2021-2022学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）经过A（﹣2，0），B（﹣2，3）两点的直线的倾斜角是（）A．45° B．60° C．90° D．135°2．（5分）已知，，与共线，则x﹣y＝（）A．5 B．6 C．3 D．93．（5分）椭圆+＝1的焦点坐标是（）A．（﹣5，0），（5，0） B．（0，﹣5），（0，5） C．（﹣4，0），（4，0） D．（0，﹣4），（0，4）4．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2 B．6 C．4 D．25．（5分）已知条件p：m＞3，条件q：+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件6．（5分）若平面α＝，其中P0（1，2，1），法向量，则下列P∈α的有（）A．P（﹣1，2，2） B．P（﹣2，5，4） C．P（3，5，6） D．P（2，﹣4，8）7．（5分）已知直线l的方向向量为，点A（1，2，﹣1）在l上，则点P（3，1，1）到l的距离为（）A．2 B．1 C．3 D．28．（5分）已知点A（1，1），若圆P：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0）上存在两点M，N，使得，则r的取值范围是（）A．（0，5） B． C． D．[1，5）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列说法中，错误的是（）A．椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆 D．若直线l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，且k1＝k2，则l1∥l2（多选）10．（5分）下列条件中，P，A，B，C四点一定共面的有（）A． B． C． D．（多选）11．（5分）已知椭圆C：的上、下焦点分别为F1、F2，且焦距为2c，离心率为e．直线l：y＝kx+c（k∈R）与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（）A．若AB的最小值为3c，则e＝ B．△ABF2的周长为4a C．若，则e的取值范围为 D．若AB的中点为M，则kOM•k＝﹣（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的边长为2，Q为棱AA'的中点，M，N分别为线段C'D'，CD上两动点（包括端点），记直线QM，QN与平面ABB'A'所成角分别为α，β，且tan2α+tan2β＝4，则存在点M，N，使得（）A．MN∥AA' B．MN＝2 C．MN＝ D．MN⊥C'Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知三棱锥O﹣ABC，其中D是线段BC的中点，如图所示，用基向量，，表示向量的表达式为．14．（5分）若x，y满足方程＝1，则y﹣x的最大值为．15．（5分）若x，y∈R，则的最小值为．16．（5分）在一节探究课上，同学们发现（并证明）当篮球放在地面上时，球的斜上方的一盏灯照过来的光线使得球在地面上留下了影子是椭圆，地面和球的接触点（切点）是椭圆影子的焦点．如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）直线l经过两直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，求直线l的方程；（2）若点A（3，1）到直线l的距离为5，求直线l的方程．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c2﹣a2＝bccosA﹣ab．（1）求角C；（2）若c＝，求a+b的取值范围．19．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），直线l：kx﹣y﹣4k＝0，当k＝时，直线l与圆O恰好相切．（1）若l被圆O截得弦长为，求l方程；（2）若直线l上存在两点M、N，满足|MN|＝2，在圆O上存在点P使得＝0，求k的取值范围．20．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA＝2，如图2．（1）求证：FA∥平面BC'D；（2）求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；（3）在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC'？若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆C：＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ．（Ⅰ）求曲线Cλ的轨迹方程；（Ⅱ）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．22．（12分）对于函数y＝f（x），x∈R，如果存在一组正常数t1，t2，…，tk，（其中k为正整数），满足0＜t1＜t2＜⋅⋅⋅＜tk使得当x取任意实数时，有f（x）+f（x+t1）+f（x+t2）+⋅⋅⋅+f（x+tk）＝0，则称函数y＝f（x）具有“性质Pk”．（1）求证：函数h（x）＝cosx同时具有“性质P1”和“性质P2”；（2）设函数g（x）＝a+bcos2x+ccos5x+dcos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在m∈R，使得g（m）＝4a，证明：存在n∈R，使得g（n）＜0．

2021-2022学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）经过A（﹣2，0），B（﹣2，3）两点的直线的倾斜角是（）A．45° B．60° C．90° D．135°【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°），由于经过A（﹣2，0），B（﹣2，3）两点，可知斜率不存在，∴α＝90°．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知，，与共线，则x﹣y＝（）A．5 B．6 C．3 D．9【分析】根据共线向量求出x，y的值，计算x﹣y即可．【解答】解：∵与共线，∴＝＝，解得：x＝3，y＝﹣6，故x﹣y＝3+6＝9，故选：D．【点评】本题考查了共线向量问题，考查转化思想，是基础题．3．（5分）椭圆+＝1的焦点坐标是（）A．（﹣5，0），（5，0） B．（0，﹣5），（0，5） C．（﹣4，0），（4，0） D．（0，﹣4），（0，4）【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，及焦点在x轴上，再由a，b，c的关系求出c的值，进而求出椭圆的焦点坐标．【解答】解：由椭圆的方程可得：a2＝25，b2＝9，且焦点在x轴上，c2＝a2﹣b2＝16，解得：c＝4，故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质，属于基础题．4．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2 B．6 C．4 D．2【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC＝＝2，CB＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝＝6．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．5．（5分）已知条件p：m＞3，条件q：+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【分析】根据条件求出m的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m＞2，即q：m＞2，则p是q的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义求出m的取值范围是解决本题的关键，是基础题．6．（5分）若平面α＝，其中P0（1，2，1），法向量，则下列P∈α的有（）A．P（﹣1，2，2） B．P（﹣2，5，4） C．P（3，5，6） D．P（2，﹣4，8）【分析】利用向量的坐标运算结合向量垂直的坐标表示，依次判断四个选项即可．【解答】解：对于A，＝（﹣2，0，1），因为＝﹣2+0﹣1≠0，所以点P∉α，故选项A错误；对于A，＝（﹣3，3，3），因为＝﹣3+3﹣3≠0，所以点P∉α，故选项B错误；对于A，＝（2，3，5），因为＝2+3﹣5＝0，所以点P∈α，故选项C正确；对于A，＝（1，﹣6，7），因为＝1﹣6﹣7≠0，所以点P∉α，故选项D错误．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量数量积的坐标运算，平面向量法向量的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7．（5分）已知直线l的方向向量为，点A（1，2，﹣1）在l上，则点P（3，1，1）到l的距离为（）A．2 B．1 C．3 D．2【分析】点P（3，1，1）到l的距离为d＝||，由此能求出结果．【解答】解：直线l的方向向量为，点A（1，2，﹣1）在l上，则点P（3，1，1）到l的距离为：d＝||＝•＝3＝1．故选：B．【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知点A（1，1），若圆P：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2（r＞0）上存在两点M，N，使得，则r的取值范围是（）A．（0，5） B． C． D．[1，5）【分析】取MN的中点D，连接PA，PD，设PD＝d，在Rt△PAD和Rt△PMD中，利用d和r分别表示AD和MD，由可得AD＝5MD，再由0≤d2＜r即可求解．【解答】解：由圆P：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝r2，（r＞0）可得圆心P（4，5），，取MN的中点D，连接PA，PD，因为，所以AD＝5MD，设PD＝d，在Rt△PAD中，由勾股定理可得：，在Rt△PMD中，由勾股定理可得：，所以，整理可得：，因为d＜r，所以，解得：r＜5，因为，所以r≥1，所以1≤r＜5，故选：D．【点评】本题主要考查圆的方程及其应用，共线向量及其应用等知识，属于基础题．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列说法中，错误的是（）A．椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆 D．若直线l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，且k1＝k2，则l1∥l2【分析】由直线及椭圆的定义及性质依次判断即可．【解答】解：对于选项A，椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆正确；对于选项B，若直线l，m的倾斜角分别为，，则直线l，m的斜率分别为1，﹣1，故错误；对于选项C，若动点P到定点A、B的距离之和为|AB|，即|PA|+|PB|＝|AB|，则点P的轨迹是线段，故错误；对于选项D，若k1＝k2，b1＝b2，则直线l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2重合，故错误；故选：BCD．【点评】本题考查了直线及椭圆的定义及性质，属于基础题．（多选）10．（5分）下列条件中，P，A，B，C四点一定共面的有（）A． B． C． D．【分析】利用空间向量共面定理的推理，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，因为，，所以点P与A，B，C三点共面，故选项A正确；对于B，因为，所以，而﹣1﹣1﹣1≠1，所以点P与A，B，C三点不共面，故选项B错误；对于C，因为，又1+1+1≠1，所以点P与A，B，C三点不共面，故选项C错误；对于D，因为，且，所以点P与A，B，C三点共面，故选项D正确．故选：AD．【点评】本题考查了空间向量共面定理推论的理解与应用，属于基础题．（多选）11．（5分）已知椭圆C：的上、下焦点分别为F1、F2，且焦距为2c，离心率为e．直线l：y＝kx+c（k∈R）与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（）A．若AB的最小值为3c，则e＝ B．△ABF2的周长为4a C．若，则e的取值范围为 D．若AB的中点为M，则kOM•k＝﹣【分析】利用焦点弦中通径最短，列出关于a，c的关系，求出a＝2c，由离心率的定义，即可判断选项A，利用椭圆的定义，即可判断选项B，利用向量数量积的坐标表示建立关于b，c的不等关系，结合离心率的定义求解，即可判断选项C，利用点差法，即可判断选项D．【解答】解：对于A，椭圆C：，因为直线l：y＝kx+c过焦点，与椭圆交于A，B两点，则AB的最小值为通径长，又AB的最小值为3c，所以＝3c，化简可得2a2﹣3ac﹣2c2＝0，解得a＝2c，所以，故选项A正确；对于B，△ABF2的周长为|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a，故选项B正确；对于C，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以＝∈[b2﹣c2，b2]，又，所以b2﹣c2≤3c2≤b2，化简可得，，故选项C正确；设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，联立方程组，作差可得，，故，所以kOMk＝，故选项D错误．故选：ABC．【点评】本题考查了椭圆标准方程的理解与应用，椭圆几何性质的应用，椭圆定义的应用，平面向量数量积的坐标运算，“点差法”的应用，中点坐标公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的边长为2，Q为棱AA'的中点，M，N分别为线段C'D'，CD上两动点（包括端点），记直线QM，QN与平面ABB'A'所成角分别为α，β，且tan2α+tan2β＝4，则存在点M，N，使得（）A．MN∥AA' B．MN＝2 C．MN＝ D．MN⊥C'Q【分析】建系设点坐标，作出题中的线面角，结合tan2α+tan2β＝4得到，再依次判断各个选项a，b是否有解即可．【解答】解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，则Q（0，0，1），C′＝（2，2，2），设M（a，2，2），N（b，2，0），则M′＝（a，0，2），N′（b，0，0），所以，其中a，b∈[0，2]，过M点作A′B′的垂线，垂足为M′，作N点作AB的垂线，垂足为N′，则MM′⊥平面ABB′A′，NN′⊥平面ABB′A′，所以直线QM，QN与平面ABB′A′所成的角分别为∠MQM′，∠NQN，即α＝∠MQM′，β＝∠NQN，所以，因为tan2α+tan2β＝4，所以，即，对于A选项，若MN//AA′，即a＝b，解得a＝b＝1，满足题意，故A正确；对于B选项，若，即，此时a，b无解，故B错误；对于C选项，若，即，解得，满足题意，故C正确；对于D选项，MN⊥C′Q，即（b﹣a，0，﹣2）⋅（2，2，1）＝0，又即b﹣a＝1，所以b＝a+1∈[0，2]，故a∈[0，1]，于是，令，又，故f（0）f（1）＜0，由零点存在定理可得f（x）在[0，1]上存在零点，即方程有[0，1]内的解，满足题意，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查空间向量在立体几何中的应用，考查零点存在定理，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知三棱锥O﹣ABC，其中D是线段BC的中点，如图所示，用基向量，，表示向量的表达式为﹣++．【分析】根据向量的线性运算求出向量的表达式即可．【解答】解：结合图像得：＝+＝﹣+＝﹣+（﹣）＝﹣++，故答案为：﹣++．