河南师范大学量子力学教案教案

§1.1经典物理学的困难

宏观物理的机械运动：牛顿力学

电磁现象：麦克斯韦方程

光现象：光的波动理论

热现象热力学与统计物理学

多数物理学家认为物理学的重要定律均以发现，理论己相当完善了，以后物理学的任务只是提高实

验精度和研究理论的应用。

19世纪末20世纪初：“在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云。”：

(1)“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利一金斯公式，在高频部分趋无穷。

(2)“以太漂移”，迈克尔逊-莫雷实验表明，不存在以太。

历史有惊人的相似之处，当前，处于21世纪之处，物理学硕果累累，但也遇到两大困惑：“夸克禁

闭”和“对称性破缺”。预示物理学正面临新的挑战。

黑体辐射光电效应原子的光谱线系固体低温下的比热

光的波粒二象性玻尔原子结构理论(半经典)

微观粒子的波粒二象性

量子力学

—.黑体辐射问题

黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射。

热辐射：任何物体都有热辐射。

当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：

热力学+特殊假设一维恩公式长波部分不一致

经典电动力学+统计物理学―瑞利金斯公式(短波部分完全不一致)

二.光电效应

光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。

光电效应的规律：

(1)存在临界频率气;

(2)光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影

响光电子数目。光强越大，光电子数目越多。

（3）V>V0时，光一照上，几乎立刻lO^s）观测到光电子。

这些现象无法用经典理论解释。

三.原子的线状光谱及原子的稳定性

11〜1

吟，（）V=

氢原子谱线频率的巴耳末公式:=&*m1__nF,A~2.叫波数。

原子光谱为什么不是连续的而是线状光谱？线状光谱产生的机制？

现实世界表明，原子是稳定存在的，但按经典电动力学，原子会崩溃。

§1.2早期的量子论

普朗克的能量r假设

i.普朗克公式

普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑体辐射公式（普朗克公式），它与实验惊人符合。

,8戒/1,

加一

pvdv=---dv

cW1

h叫普朗克常数%=6.62559x10-34焦尔.秒。

2.普朗克的能量子假设

对一定频率V的电磁波,物体只能以aV为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”

