湖南省衡阳市常宁第五中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

湖南省衡阳市常宁第五中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数，满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的A.必要而不充分的条件

B.充分而不必要的条件C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件参考答案：C2.某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（

）A．1

B．2

C.

D．参考答案：B3.执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x，﹣12），则x的值为（）A．27 B．81 C．243 D．729参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并分析程序执行过程中，变量x、y值的变化规律，即可得出答案【解答】解：由程序框图知：第一次运行x=3，y=﹣3，（3﹣3）；第二次运行x=9，y=﹣6，（9，﹣6）；第三次运行x=27，y=﹣9，（27，﹣9）；第四次运行x=81，y=﹣12，（81，﹣12）；…；所以程序运行中输出的一组数是（x，﹣12）时，x=81．故选：B．4.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……（）

A．

B．

C．

D．参考答案：A6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为,选A.5.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log2（x+5） B． C．y=﹣ D．y=﹣x参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接判断函数的单调性即可．【解答】解：y=log2（x+5）在区间（0，+∞）上为增函数，满足题意．在区间（0，+∞）上为减函数，不满足题意．y=﹣在区间（0，+∞）上为减函数，不满足题意．y=﹣x区间（0，+∞）上是减数函数，不满足题意．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，是基础题．6.如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；等体积法；立体几何．【分析】V=V半球﹣V圆锥，由三视图可得球与圆锥内的长度．【解答】解：球的半径为r，圆锥的半径为r，高为r；V圆锥=?πr3，V半球=×πr3=πr3，∴V=V半球﹣V圆锥=πr3，∴剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1，故选：C【点评】本题通过三视图考查几何体体积的运算，关键是掌握体积公式，属于基础题．7.若则的大小关系为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是

A． B．

C．

D．参考答案：A【知识点】平移变换.

C4

解析：将函数的图象向左平移个单位得，函数图像，再将这个函数图像向上平移一个单位得，图像.故选A.【思路点拨】由平移变换的意义得正确选项.

9.当时，函数取得最小值，则函数是A.奇函数且图像关于点对称B.偶函数且图像关于点对称C.奇函数且图像关于直线对称D.偶函数且图像关于点对称参考答案：C当时，函数取得最小值，即，即，所以，所以，所以函数为奇函数且图像关于直线对称，选C.10.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则落在内的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B【知识点】正态分布；概率解析：∵ξ服从正态分布N（100，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=100，∵ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，∴ξ在（0，100）内取值的概率为0.5，∴ξ在（0，80）内取值的概率为0.5﹣0.4=0.1．故选：B．【思路点拨】根据ξ服从正态分布N（100，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=100，利用ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，即可求得结论．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于x的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m的取值范围是

．参考答案：[1，]【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意，关于x的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin（x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．12.过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是．参考答案：x+y﹣3=0【考点】直线的一般式方程．【分析】研究知点M（1，2）在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．【解答】解：验证知点M（1，2）在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（3，4）∵kCM==1，∴kl=﹣1∴l：y﹣2=﹣（x﹣1），整理得x+y﹣3=0故答案为：x+y﹣3=0．13.函数f（x）=的定义域为

．参考答案：（0，]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据使函数解析式有意义的原则，可构造关于x的不等式，根据对数函数的单调性和定义域，可求出x的范围，即函数的定义域．【解答】解：要使函数f（x）=的解析式有意义自变量x须满足1﹣2log6x≥0，即解得0故函数f（x）=的定义域为（0，]故答案为：（0，]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，是解答的关键．14.已知实数x，y满足不等式组且的最大值为a，则=

．参考答案：3π15.已知点A（2，4）在抛物线y2=2px上，且抛物线的准线过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．

【专题】计算题；对应思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意求出p，得到抛物线的准线方程，进一步求出双曲线的半焦距，结合离心率求得a，再由隐含条件求出b，则双曲线方程可求．【解答】解：∵点A（2，4）在抛物线y2=2px上，∴16=4p，即p=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣2．又抛物线的准线过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，则c=2，而，∴a=1，则b2=c2﹣a2=4﹣1=3．∴双曲线方程为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了双曲线方程的求法，是基础题．16.直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于

.参考答案：答案：417.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为．参考答案：5π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π．故答案为：5π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.参考答案：（1）①当时，②①-②得：，又，由①得，是以2为首项3为公比的等比数列。

（2）19.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值x(元)的概率分布列和期望Ex。参考答案：解:（Ⅰ），即该顾客中奖的概率为.………4分（Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.且

故有分布列：

………10分010205060P从而期望

………12分20.（本小题14分）

随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者.某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率；（Ⅲ）该创业园区的团队有100位员工，其中有30人是志愿者.若在团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为.试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的和的值，写出，，的大小关系（只写结果，不用说明理由）.参考答案：见解析【考点】古典概型【试题解析】解：（Ⅰ）

所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为

（Ⅱ）

所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为

（Ⅲ）

21.（12分）函数，在等差数列{}中，，，记，令，数列{}的前n项和为（1）求{}的通项公式和（2）求证。参考答案：略22.（12分）如图，平面ABEF⊥平面CBED，四边形ABEF为直角三角形，∠AFE=∠FEB=90°，四边形CBED为等腰梯形，CD∥BE，且BE=2AF=2CD=2BC=2EF=4．（Ⅰ）若梯形CBED内有一点G，使得FG∥平面ABC，求点G的轨迹；（Ⅱ）求多面体ABCDEF体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行