【点评】本题考查了向量的线性运算，考查数形结合思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足方程＝1，则y﹣x的最大值为．【分析】令t＝y﹣x，代入方程＝1，消去y得到关于x的一元二次方程，利用判别式法求出t的最大值．【解答】解：令t＝y﹣x，则y＝t+x，代入方程＝1整理后得：5x2+8tx+4t2﹣4＝0，该方程有实数根，故Δ＝64t2﹣4×5×（4t2﹣4）≥0，即t2≤5，即，故t的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查判别式法在求最值中的应用，属于中档题．15．（5分）若x，y∈R，则的最小值为．【分析】利用两点间距离公式将问题转化为|AP|+|PQ|+|QB|的最小值，其中P（x，0）是x轴上的动点，Q（0，y）是y轴上的动点，A（1，1），B（1，2）为定点，利用对称性求解即可．【解答】解：＝++，它可以看作是|AP|+|PQ|+|QB|，其中P（x，0）是x轴上的动点，Q（0，y）是y轴上的动点，A（1，1），B（1，2）为定点，如图所示，作A关于x轴的对称点A'（1，﹣1），作B关于y轴的对称点B'（﹣1，2），则|AP|+|PQ|+|QB|≥|A'B|'＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面两点间距离公式的理解与应用，解题的关键是将问题转化为平面几何问题进行研究，考查了逻辑推理能力，属于中档题．16．（5分）在一节探究课上，同学们发现（并证明）当篮球放在地面上时，球的斜上方的一盏灯照过来的光线使得球在地面上留下了影子是椭圆，地面和球的接触点（切点）是椭圆影子的焦点．如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率．【分析】利用椭圆的定义及性质可知，G为椭圆交点，利用三角形的面积公式，及勾股定理可得PC2＝AC2+AP2，PB2＝AB2+AP2，即可求得a和b的值，求得椭圆的离心率．【解答】解：显然BC＝2a，BG＝BF＝a﹣c，CG＝CE＝a+c，则，，在Rt△PAC中，由勾股定理PC2＝AC2+AP2，即（2a+c）2＝（2a+1）2+9，在Rt△PAB中，由勾股定理PB2＝AB2+AP2，即（2a﹣c）2＝1+9，两式相减得：8ac＝4a2+4a，可得2c＝a+1，代入上式解得，，所以椭圆的离心率，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义及性质，考查椭圆离心率的求法，考查转化思想，属于中档题．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）直线l经过两直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，求直线l的方程；（2）若点A（3，1）到直线l的距离为5，求直线l的方程．【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出l的方程．（2）分类讨论直线l的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线l的方程．【解答】解：（1）由，求得，可得两直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点为（﹣2，2）．当直线l与直线3x+y﹣1＝0平行，设l的方程为3x+y+m＝0，把点（﹣2，2）代入求得m＝4，可得l的方程为3x+y+4＝0．（2）当l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣2，满足点A（3，1）到直线l的距离为5．当l的斜率存在时，设直限l的方程为y﹣2＝k（x+2），即kx﹣y+2k+2＝0，则点A到直线l的距离为＝5，求得k＝，故l的方程为x﹣y+2k+2＝0，即12x﹣5y+34＝0．综上，直线l的方程为x＝﹣2或12x﹣5y+34＝0．【点评】本题主要考查求直线的交点，两直线平行的性质，点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c2﹣a2＝bccosA﹣ab．（1）求角C；（2）若c＝，求a+b的取值范围．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosC的值，结合范围C∈（0，π），进而可求C的值．（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+b＝2sin（A+），由A的范围，可得A+∈（，），根据正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：（1）因为c2﹣a2＝bccosA﹣ab，所以c2﹣a2＝bc•﹣ab，整理可得b2+a2﹣c2＝ab，可得cosC＝＝＝，又C∈（0，π），所以C＝．（2）∵c＝，C＝，∴＝2，可得：a＝2sinA，b＝2sinB＝2sin（﹣A），∴a+b＝2sinA+2sin（﹣A）＝2sinA+2（cosA+sinA）＝2sin（A+），∵A∈（0，），可得A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，∴a+b＝2sin（A+）∈（，2]．【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，要求熟练掌握相应的定理和公式，属于中档题．