方式进行，每一份能量介1叫一能量子。

二.爱因斯坦的光量子理论与光的波粒二象性

1.爱因斯坦的光量子理论

爱因斯坦在普朗克量子论的基础上，进一步提出光量子的概念：辐射场是由光量子（光子）组成，

即光具有粒子的特性，光子既有能量又有动量

E=hv=hwt,

f2开八.h

k=—nn=—

波矢N,n表示沿光子运动方向的单位矢量，2才。

2.爱因斯坦公式

10

叫脱出功，光电效应反映了光具有粒子的特性。

3.康普顿效应

高频率X射线被轻元素中电子散射后，波长随散射角的增大而增大，按经典电动力学，电磁波波

长散射后波长不变。如将这过程看成光子电子碰撞，康普顿效应可得到圆满解释。

利用能量动量守恒和E=hw,「=也，可得到康普顿散射公式

4油9

△A元q==九一只q=----sin2—

40c2

康普顿效应也反映了光的粒子特性。

4.光的波粒二象性

牛顿微粒说（发光体发出弹性微粒流）一一》爱因斯坦光量子思想

（可解释光的直线前进、反射、折射）（光电效应、康普顿效应），

惠更斯波动说（机械波）一一》光的电磁本质（电磁波）

（光的干涉、衍射）（不依靠媒质）

一一》光的波粒二象性：光的波动说和微粒说从不同侧面揭示了光的本质。光既具有波动性有具有

粒子性，这二重性不存在哪个更本质问题。

二.玻尔的原子理论

1913年丹麦物理学家玻宏提出了半经典半量子的原子理论，成功解释了原子的稳定性、原子的线

状光谱，揭示了原子内部的量子特性。

玻尔原子理论的中心内容：定态假设，频率条件，量子化条件。

1.定态假设

原子内部的运动只可能处于一些不连续的稳定状态，称为定态。原子在每一个定态下能量分别都有

一定的值，原子的能量只允许取量子化的离散值，称为一个个能级。原子处于定态下，原子内的电子运

动有加速度，也不会发生辐射导致原子能量改变。

2.频率条件

原子的能量不能任意连续地改变，只能通过从一个定态到另一定态的跃迁而产生跃迁式的改变。原

|现一4|

V*---------------

子从一个能量为约的定态跃迁到另一能量为4的定态时，将发射或吸收频率为加*打的

光子。

3.量子化条件

在量子理论中，角动量必须是打的整数倍，由此可确定每个能级的能量，再结合频率条件可得到

巴尔末公式。

索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度情况

|pdq=nh

q为广义坐标，p为对应的广义动量，n为正整数，称为量子数。

逊的理论是把微观粒子看成经典力学中的质点，把经典力学的规律用在微观粒子中，然后加了些

量子化条件，它有局限性。对复杂原子（氮）遇到困难，另外还无法解释谱线强度，量子力学就是在克

服这些困难和局限性中发展起来的。玻尔提出的一些最基本的概念（原子能量的量子化、量子跃迁、频

率条件等）还是正确的。

普朗克、爱因斯坦、玻尔是旧量子论的奠基者。旧量子论正确表达了部分客观事实，揭示了部分微

观客体的内在联系，并为新量子论的建立奠定了基础。但旧量子论并没抛弃经典理论，只是在经典理论

基础上加上一些量子化条件，因而是半经典半量子的理论，因而有局限性。

§1.3量子力学的建立

微观粒子的波粒二象性

1.德布罗意波

1924年德布罗意在光有波粒二象性的启发下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假设，这种与粒

