4a，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1∴点M到其准线的距离为：．（2）证明：由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为：，联立，得，∵，∴，∵直线AM、BM的斜率互为相反数∴直线MA的方程为：y﹣3=﹣k（x﹣），同理可得：，∴====﹣，∴直线AB的斜率为定值﹣．【点评】本题考查点到准线的距离的求法，考查直线的斜率这定理的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22.圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）=2．（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用互化公式可得直角坐标方程，进而得到焦点的直角坐标与极坐标．（2）直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），可得直线l的直角坐标方程为y=，曲线C的参数方程为，（0≤θ＜2π），设M（），利用点到直线的距离公式可得：M到直线的距离d，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin