19-20版-第1章-1.2-1.2.1-第1课时-任意角的三角函数的定义

1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数的定义学习目标核心素养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式——并会应用．1.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养了学生数学抽象和数学建模的核心素养.2.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升了学生直观想象和数学运算的核心素养.1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))3.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．诱导公式一思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？提示：一定相等．1．若角α的终边经过点P(2，3)，则有()A．sinα＝eq\f(2\r(,13),13) B．cosα＝eq\f(\r(,13),2)C．sinα＝eq\f(3\r(,13),13) D．tanα＝eq\f(2,3)C[这里x＝2，y＝3，则r＝eq\r(,22＋32)＝eq\r(,13)，∴sinα＝eq\f(3\r(,13),13)，cosα＝eq\f(2\r(,13),13)，tanα＝eq\f(3,2)，故选C.]2．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角B[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]3．sineq\f(25,3)π＝．eq\f(\r(3),2)[sineq\f(25,3)π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).]4．角α终边与单位圆相交于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cosα＋sinα的值为．eq\f(\r(3)＋1,2)[cosα＝x＝eq\f(\r(3),2)，sinα＝y＝eq\f(1,2)，故cosα＋sinα＝eq\f(\r(3)＋1,2).]三角函数的定义及应用[探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？提示：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).2．sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sinα，cosα，tanα的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．【例1】(1)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x＞0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ的值为；(2)已知角α的终边落在直线eq\r(3)x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．思路点拨：(1)eq\x(依据余弦函数定义列方程求x)→eq\x(依据正弦、正切函数定义求sinθ和tanθ的值)(2)eq\x(判断角α的终边位置)→eq\x(分类讨论求sinα，cosα，tanα)(1)eq\f(3\r(,10),10)，3[由三角函数定义知，cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(,x2＋9))＝eq\f(\r(,10),10)x.∵x＞0，∴x＝1，∴r＝eq\r(,10).∴sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，tanθ＝eq\f(y,x)＝3.](2)[解]直线eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，eq\r(3))，则r＝eq\r(（－1）2＋（\r(3)）2)＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；在第四象限取直线上的点(1，－eq\r(3))，则r＝eq\r(12＋（－\r(3)）2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3).1．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？[解]∵x＜0，由eq\f(x,\r(,x2＋9))＝eq\f(\r(,10),10)x得x＝－1.∴sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，tanθ＝－3.2．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？[解]因为r＝eq\r(,x2＋9)，cosθ＝eq\f(x,r)，所以eq\f(\r(,10),10)x＝eq\f(x,\r(,x2＋9))，又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq\r(,10).当x＝1时，sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，tanθ＝3，当x＝－1时，sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，tanθ＝－3.3．将本例(1)中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cosθ＝eq\f(\r(,10)x,10)”去掉，结果又怎样？[解]∵x≠0，∴r＝eq\r(,x2＋（3x）2)＝eq\r(,10)|x|.当x＞0时，P在第一象限，θ为第一象限角，这时r＝eq\r(,10)x，则sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，cosθ＝eq\f(\r(,10),10)，tanθ＝3.当x＜0时，P在第三象限，θ为第三象限角，这时r＝－eq\r(,10)x.则sinθ＝－eq\f(3\r(,10),10)，cosθ＝－eq\f(\r(,10),10)，tanθ＝3.4．将本例(2)的条件“eq\r(3)x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？[解]当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,1)＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝eq\r(（－1）2＋（－2）2)＝eq\r(5)，得：sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－2,－1)＝2.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用【例2】(1)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin145°cos(－210°)；②sin3·cos4·tan5.思路点拨：(1)先判断tanα，cosα的符号，再判断角α终边在第几象限．(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C[因为点P在第四象限，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判断角α终边在第三象限．](2)[解]①∵145°是第二象限角．∴sin145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.②∵eq\f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是．[－2，3][因为cosα≤0，sinα＞0，所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3.]2．设角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)是第象限角．四[角α是第三象限角，则角eq\f(α,2)是第二、四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，∴角eq\f(α,2)是第四象限角．]诱导公式一的应用【例3】求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．3．化简下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan0＝sineq\f(π,6)＋0＝eq\f(1,2).1．通过三角函数的定义的学习，为以后学习一切三角函数知识打下了基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．2．三角函数的定义域是学习三角函数图象与性质的基础，通过对角的集合与函数值之间的对应关系，加深对三角函数定义的理解．3．三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式，也可用口诀只记正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②sinα是“sin”与“α”的乘积；③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－eq\f(x,\r(,x2＋y2)).其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3B[①正确；②错误；sinα是整体；③错误，如sineq\f(π,2)＝1＞0；④错误，cosα＝eq\f(x,\r(,x2＋y2))，故B选