湖南省衡阳市卿云中学高二数学理期末试题含解析

湖南省衡阳市卿云中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到抛物线准线的距离是A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么(

)

A、点必在直线上 B、点必在直线BD上C、点必在平面内

D、点必在平面内参考答案：A3.已知命题R，R，给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题 ④命题“”是假命题,

其中正确的是(

)A.②④

B.②③

C.③④

D.①②③参考答案：B4.已知（为常数）在上有最小值，那么此函数在上的最大值为(

)A． B． C． D．参考答案：D5.的展开式中的常数项是（

）A．192

B．－192

C．160

D．－160参考答案：D6.“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的(

)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=2时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．【解答】解：当a=2时，直线2x+ay﹣1=0即2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0即2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．7.若，且，则下列不等式一定成立的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知经过点可以引圆的两条切线，则实数的取值范围是()A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知，那么的值是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是（

）A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数

B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数

D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是________参考答案：略12.已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当时，则的面积为______．参考答案：【分析】由题意结合焦点三角形面积公式求解其面积即可.【详解】由椭圆方程可得：，结合焦点三角形面积公式可得的面积为.【点睛】本题主要考查椭圆中焦点三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.在四面体ABCD中，AB=CD=，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是

．参考答案：2【考点】直线与平面平行的性质．【分析】由直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG∥AB，同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．四边形EFGH为平行四边形．又AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．所以：四边形EFGH为矩形．建立二次函数关系求解四边形EFGH面积的最大值．【解答】解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB；同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．故：四边形EFGH为平行四边形．又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．所以：四边形EFGH为矩形．设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）FG=2x，HG=2（1﹣x）SEFGH=FG×HG=8x（1﹣x）=﹣8（x﹣）2+2，根据二次函数的性质可知：SEFGH面积的最大值2．故答案为2．14.，则＝________.参考答案：1

略15.已知，则的值为_________．参考答案：16.设则________．参考答案：17.一个家庭中有两个小孩，则两个小孩都是女孩的概率为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2． （1）求椭圆C的焦距； （2）如果=2，求椭圆C的方程． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可得出； （2）由（1）可得：y=（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于=2，可得x1=6﹣2x2．联立解出即可得出． 【解答】解：（1）由题意可得：直线l的方程为：y=（x﹣c）， ∵F1到直线l的距离为2，∴=2，解得c=2． ∴椭圆C的焦距=2c=4． （2）由（1）可得：y=（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立，化为：（4b2+12）x2﹣（12b2+48）x+（8b2+48﹣b4）=0， ∴x1+x2=，x1x2=． ∵=2， ∴2﹣x1=2（x2﹣2），可得x1=6﹣2x2 19.某商场为了促销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物：①在1000元以上者按九五折优惠；②在2000元以上者按九折优惠；③在5000元以上者按八折优惠。(1）写出实际付款y（元）与购物原价款x（元）的函数关系式；(2）写出表示优惠付款的算法；参考答案：（1）设购物原价款数为元，实际付款为元，则实际付款方式可用分段函数表示为：(2）用条件语句表示表示为：20.（本小题10分）设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。(1)

求圆的极坐标方程；(2)求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．参考答案：圆的极坐标方程为……4分设点的极坐标为，点的极坐标为，∵点为线段的中点，∴，……7分

将，代入圆的极坐标方程，得∴点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆．

……10分21.已知函数f（x）=x3+x．（1）求函数g（x）=f（x）﹣4x的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax2在（0，3]上递增，求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程，求出三角形的面积即可；（3）问题转化为2a≤（3x+）min，根据不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）g（x）=x3﹣3x，g′（x）=3（x+1）（x﹣1），令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=3x2+1，f（1）=2，f′（1）=4，故切线方程是：y﹣2=4（x﹣1），即y=4x﹣2，令x=0，解得：y=﹣2，令y=0，解得：x=，故S△=×2×=；（3）由题意得F′（x）=3x2+1﹣2ax≥0在（0，3]恒成立，故2a≤（3x+）min，∵3x+≥2，∴2a≤2，a≤．22.（本小题12分）如图，在三棱锥中，已知△是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且，（1）求证：平面；（2）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案：（1）取AC的中点H，因为AB＝BC，BH⊥AC．因为AF＝3FC，F为CH的中点．而