2022-2023学年山东省泰安市宁阳县第二十七中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年山东省泰安市宁阳县第二十七中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．2参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出T中不等式的解集确定出T，找出S与T的交集即可．【解答】解：由T中不等式变形得：x2﹣4x+3＜0，即（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即T=（1，3），∵S={1，2}，∴S∩T={2}，故选：B．2.在数列中，，则（

）A．数列单调递减

B．数列单调递增

C．数列先递减后递增

D．数列先递增后递减参考答案：A由，知，①，则有②．由②-①得，即．∵，∴与同号．由，易知，，即，由此可知数列单调递减，故选A．3.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()．A．(－2，－1)

B．(－1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)参考答案：B4.设集合A＝{a，b}，则满足A∪B＝{a，b，c，d}的所有集合B的个数是()A．1

B．4

C．8

D．16参考答案：B5.6张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（

）A．180

B．126

C．93

D．60参考答案：B略6.如果过曲线，上点P处的切线平行于直线那么点P的坐标为(

)A、

B、 C、 D、参考答案：A7.设，且为正实数，则2

1

0

参考答案：8.没函数，则下列结论错误的是

A．的值域为{0，1}

B．是偶函数 C．不是周期函数

D．不是单调函数参考答案：9.已知O是坐标原点，点A（-1,1），若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则·的最大值是

A．-1

B．0

C．1

D．2参考答案：D10.样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数是（

）A、+

B、(+)

C、2(+)

D、(+)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间[－2,2]上的最大值为

．参考答案：812.在中，若,，则

.

参考答案：3因为，，所以，即，因为，所以，所以。13.已知向量，．若向量与共线，则实数_________参考答案：;由可得，14.已知等比数列{an}的首项为，公比为，前n项和为，且对任意的*，都有恒成立，则的最小值为______________．参考答案：15.如图，第个图形是由正边形“扩展”而来，则第个图形中共有

个顶点（相临两条边的交点即为顶点）．参考答案：略16.已知函数

。参考答案：略17.如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE=6，则EC=

．

参考答案：3考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得AE2=AD?AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．解答： 解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2=AD?AB，即36=，解得AB=，因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案为：3点评：本题给出半圆满足的条件，求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定理与相似三角形等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey﹣2e=0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）﹣ax+ex＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数并求出切点，运用点斜式方程写出切线方程并化为一般式，对照条件求出a；（Ⅱ）求出导数f'（x），对a讨论，分a≤0，a＞0，分别求出单调区间，注意定义域：（0，+∞）；（Ⅲ）运用分析法证明：f（x）﹣ax+ex＞0．首先化简左边并构造函数：g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需要证明g（x）＞0，通过导数g'（x）的单调性，运用零点存在定理证明g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设为t，由导函数g'（x）的单调性，得到g'（x）在（0，t）上小于0，在（t，+∞）上大于0，从而得到g（x）在x＞0上的单调性，从而得出g（x）的极小值也是最小值g（t），证明g（t）不小于0，由＜t＜1得g（t）＞0，从而原不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（x＞0），∴f'（x）=a﹣=，又f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey﹣2e=0，∴f'（e）=a﹣=，故a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）=a﹣=（x＞0），当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是单调减函数，当a＞0时，令f'（x）=0，则x=，令f'（x）＜0，则0＜x＜，f'（x）＞0，则x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上可得：当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，），f（x）的单调增区间为（，+∞）；（Ⅲ）当x＞0时，要证f（x）﹣ax+ex＞0，即证ex﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需证g（x）＞0，∵g'（x）=ex﹣，由指数函数和幂函数的单调性知，g‘（x）在（0，+∞）上递增，又g'（1）=e﹣1＞0，g'（）=﹣3＜0，∴g'（1）?g'（）＜0，∴g'（x）在（，1）内存在唯一的零点，则g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g'（x）的零点为t，则g'（t）=et﹣=0，即et=（＜t＜1），由g'（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g'（x）＜g'（t）=0，当x∈（t，+∞）时，g'（x）＞g'（t）=0，∴g（x）在（0，t）上为减函数，在（t，+∞）上为增函数，∴当x＞0时，g（x）≥g（t）=et﹣lnt﹣2=﹣ln﹣2=+t﹣2≥2﹣2=0，又＜t＜1，等号不成立，∴g（x）＞0，∴当x＞0时，f（x）﹣ax+ex＞0．【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查应用导数求曲线上某一点处的切线方程，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，考查构造函数和分类讨论的数学思想方法，运用分析法证明不等式的重要方法，是一道综合题．19.．已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象的平移变换和伸缩变换法则是，可得函数y=g（x）的解析式，结合正弦函数的单调性，可得它的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=2sinx的图象向右平移个单位可得：y=2sin（x﹣）的图象；再再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得：y=2sin（2x﹣）的图象；∴g（x）=2sin（2x﹣），则2x﹣∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，即函数y=g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换和伸缩变换，难度中档．20.（本小题满分14分）已知直线所经过的定点F恰好是中心在原点的椭圆C的—个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．(I)求椭圆C的标准方程；(II)点A的坐标为(-2，1)，M为椭圆C上任意一点，求的最大值；(Ⅲ)已知圆，直线．试证明当点在椭圆C上运动时，直线与圆O恒相交，并求直线被圆O所截得的弦长的取值范围．参考答案：21.已知数列满足，.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前项和.参考答案：略22.已知数列{an}前n项和为Sn，a1=﹣2，且满足Sn=an+1+n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log3（﹣an+1），求数列{}前n项和为Tn，求证Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）Sn=an+1+n+1（n∈N*）．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an+1+n+1﹣，化为：an+1=3an﹣2，可得：an+1﹣1=3（an﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．（II）bn=log3（﹣an+1）=n，可得=．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．【解答】（I）解：∵Sn=an+1+n+1（n∈N*）．∴n=1时，﹣2=a2+2，解得a2=﹣8．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an+1+n+1