子相联系的波叫德布罗意波。波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来。

p=—«=Et

E=hv=hw2

2.验证德布罗意波存在的实验

(1)戴维孙一一革末电子衍射实验

电子注正入射到银单晶上，散射电子束的强度随散射角而改变，当散射角取某些确定值时，强度有

最大值，这与X射线的衍射现象相同，这充分说明电子具有波动性。

(2)电子双缝衍射

光通过两个窄缝时，会出现衍射条纹，这是光具有波动性的体现。将光源换成电子源，会出现同样

的衍射条纹，这是电子具有波动性的又一例证。

二.量子力学的建立

量子力学是在1923—1927年建立起来的，矩阵力学与波动力学几乎同时提出，它们是完全等价的,

是同一力学规律的两种不同描述。

波动力学来源于德布罗意物质波的思想，薛定波进一步推广了物质波的概念,找到了一个量子体系

物质波的运动方程：薛定泻方程，它是波动力学的核心。它成功地解释了氢原子光谱等一系列重大问题。

相对论和量子力学是20世纪物理学两大进展。

以薛定谭方程为核心的量子力学属于非相对论量子力学。非相对论量子力学只能解决微观低速问

题，电子的自旋是作为假设引入的。1928年狄拉克建立了电子的相对论波动方程,这个理论适用于电

子速度接近光速的情况，电子的自旋自然包含了进去。但这个理论不能处理多电子体系。

在高能情况下，粒子会发生相互转化，在此基础上发展起量子场论。

第一章绪论内容小结

内容小结：

1.经典物理的困难

黑体辐射，光电效应，原子光谱线系

2.旧量子论

＜1＞普朗克能量子论

＜2＞爱因斯坦对光电效应的解释，光的波粒二象性

光电效应的规律

12

-JJU»=hv-Wo

爱因斯坦公式2

光子能量动量关系E=hv=ha3

5hv.h.r

r=—n=一冷=亢f兀c

cA

＜3＞玻尔的原子理论

_\|En-&/I|r

定态的假设，频率条件Vh—,量子化条件ipdq=

3.微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系

万=一吩=方上

E=ha)2

戴维孙，革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系

4.量子力学的建立

物质波一一＞薛定丹方程一一＞非相对论量子力学一一＞相对论量子力学

----＞量子场论

§2.1波函数的统计解释

波动一粒子二重性矛盾的分析

物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？

实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约1A），物

质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。

传统对波粒二象性的理解：

（1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。

（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸

大了粒子性一面。

对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个

波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个

客体上。

二.波函数的统计解释

1926年玻恩提出了几率波的概念：在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波

函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫

几率波。

描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统

计结果。

几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，

电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。

描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；

描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。

设波函数①描写粒子的状态，波的强度I①『二①♦①，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y

至l]y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为"次,dW应正比于体积

dT=dxdydz和强度

dW（＜x,y,z,f）=C|①（x.z/）|adr

归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。

£d印(xj,z,Z)=JC|^(X,J7,Z,Z)|2dT=1

f£>

归一化常数可由归一化条件确定

c=1-i——

ji①FdT

重新定义波函数

空（x,,zQ叫归一化的波函数。

2

J|T|dT=Jc|①『dT=\

99

在时刻t、在坐标（x,y,z）点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用W（X,MZ."表示，则

2

w{x,y,z,£）==|¥（x,y,z,£）|

dr

归一化的波函数还有一不确定的相因子』；

①『dr

只有已有限时才能归一化为1。

经典波和微观粒子几率波的区别：

（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；

（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间

出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点

出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；

（3）对经典波，加一相因子小，状态会改变，而对几率波，加一相因子/不会引起状态改变。

问题：设波函数为*5.,z）,求在（）范围找到粒子的几率。

问题：在球坐标系中，粒子波函数表示为田5。如，求（a）在球壳G/+如）中找到粒子的几

率。（b）在方向的立体角de中找到粒子的几率。

§2.2态迭加原理

波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现。微观粒子的波粒二象性还可以通过量子力学的一个基

本原理：态迭加原理表现。

经典的波是遵从迭加原理的，两个可能的波动过程与网的线性迭加。内+&四也是一个可能的波动

过程。波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。

量子力学的态迭加原理：如果写和%是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：=

是复数）也是这个体系的一个可能状态。

电子双缝衍射：设与表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态，设%表示电子穿过下面窄缝到达屏的

状态。表示电子穿过两个窄缝到达屏的状态，则有生=，冬+/田2,电子在屏上某点出现的几率可

表示为

I生『=旧名+。2%1』用『+匕%『毋口咨%+GC；与电

正是干涉项的存在，才有了衍射条纹。

经典的态具有正交性，而量子态具有相干性。

薛定国猫佯谬。

推广到更一般情况：当*A田2•…里是体系的可能状态，他们的线性迭加：

田=-%+、空2+…+…是复数）

也是这个体系的一个可能状态。

§2.3薛定售方程

经典力学质点运动：初始状态（位置、速度）任意时刻质点的状态

量子力学波函数：初始状态波函数="根＞任意时刻波函数的状态

薛定谓在1926年建立了薛定谓方程

对波函数所满足的方程的要求：

（1）线性方程，迭加原理的要求；

（2）方程系数不含状态参量（动量、能量），各种可能的状态都要满足方程。

建立过程：自由粒子波函数所满足的方程一推广到一般。

自由粒子的波函数为平面波：

-（f.r-St）

7（广

对时间求偏微商:

2

3TApi3AH+J^+AZ)p：

—^—=--=-^T

对坐标求二次偏微商:d2xh2h2

a2T

同理得：a2y

将以上三式相加:

利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程:

/型=一史_/乎

dt2〃

222

▽=「£+心+工2ddd

V=▽•▽=世+才+旅

上式中劈形算符：dxdydz

£=Q+Z7(r)

如存在势能"(，)，能量和动量的关系是：2“

波函数应满足的微分方程是；

3中h2

ih—=-—V^+t/Cr)'?

dt2〃

这个方程称为薛定洋方程。

由建立过程可以看出，只需对能量动量关系进行如下代换:

S->ih-

dt,

就可得到薛定谓方程。

注意：薛定渭方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛

顿力学中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。

多粒子体系的旌定型方程，设体系有N个粒子，~分别表示这N个粒子的坐标，体系的状

态波函数为：生熔，啊…，川,£),体系的势能为Li，厂AT)，则体系的能量可写成

E=+Z7(»弓,…力)