19．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），直线l：kx﹣y﹣4k＝0，当k＝时，直线l与圆O恰好相切．（1）若l被圆O截得弦长为，求l方程；（2）若直线l上存在两点M、N，满足|MN|＝2，在圆O上存在点P使得＝0，求k的取值范围．【分析】根据条件先求出圆的方程，（1）根据已知条件，利用圆的弦长公式，即可求解．（2）分直线与圆有公共点和无公共点两种情况讨论，再结合PM．PN＝0，即可求解．【解答】解：（1）当k＝时，直线l与圆O恰好相切．O到直线l的距离为＝2，所以半径为2，设圆心O直线的距离为d，则弦长为2＝，解得d＝，即＝，解得k＝±，故直线l的方程为y＝±（x﹣4）；（2）①当直线l与圆O有公共点时，，当P与点M（或N）重合时，满足＝0，符合题意，②当直线l与圆O没有公共点时，k或k，因为＝0，所以P在以MN为直径的圆上，设MN中点Q（x0，y0），则圆Q的方程为（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1，圆Q与圆O有公共点，则1，只需O到直线l的距离d＝≤3，解得﹣或，综上所述，k的取值范围是[﹣，]．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想，属于中档题．20．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA＝2，如图2．（1）求证：FA∥平面BC'D；（2）求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；（3）在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC'？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意可得C′E⊥BD，又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD＝BD，再由面面垂直的性质可得C′E⊥ABD，结合已知可得FA∥C′E，由线面平行的判定可得FA∥平面BC'D；（2）以DB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，EC′所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求得平面FBC′与平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；（3）假设在线段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC′，由求得M的坐标，得到，由与不共线加以判断．【解答】（1）证明：∵BC＝CD，E为BD的中点，∴C′E⊥BD，又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD＝BD，∴C′E⊥ABD，∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C′E，而C′E⊂平面BC'D，FA⊄平面BC'D，∴FA∥平面BC'D；（2）解：以DB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，EC′所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），A（0，，0），D（﹣1，0，0），F（0，﹣，），C′（0，0，），∴，．设平面FBC′的一个法向量为，则，取z＝1，则．又平面ABD的一个法向量为．∴cos＜＞＝＝．则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为；（3）解：线段AD上不存点M，使得C'M⊥平面FBC′．假设在线段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC′，设，则（x，y，z）＝λ（﹣1，，0）＝（﹣λ，，0），∴x＝﹣λ，y＝，z＝0．则＝（﹣λ，，﹣）．由，得，此方程组无解，故假设错误．∴线段AD上不存点M，使得C'M⊥平面FBC′．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．21．（12分）已知椭圆C：＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ．（Ⅰ）求曲线Cλ的轨迹方程；（Ⅱ）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（，），由点P在椭圆C上得曲线Cλ的轨迹方程为．（Ⅱ）由Δ＝0，得过点A（x1，y1）的切线方程为，设切点A（x2，y2），B（x3，y3）联立，结合得4x2﹣8x1x+16﹣16＝0，可得|AB|＝×|x3﹣x4|，原点O到直线AB的距离d＝，△OAB的面积s＝|AB|×d＝×＝2（定值）【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（，）由于点P在椭圆C上，得，即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为．（Ⅱ）①当过点P（x1，y1）切线的斜率存在时，设该切线的方程为y﹣y1＝k（x﹣x1），即y＝kx+（y1﹣kx1）联立y＝kx+（y