江苏省无锡市宜兴汇文中学高二数学理期末试题含解析

江苏省无锡市宜兴汇文中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线﹣=1的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率列出方程，求出m，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【解答】解：双曲线﹣=1的离心率为，e==，可得，解得m=，∴=，则此双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．2.已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则（

）A.

B.

C. D.参考答案：A3.有下列命题： ①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”的充分而不必要条件是“a∈N”； ②命题“若a∈M，则b?M”的逆否命题是“若b∈M，则a?M”； ③若p∧q是假命题，则p，q都是假命题； ④命题P：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0” 则上述命题中为真命题的是（） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】计算题；规律型；函数思想；简易逻辑． 【分析】利用充要条件判断①的正误；逆否命题判断②的正误；复合命题的真假判断③的正误；命题的否定形式判断④的正误． 【解答】解：对于①，设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，a∈N则“a∈M”，a∈M不一定有a∈N， 所以“a∈M”的充分而不必要条件是“a∈N”；①正确； 对于②，命题“若a∈M，则b?M”的逆否命题是“若b∈M，则a?M”；满足逆否命题的形式，所以②正确． 对于③，若p∧q是假命题，则p，q至少一个是假命题；所以③不正确； 对于④，命题P：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”满足命题的否定形式，所以④正确． 故①②④正确． 故选：A． 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及四种命题的逆否关系，复合命题的真假以及命题的否定的判断，基本知识的考查． 4.设是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.的展开式中的常数项为()A．－1320

B．1320

C．－220

D．220参考答案：C略6.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知条件，根据双曲线的焦距排除A，B，再由抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切排除C．解答： 解：∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，∴排除选A和B，∵的渐近线方程为y=±2x，把y=2x代入抛物线y=+1，得，，∴抛物线y=+1与y=2x不相切，由此排除C．故选：D．点评：本题考查双曲线标准方程的求法，在选择题中合理地运用排除法往往能化繁为简，节约答题时间．7.已知椭圆与双曲线=1有相同的焦点，则a的值为(

) A． B． C．4 D．10参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆、双曲线几何量之间的关系，即可求出a的值．解答： 解：由题意，a2﹣4=9+3，∵a＞0，∴a=4．故选：C．点评：本小题考查双曲线与椭圆的关系，考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．8.若x＞0，y＞0，且2x+y=2，则的最小值是（） A．2 B． C． D．参考答案：D【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】计算题． 【分析】先根据2x+y=2求得x+=1，进而可把求的最小值转化为求（x+）（）的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值． 【解答】解：∵2x+y=2 ∴x+=1 ∴=（x+）（）=++≥+2=（当且仅当2x2=y2时，等号成立）故选D 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．本题的解题巧妙的利用了x+=1，构造出了基本不等式的形式，求得问题的答案． 9.取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出豆子落入正方形外对应图形的面积，及满足条件“外接圆”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：设正方形的边长为1，由已知易得：S正方形=1S外接圆=故豆子落入正方形外的概率P==故选B．10.在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．无穷多解参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=cos3的导数是_________参考答案：12.已知是等比数列，，则公比=

参考答案：13.命题“若实数a满足a≤3，则a2＜9”的否命题是

命题（填“真”、“假”之一）．参考答案：真考点： 四种命题．专题： 简易逻辑．分析： 写出该命题的否命题并判断真假．解答： 解：命题“若实数a满足a≤3，则a2＜9”的否命题是“若实数a满足a＞3，则a2≥9”，它是真命题，因为a＞3时，a2＞9，∴a2≥9成立．故答案为：真．点评： 本题考查了四种命题之间的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．14.已知总体的各个个体值由小到大依次是2，3，3，7，a,b,12,13.7,18.3,20,且总体中位数为10.5，若要使总体方差最小，则a,b的值分别是_____________参考答案：10.5,

10.5.15.当时，不等式恒成立，则的最大值是__________．参考答案：6∵时，不等式恒成立∴，即设，∵∴∴∴∴的最大值为6故答案为6

16.已知函数在处取得最大值，则参考答案：17.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是

.参考答案：x+3y=0

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市2017年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2018年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2018年2月后该市新建住宅销售均价的数据：月份x34567y（百元价格/平方米）8382807877

（1）研究发现，3月至7月的各月均价y（百元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，求y（百元价格/平方米）关于月份x的线性回归方程；（2）用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值与实际相应月份销售均价差的绝对值记为，即，．现从5个数据，，，，中任取2个，记取到的2个数据和为，求的分布列和数学期望．注意几点：①可供选择的数据，；②参考公式：回归方程系数公式，；参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）由表格中的数据，求得，根据公式求得，进而得到，即可求得关于的回归方程。（2）利用（1）中的回归方程，求得，得到随机变量的值，进而求得的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，利用公式，即可求解数学期望。【详解】（1）由表格中的数据，可得，所以，则，所以关于的回归方程。（2）利用（1）中的回归方程，可得，所以，所以的可能取值为，则，，，，所以随机变量的分布列为：0.20.40.60.8P

期望。【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确计算相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，其中，，AB=AD=2，DC=1．侧面正△PAD所在平面与底面垂直．在棱PB上取一点E，使直线PD∥平面ACE．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求证：二面角P-AC-D与E-AC-B大小相等．

参考答案：（Ⅰ）证明：取AD中点O，则．由平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD．

………………2分连结OB．设．显然，△BAO≌△ADC，于是，由知，即．

………………3分又由平面ABCD，知．故平面POB．

………………4分所以．

………………5分（注：也可用三垂线定理；在底面上的证明可以略写）（Ⅱ）连结BD交AC于F，连结EF，则EF是平面PDB与平面ACE的交线．直线PD∥平面ACE，PD∥EF．

………8分．

……10分（Ⅲ）由平面POB可知，分别是二面角与的平面角．

……12分作于．在中，．故．又，故．．即．

所以，二面角与的大小相等．

………………15分22.20.已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，﹣b）的直线到原点的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由离心率为可得①，原点到直线AB的距离是，得=②，由①②及c2=a2+b2可求得b，a；（2）把y=kx+5代入x2﹣3y2=3中消去y，得x的二次方程，设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点是E（x0，y0），由C，D都在以B为圆心的圆上，得kBE==﹣，由韦达定理及中点坐标公式可得k的方程，解出即可；【解答】解：∵（1）①，原点到直线AB：的距离==②，联立①②及c2=a2+b2可求得b=1，a=，故所求双曲线方程为．（2）把y=kx+5代入x2﹣3y2=3中消去y，整理得（1﹣3k2）x2﹣30kx﹣78=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），C、D的中点是E（x0，y0），则，=，y0=kx0+5=，kBE==﹣，∴x0+ky0+k=0，即，解得k=，故所求k=±．【点评】本题考查直线方程、双曲线方程及其位置关系，考查圆的性质，考查学生解决问题的能力．21.已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）?（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即可得到a，b的值；（2）由题意可得（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=ex﹣（x2+2x+2），求出导数和单调区间，可得（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根，即可得到m，n的值，进而得到m+n的值．【解答】解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的导数为f′（x）=ex（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）?（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即为[（x﹣1）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，即有（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]?（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=ex﹣（x2+2x+2）的导数为g′（x）=ex﹣x﹣1，设h（x）=ex﹣x﹣1，h′（x）=ex﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，可得g（x）≥g（0）=0，即ex﹣（x2+2x+2）≥0；当x≤0时，h′（x）≤0，h