E->ih——

上式两边乘以波函数平，并作代换：金，p—T尢R

.8■*dr8

其中：▽'='有+J丽+化至，

门卬Nfe2

ih—=-^—V^T+E7(r)T

就得到多粒子体系的薛定调方程：dtM2内

§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

连续性方程

设描写粒子的状态波函数为：7伊⑷，则几率密度为

w(r,Z)=中，厂.力空(厂/)

几率密度随时间的变化率是

生=+.空+之,

dtdtdt

由建定谡方程和其共期复数方程得

—=—V2T+—Z7(r)T

dt2〃ih

将上两式代入得

—=±L(^*V2T-TV2T，-)=—V(T*VT-+▽+♦)

dt2/J2〃

j=-T*VT)

业+▽.J=0

则：dt,连续性方程。

上式两边对空间任意一体积V积分

[^-dT=­[wdz=-[VJdz

》dtdtlrA

利用高斯定理得:

\y-dT=-[JdS=-jJxdS

'况ss

,应解释为几率流密度矢量。单位时间内体积V中增加的儿率，等于从体积V外部穿过V边界面S

而流进V内的几率。如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则

—[yvdT=—[0

dtdt%,

即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关，这反映了粒子数守恒。如波函数是归一的，则它将保持归

一性，而不随时间改变。

=—(TVT,-T'VT)

质量密度：，质量流密度：”2

.口

—^+口乙=0

则：比“，量子力学中的质量守恒定律。

同理，定义电荷密度：”.=。川，电流密度：,可得量子力学中的电荷守恒定律。

二.波函数的标准条件

有限性、连续性、单值性

§2.5定态薛定谤方程

定态薛定将方程

当势能与时间无关时.，我们可用分离变量法将方程简化

0中为2

=--V2T+;7(r)T

带入：at2〃，并把方程两边用去除

■/业w2〃，两边都等于常数E

_Q/w+o(玲w=E卡

2〃

可解出：/G)=八*,则田(r")=W&)e,定态波函数。

--V2y/+E7(r)y/=El//

2〃叫定态薛定谭方程。

fc2

----V2+U(r')

2〃表示能量，H=为哈密顿函数。

定态下的一些特点

定态：能量具有确定值；定态波函数所表示的状态。

在定态中，几率密度和几率流密度都与时间无关。

§2.6一维定态问题

一.一维定态波函数的一般性质

对一维定态问题，薛定博方程为

一二冬+/（X"〃X）=E以X）喜w+-M（x）］w=0

2mdx2dx2h，

定理一：设Mx）是方程的一个解，对应能量为E,则“（X）也是方程的一个解，对应能量也为E。

证明：y.（K）=V（K）,5=£对方程两边取复共挽，利用

h2/

［-——T+，（於］W*（X）=皂b@）

2max

满足相同的方程，对应的能量都是E。

定理二：设"（X）具有空间反射不变性，即片5）=%（一幻，如以X）为方程的一个解，对应能量为E;

则以一X）也为方程的一个解，对应能量也是E。

定理三：当/（回=/（一X）时，如无简并，方程的解有确定的宇称。即偶宇称：w（-x）="（x）,

或奇宇称：*-幻=-0>）。

证明：因为必“）和*-X）都是能量E的解，二者应表示同样的状态。因此应只差一常数。

W-X）=C*X）,则Mx）=iM.-C.-x'）］=b奴-x）=C2MX）

所以，C2=1,C=±l,0-X）=±以X）。

二.一维无限深势阱

r（x）=l°0<x<a

5°X<0,x>a9

h?

［--+）］"（x）=（x）

2rnax,

d22m.八

二小+二石>=0

aXh,0<x<a

=0,x<0,x>a

J夕+上23=0

dx

方程的解为：W=NsinArx+RcosArx,

利用边界条件：必。)=必。)=0得：3=0.Hsin以=0,

即：sin—=0,ka=5,«=1.2,3,(«=0时，3=。，无物理意义)

h/，,、...n?T.

