辽宁省丹东市锦山中学高三数学理期末试卷含解析

辽宁省丹东市锦山中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2014x1+log2014x2+…+log2014x2013的值为（） A．﹣1 B． 1﹣log20142013 C． ﹣log20142013 D． 1参考答案：A2.已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过，，，四点的球的表面积为（

）A．3π B．4π C．5π D．6π参考答案：C3.设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=(

)A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}参考答案：B【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根据集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选B．【点评】本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个．4.若，则下列不等式中成立的是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C5.点P在边长为1的正方形ABCD内部运动，则点P到此正方形中心点的距离均不超过的概率为()A.

B.

C.

D．π参考答案：C6.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于（

）A

B

C.0

D.-17.参考答案：C.

，故选C.7.已知函数,定义函数给出下列命题:①;②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是（）A．② B．①② C．③ D．②③参考答案：D8.已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则M∩N=（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，4}D．?参考答案：A考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由M与N，求出两集合的交集即可．解答：解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，,则的虚轴为（

）A.

B.

C.4

D.8参考答案：B10.读两段程序：

对甲、乙程序和输出结果判断正确的是（

）A.程序不同，结果不同

B.程序不同，结果相同C.程序相同，结果不同

D.程序相同，结果相同参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线经过点，且，则当

时，取得最小值．参考答案：由直线经过点，得，即，所以．又由，得，即．由柯西不等式，得，由此可得．等号成立的条件为且，即，，，所以．故填．【解题探究】本题考查柯西不等式在求解三元条件最值上的应用．先由直线过定点可得，然后再思考系数的匹配，构造柯西不等式的形式，可求出的最小值，最后由柯西不等式等号成立求出，，，可得的值．12.已知非零向量，，满足||=||=||，＜＞=，则的最大值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】设，=，则=．非零向量，，满足||=||=||，可得△OAB是等边三角形．设=，则=，=．由＜＞=，可得点C在△ABC的外接圆上，则当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值．【解答】解：设，=，则=．∵非零向量，，满足||=||=||，∴△OAB是等边三角形．设=，则=，=．∵＜＞=，∴点C在△ABC的外接圆上，则当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值==．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则、等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知向量，设向，则

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。参考答案：-14.设x，y满足约束条件，若x2+9y2≥a恒成立，则实数a的最大值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】根据不等式恒成立转化为求出z=x2+9y2的最小值即可，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+9y2，则z＞0，即=1，则对应的曲线是焦点在x轴上的椭圆，由图象知当直线x+y=1与椭圆相切时，z最小，将y=1﹣x代入z=x2+9y2，整理得10x2﹣18x﹣9﹣z=0，则判别式△=182﹣4×10（9﹣z）=0，解得z=，即z的最小值为，则a≤，则a的最大值为，故答案为：15.已知正态分布的密度曲线是，给出以下四个命题：①对任意，成立；②如果随机变量服从，且，那么是R上的增函数；③如果随机变量服从，那么的期望是108，标准差是100；④随机变量服从，，，则；其中，真命题的序号是

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．（写出所有真命题序号）参考答案：①②④16.古希腊亚历山大时期的数学家怕普斯(Pappus,约300~约350)在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理:“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积”如图，半圆O的直径AB=6cm，点D是该半圆弧的中点，那么运用帕普斯的上述定理可以求得，半圆弧与直径所围成的半圆面(阴影部分个含边界)的重心G位于对称轴OD上，且满足OG=

．参考答案：17.已知菱形ABCD边长为2，，点P满足=λ，λ∈R，若=﹣3，则λ的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用，表示出，列出方程解出λ．【解答】解：∵=λ，∴=﹣=（λ﹣1）．∴=﹣=（λ﹣1）﹣．∵==．∴=[（λ﹣1）﹣]?（）=（1﹣λ）﹣+λ=﹣3．∵，=2×=﹣2．∴4（1﹣λ）﹣4﹣2λ=﹣3．解得．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数t得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C的直角坐标方程；（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．【解答】解：（1）因为直线的参数方程是（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y+3=0…（2分）由曲线C的极坐标方程ρcos2θ=2sinθ，得ρ2cos2θ=2ρsinθ，…（3分）所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y．…（2）由，消去y得x2﹣2x﹣6=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点．因为x1+x2=2，∴M（1，4）…（8分）又点P的直角坐标为（1，1），…（9分）所以…（10分）【点评】本题考查了直角坐标方程化为参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（本题满分14分）已知椭圆的焦距为2，且过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左右焦点分别为，，过点的直线与椭圆C交于两点.（1）当直线的倾斜角为时，求的长；（2）求的内切圆的面积的最大值，并求出当的内切圆的面积取最大值时直线的方程.参考答案：20.等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．（Ⅰ）证明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求V（x）的最值．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF⊥PE，而AB∩PE=E，EF⊥AB，即可证明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求出底面面积，可得体积，即可求V（x）的最值．【解答】（Ⅰ）证明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，而AB∩PE=E，所以EF⊥平面PAE．（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，∴PE⊥平面ABC，即PE为四棱锥P﹣ACFE的高．由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴，由题意知∴=．而PE=EB=x，∴，∴当x=6时V（x）max=V（6）=．21.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和为Tn.参考答案：（Ⅰ）由题设，得，即化简，的又，.

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

……12分22.已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．（Ⅰ）设，试求函数的表达式；（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．参考答案：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，，∴切线的方程为：，又切线过点，有，即，

（1）同理，由切线也过点，得．（2）由（1）、（2），可得是方程的两根，

（*），把（*）式代入,得,因此，函数的表达