北京陆辛庄中学高三数学理模拟试题含解析

北京陆辛庄中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若{}是等差数列，则=（）A．4026 B．4028 C．4030 D．4032参考答案：B【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，求得q=1，进而得到所求和．【解答】解：数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，可得an=qn﹣1，由是等差数列，即﹣为常数，可得q=1，即an=1，=1，即有=2×2014=4028．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题．2.设椭圆和双曲线的公共焦点分别为，为这两条曲线的一个交点，则的值为（A）3

（B）

（C）

（D）参考答案：A双曲线的焦点为，所以椭圆中的，所以椭圆方程为，不妨设点P为第一象限的交点，根据双曲线和椭圆的定义可知，，，即，所以，选A.3.数列的前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（

）A

B

C

D参考答案：A略4.复数

（

）

A.B.

C.

D.参考答案：A略5.设集合，则实数a的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.函数的定义域是（

）A.(2,+∞) B.(3,+∞)C.(2,3) D.(2,3)∪(3,+∞)参考答案：C【分析】根据题意得到，解得答案.【详解】函数的定义域满足：，故.故选：.【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生对于函数定义域的理解.7.已知cos＋sinα＝，则sin的值是 ()A．－

B.

C．－

D.参考答案：C略8.已知函数（e为自然对数的底数），当x∈时，y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性以及函数的特殊值判断即可．【解答】解：函数=，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），函数是奇函数，排除选项A，C，当x=π时，f（π）=＞1，排除B，故选：D．9.在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积小于的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.已知点是的重心，若，，则的最小值是（

） A． B．

C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,在中,,,过作的外接圆的切线,,与外接圆交于点,则的长为参考答案：512.在中，若，，，则___________．参考答案：略13.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，为的内心，满足，若该双曲线的离心率为3，则（注：、、分别为、、的面积）．参考答案：1/314.已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且=1+i，则y=

．参考答案：1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，∴=1+i，化为：3+yi=（2﹣i）（1+i）=3+i，∴y=1．故答案为：1．15.化简的结果为

．参考答案：16.已知，则的值是__________．参考答案：略17.如图，该程序运行后输出的结果是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知点在椭圆:上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，且，其中为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若,求直线的方程;（Ⅲ）作直线与椭圆:交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.参考答案：（Ⅰ）由题意知,在中,由得:设为圆的半径,为椭圆的半焦距因为所以又,解得:,则点的坐标为………………2分因为点在椭圆：上,所以有又,解得:所求椭圆的方程为.……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在,故设其斜率为,则其方程为设,由于,所以有……7分又是椭圆上的一点,则解得所以直线的方程为或……9分（Ⅲ）由题意知::由,设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为把它代入椭圆的方程,消去,整理得:由韦达定理得,则,所以线段的中点坐标为(1)当时,则有,线段垂直平分线为轴于是由,解得:……11分(2)当时,则线段垂直平分线的方程为因为点是线段垂直平分线的一点令,得:于是由,解得:代入,解得:综上,满足条件的实数的值为或.……14分19.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，（ⅰ）当x1＜1＜x2时，设f（x）的对称轴为直线x=m，求证：m＞；（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，求实数b的取值范围．参考答案：考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，f（x）=2x2﹣2x+1，构造方程f（x）=x，解得答案；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，则x1，x2是方程f（x）=x的两相异根，（ⅰ）当x1＜1＜x2时，m=﹣，结合韦达定理，可得m＞；（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，由韦达定理构造关于b的不等式，解得实数b的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）依题意：f（x）=2x2﹣2x+1=x，即2x2﹣3x+1=0，解得或1，即f（x）的不动点为和1；…（Ⅱ）（ⅰ）由f（x）表达式得m=﹣，∵g（x）=f（x）﹣x=ax2+（b﹣1）x+1，a＞0，由x1，x2是方程f（x）=x的两相异根，且x1＜1＜x2，∴g（1）＜0?a+b＜0?﹣＞1?﹣＞，即m＞．

…（ⅱ）△=（b﹣1）2﹣4a＞0?（b﹣1）2＞4a，x1+x2=，x1x2=，∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣=22，…∴（b﹣1）2=4a+4a2（*）又|x1﹣x2|=2，∴x1、x2到g（x）对称轴x=的距离都为1，要使g（x）=0有一根属于（﹣2，2），则g（x）对称轴x=∈（﹣3，3），…∴﹣3＜＜3?a＞|b﹣1|，把代入（*）得：（b﹣1）2＞|b﹣1|+（b﹣1）2，解得：b＜或b＞，∴b的取值范围是：（﹣∞，）∪（，+∞）．…点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，韦达定理，是二次方程与二次函数，二次不等式的综合应用，难度较大．20.某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：第一段生产的半成品质量指标或或第二段生产的成品为一等品概率0.20.40.6第二段生产的成品为二等品概率0.30.30.3第二段生产的成品为三等品概率0.50.30.1

从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、－100元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.（参考数据：，，）参考答案：（Ⅰ）80.2；（Ⅱ）30万元；（Ⅲ）见解析.【分析】（Ⅰ）首先根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；（Ⅱ）首先确定随机变量的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求的数学期望；（Ⅲ）首先根据正态分布的性质确定好等，然后类似第二问求出随机变量的分布列及数学期望，最后根据随机变量的数学期望的大小作决策.【详解】（Ⅰ）平均值为：.

（Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标或，或，，

设生产一件产品的利润为元，则，，，

所以生产一件成品的平均利润是元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元.

（Ⅲ），

设引入该设备后生产一件成品利润为元，则，，，

所以引入该设备后生产一件成品平均利润为元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元，增加收入万元，综上，应该引入该设备.【点睛】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，考查数学建模、数据分析能力.21.（13分）已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为．∴∴b=1∵椭圆的离心率e=，∴∴a2=3∴所求椭圆的方程是；（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，∴EC⊥ED∴（x1+1