Ex=V、士二蚪口弘(x)=4sin(——x)

2ma，对应的1l波函数为：a

2

利用归一化条件：口耳(冷『办=］，得：4-

%I(x)=

归一化后的波函数为:

束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。

基态：体系能量最低的态。

三.一维线性谐振子

/(x)=—f^arx2

一维线性谐振子的势能为2,

先2d24d

----------5-y/+(£-———x2)y/=0

体系的薛定谓方程为2〃杰22

^-^+(4-42)3=0

薛定渭方程变为：选,变系数二级常微分方程。

驾7M±u

4一七》,方程变为d占，解为2，

小―切□时，勿有限，将W写成如下形式：以勿=«丁〃©),

带入原方程含必簧+L。

将H按f展成幕级数，6-»七0时，y有限，要求系级数只有有限项。级数只有有限项的条件是:

A=2"-4-1,%=0,1,2….

区=hco(n4—)

线性谐振子的能级为：2,线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为e

Sfi——克。

零点能：«=o,2o

铲

%©—a%。r

厄密多项式：d4

/弘O)=^-2[&(附一1)以2+(2阀+1)/+j5+2)5+l)/+2]

(2)2d，

d[n\n+1

、h必(X)=必-i-J-匕+i〕

(3)小丫2V2

笳M_____________

/、-7^6O)%(阀—1)/_2_(2〃+D/+j5+2)(%+l)/+2]

(4)dx2

约对应的波函数为：必(於=砥"2*〃*(6),

a」

归一化常数：开

四.势垒贯穿

；

18=uo0<x<a

%)=0,x<0rx>a

必0

薛定谓方程为d/h2,(xv0,x>a)

-4)w=0、

苏h2,(0vKva)

(a产〉口»时

12〃(百一么),

上］=2的=[

令A2

—5-W+上:卬=0

方程变为：dx1(x<0,x>a)

—yk^y/=0

ax(0<x<a)

在区域，波函数：%=幺户"+4/&*

在Ovx<a区域，波函数：仍=属泡*+A/&*

在x>a区域，波函数：吟=°门d

对投射波，不应有向左传播的波，即：C"=0。

利用波函数及微商在x=。和K=。的连续条件，我们有

（6）x_o=（g）x-o：H+H=B+B'

也=d妁

dxdx'°：k^A-k^A^k^B-k^B'

（4）x-a=（%）*Y：Be应a+⑻2一应6=

*=尸的

aaiia

Idx、dxk2Be^-k2B'e-^=k1Ce'

解方程组：

仁一的“”工

（片+右）。一“一（占一心）%”

工，_2,（片2_闫）sina%/

—（'_e）2笳&&-茁+的）3-3的1

j=迫（TVT*-+R卬）

利用几率流密度公式：2〃

得出入射波4户"、透射波。。耐、反射波的几率流密度

J=—\A^X—（A'e-^-=也|

入射波几率流密度：24工dxdx3

等臼

透射波几率流密度：J0-

等由

反射波几率流密度：一

二_________4超/__________

D^[£I

投射系数：=J=⑷:!（上：一上：）2Sin2°上2+叫岭

氏=工凶=（无；_:；）2sin2…=[_£）

2-

反射系数：3（代-月）2Sin叽+4媪片

（b）入<4>时

2〃（么一叫d2,0

令"炉],--丁中一无32W=0

方程变为：dx?,（0<x<a）

方程的解形式为：妁=炭，5+B%f"

利用边界条件得：

._2流向J&a/

（祝—上;）shk3a+2ik1k3chkia

.ceX--eT,e-X+,-®-X

skx=-----------chx=-----------

其中双曲正弦函数2,双曲余弦函数2

0_%居

投射系数：宏+收3a+4好抬

隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。

2

9==-+%＞）

按经典力学：2",如E，则动能为负。是无意义的。但在微观世界，由于

粒子的波粒二象性，动能和势能是无法同时确定的，上述等式是不成立的。因此可以可出，隧道效应是

微观粒子所特有的量子效应。

第二章小结

波函数的统计解释.(量子力学一基本假设)

田(口)为几率波。悝6以几率密度

3(元。满足连续性，有限性，单值性。

二.态叠加原理：

叩=>〃巳

X

态叠加原理是微观例子具有波动性的体现。经典粒子的态是具有正交性。

三.薛定谭方程(量子力学一一基本假设)

(1).薛定丹方程是基本假定，是建立的不是推导的

(2).薛定渭方程是线性方程

四.定态薛定博方程

定态：能量有确定的值

定态波函数

方22

[--V2+F(r)T(r)=

定态薛定谓方程2"

加=旌

定态波函数实际是能量本征函数

定态薛定谓方程存在定态解

五.一维定态问题

(1)•一维无限深势井w

本征值

本征函数

(2).一维线性谐振子/(")=

本征值纥=方必伽+9

本征函数巴

六・连续性方程

do}.

di

几率密度©=勺.乎

—•2方

几率流密度J=五•(5▽寸7R巧

第一节力学量算符

算符

算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算

符号.用其表示一算符。

FU=V

二.力学量算符

1.坐标的算符就是坐标本身：r=r

2.动量算符：P=一小7

7\=_，光三一P=p=-ih——

天，y办，八zdz

3.动能算符

4.哈密顿算符：

5.角动量算符：

如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式

中将换成算符得出

算符和它所表示的力学量的关系？

第二节算符基本知识

-线性算符

满足运算规则6（g田1+C2T2）=+CJOTJ的算符6称为线性算符。

二单位算符1

保持波函数不改变的算符加=7

人A

三算符之和（金+3）

（幺+心7=幺田+月田

加法交换律A+B=B+A

加法结合律"+（自+司=（2+3）+2

两个线性算符之和仍为线性算符。

四算符之积

定义：算符2与公的积潮为（助）叩=2道叼

注意：一般说算符之积不满足交换律，即：a公。施这是与平常数运算规则不同之处。

五逆算符

设2田=①能唯一解出田，则定义的逆算符a”为：2-1中=田

注意：不是所有的逆算符都有逆算符。

^A=M~X=1,（助）7=”上】

六算符的复共挽，转置，厄密共辗

1.两个任意波函数7与中的标积

（卯，①）=Jd汉•①

（T,T）＞0（巳①）♦=（①，卯）

（4%+3%•①）=才&，①）+才2（%,①）

2.复共施算符

算符6的复共辗算符6♦为：把6的表示式中所有复量换成其共物复量

p=-ih-p=ih-=-p

a?效，

[ABC）=ABC

3.转置算符

定义：算符6的转置算符6满足：

（田,3勃=（/,。宙）

即卜世除尹小郎河.

人人AA

（他=BA

4.厄密共转算符

算符6的厄密共趣算符6+定义为

（中,0+①）=3,①）=（①QT）.

=（①二6".）=（下,6五）

即

算符6的厄密共轨算符即是的转置复共规算符

(ABY=B+A+

5.厄密算符

厄密算符是满足下列关系的算符

6+=6(T,d<D)=(dT,<D)

注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符

例：证明于=/"2澳是厄密算符

证：声=弓+4+书

（卯离①）=广联"）号①⑶dx

=口3袅可踞

2㈣+、h2Po画己①

=-hT*至二LH至

h苧

=「9超”♦的芯=广（户:与/（1^

=（四%①）

年为厄密算符，尹=中+弓+

为厄密算符

第三节力学量算符的本征值与本征函数

厄密算符的本征值与与本征函数

设体系处于乎，测量力学量O,一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果

的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为

^=(0-0)2=jT(d-O)2^T

如6为厄密算符，6一方也是厄密算符

jT*(d-O)2Wr

=]中.(6—3)(6一再田dr

=J[(d-O)T]*[(d-O)Wr

=J|(d-d)T|2^r>0

存在这样一种状态，测量力学量°所得结果完全确定。即^o2=o.这种状态称为力学量。的

本征态。在这种状态下

。忖=0=。中=0田

称为算符的一个本征值，1PH为相应的本征函数。

二力学量算符的性质

1.力学量算符是厄密算符

0)量子力学的一个基本假定：测量力学量。时，所有可能出现的值，都是力学量算符6的本征

值。

⑵厄密算符的本征值必为实数

证：设

,为厄密算符W,自网)♦①八

取①=7

4=1N是实数

G)表示力学量的算符为厄密算符

2.力学量算符为线性算符

态叠加原理决定了力学量算符为线性算符

【证】：设的「的a=E*

*=4%+22%2也应是体系的态

方+4%)=&(&%+%%)

用甲=鹿即=&疗％+4育田2

..宜为线性算符

三厄密算符本征函数的性质

1正交性

厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。

如果两函数和乎2满足J"1%"丁=°积分是对变量变化的全部区域进行，则称与乎2

相互正交。

［证］:己知曾①%=4①匕,叱=4fc。4%，%为实数

仅①J=&£=%©

仰①J①抠7=①j①心

J①二位①"T=4j①/①四

由厄密算符性质件①/①招丁"①「（施力丁

■,■犯①J①由=对％'①/T

区-4）J①J①由=。

[①:①"八。

这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的

对归一化的本征函数

J①上①，7=诟分离谱

f①3一7=97）连续谱

这样的本征函数构成正交归一系.

2.完备性

设弁为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为①4Ki,对应的本征值为4则任一

函数皿）可按①<x）展开

叫=2，我卜）

本征函数的这种性质称为完备性

C*与X无关，利用①X的正交归一性，将①/（芥）等式两边，对X在整个区域积分

f①：(X)卯(x)dx=Zcj①：(x)①*(x)小

»

=£c*b**=c

Xfftf!1f?Kl

X

即：7寸虱卯⑴公

如田(x)总归一化

1=W（x）T（x）dx

=ZC：CJ①:①.⑺杰=ZC：，加

M»㈱次

=zr』=「

»

讨论：

①当田a）是算符介的一本征函数时，即电（X）=R（X）即a=1其它系数为零，这时测量力学

量的测量值必是4

,、八乎。）=2,①式X）

（2）当田（x）不是弁的本征函数时，7"）可按本征函数展开*,

测量力学量的结果是本征值之一，测量结果为4的几率为Pi

G）波（态）函数可以完全描述微观粒子的状态

量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算

符,它们的本征函数组成完全系，当体系处于波函数7（入）所描写的状态时，测量力学量F所得的数值

必定是算符力的本征值之一，测得儿的几率是

四力学量算符的平均值.

对于一态W(x),将其按某力学量的本征函数集中展开

q(x)=ZCQ*(x)①限)

*①八町是归一化的

出现本征值4的几率为则按由几率求平均值的法则

上式可改写为

甘=\叫力觎值协=何觎)攻x)是归一化的

［证明］

fT,(x)FT(x>=ZC；CJ①:⑺#①”(xg

M,X

=£c*c*aj①*卜)我(5班

M,X

=ZC'&44

mjt

«X

_J卯c*卯(工物

J联㈤电（x*x

如未归一化：

如本征值是连续谱为

中㈤=JG①，

F=J^|C4fdA

定理：在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数

［证明］

F=（T,FT）=（FT,T）=（T,FT）＞=F*

逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符

例1：设F为厄密算符，则#22°

［证明］

尹=（T,F2T）=（田,#觎"（FT,FT）

=J,吟向*=_［悭2之0

第四节几种典型力学量算符的本征函数

一.坐标算符今

x6(x-x0)=x6(x-x0)=x05(x-x0)

即S(X-XQ)为坐标左算符本征值为殉的本征函数。

二.动量算符P

动量算符的本征值方程

一访捺%口)=4％(方一洗!％夕)=冬巧口)—畛田淮)=丹巴⑺

OX,,OZ

%口)=cexp倍5。

它们的解〔力/

如何确定归一化系数C

这是由于本征值尸可取任意值，动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几

率都是一样的.对连续谱的本征函数，我们一般将函数归一化5函数

9999

W；g)%(》r=C2jJjexp；加-p；)x+(p厂"卜+也-力匕山妙

-<0-9——Q0

00

E-H)x卜=2脑必?.-尤)

1.,Jexpi

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j%『如=■（2脑）3心“一H%一耳）四-M）

=C］（2曲3幅一刃

取。=（2喇-彳，乎阳归一化为（5函数

J*G）%（沙『=敢-刃

归一化的动量本征函数为

卯*夕）=----rexP

（2M）2

箱归一化：

如给波函数加上边界条件，即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L