江苏省如皋市2023届高三上学期教学质量调研数学模拟试题解析版

2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学模拟试题考试时间：120分钟满分：150分命题：马超一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合，求函数值域可得集合，进而可得.【详解】解不等式得，又，所以，即集合，所以，故选：B.2.抛物线的焦点到准线的距离是（）.A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案.【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，故选：B3.“角与的终边关于直线对称”是“”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.【详解】角与的终边关于直线对称,则,,则，“角与的终边关于直线对称”是“”的充分必要条件.故选:A4.湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A级景区，也是神农架探秘的必经之地.是展示震旦纪、奥陶纪、寒武纪等多个地质年代的天然地质博物馆，也是世界上少有的集峡谷、溶洞、山水、化石文化为一体的国家级地质公园，以山青、水秀、洞奇、瀑美著称.走进景区，犹如展开一幅绝美的山水画卷，这里完全远离了都市的尘嚣和喧闹，在树林间穿行，你可以尽情地呼吸着那没有任何污染的富含负氧离子的空气，你会犹如置身世外，忘掉一切烦恼，你能体会到的只有一个字--"幽".群山如黛，峡谷幽深，奇石林立，瀑布层叠，原生植物茂盛，生态环境原始自然，自然景观独具特色.峡谷内溪水常年不断，构成30多道形态各异的瀑布镶嵌于峡谷内，其中最壮观的是高102米、宽80米的三峡大瀑布，游瀑中全国独一无二的零距离"穿越"大瀑布，让人充分感受"集体湿身"的欢快和刺激.为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为,沿山道继续走，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为;已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出示意图，设，由题意解三角形求得相关边长得表达式，根据勾股定理列式求得x，即可得答案.【详解】根据题意作出示意图：其中，过点B作于C，设，则，在中，,,在中,,即,即，解得，所以该瀑布的高度约为，故选：A5.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据心形”上部分函数图象关于y轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y轴对称，而，，不满足；的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当且仅当，即时，等号成立，不符合要求；的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当时，，当时，函数取得最大值1，符合要求；故选：C6.已知正数x，y满足，则的最小值与最大值的和为（）A6B.5C.4D.3【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式进行变形得，然后将进行代换得，继而解不等式可得答案.【详解】因为,所以，即，所以，即，又因为，所以，即，解得，故的最小值与最大值的和为5，故选：B7.已知椭圆C：=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点.设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得时，取得最小值，根据离心率定义可得结果.【详解】A(-a，0)，B(a，0)，设，则，而，则，又，令，则，所以,故，即，从而.故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设,则,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,故当时,函数取得最大值,因为,,,当时,,函数单调递减,可得,即.故选:C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法错误的是（）A.若角，则角为第二象限角B.将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是C.若角为第一象限角，则角也是第一象限角D.若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为【答案】BCD【解析】【分析】A．根据的范围判断出所在象限；B．根据旋转方向判断出角度的正负；C．举例进行分析；D．根据扇形面积公式进行计算并判断.详解】A选项：，故A正确；B选项：拨快是顺时针旋转，转过的角度是负角，故B错误；C选项：时，为第一象限角，但不是第一象限角，故C错误；D选项：，，故D错误.故选：BCD.10.已知向量，则下列结论正确的是（）.A.B.C.向量的夹角为D.在方向上的投影向量是【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；对于B，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；对于C，根据向量夹角公式，可得答案；对于D，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.【详解】对于A，，由，则，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，，，则，即向量的夹角为，故C正确；对于D，在方向上的投影向量是，故D错误.故选：AC.11.已知a>0，圆C：，则（）A.存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切B.存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等C.存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点D.存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆的方程与性质以及函数图象．当圆心纵(横)坐标的绝对值等于半径时，圆与x(y)轴相切，可判定A；当圆心到x轴或y轴距离相等时，在轴上截得的线段相等，可判定B；对于C，只要圆心到原点距离等于半径即可；当直线过圆心时，平分圆的面积，可判定D.【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝lnx上运动．对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当，即a＝e或时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A正确；对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个，B错误；对于C，若圆C过坐标原点，则，如下图可知，曲线y＝lnx与有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；对于D，若圆C的面积被直线平分，则直线经过圆心（a，lna），计算可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为，即满足要求的a仅有一个，故D正确．故选：ACD.【点睛】已知圆C：，有如下结论：(1)当或时，圆C与y轴或x轴相切；(2)当时，圆心到两轴距离相等，若与两轴相交，则截得的线段相等；(3)若圆C过原点，则；(4)若直线过圆心，则平分圆的面积.12.数学家们在探寻自然对数底与圆周率之间的联系时，发现了如下公式：（1）（2）（3）以下命题，正确的是（）A.（为虚数单位）B.（为虚数单位）C.（为虚数单位）D.（为虚数单位）【答案】AB【解析】【分析】根据题意得，即，再令即可得答案.【详解】解：根据题意，，，所以（为虚数单位），故A选项正确，C选项错误；当时，，所以（为虚数单位），故B选项正确，D选项错误；故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．【答案】.【解析】【分析】设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.【详解】设，，，，整理得，又点在直线，直线与圆共公共点，圆心到直线的距离，即.故答案为:.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.14.已知数列的前n项和，且，则___________.【答案】【解析】【分析】利用题中所给的递推关系式进行推导得，将代入可得结果.【详解】由题意可知，因此，，因此，则.故答案为：15.若为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，向量，，，且，则点的轨迹方程为______，该轨迹的离心率为______.【答案】①.②.##0.5【解析】【分析】根据向量的表达式结合可得点到两点的距离之和为8，即可判断出的轨迹，继而求得方程，以及离心率.【详解】由题意可知向量，，，且，故，即点到两点的距离之和为8，且，故的轨迹是以为焦点的椭圆，且，则点的轨迹方程为，离心率为，故答案为：；16.在空间直角坐标系O－xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面上的任意一点，且，，，则当取得最小值时，的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题设有，利用基本不等式求得并求对应x、y的数量关系，进而得到，令构造，应用导数求最大值即可.【详解】由题设，，故，当且仅当时等号成立，所以，此时，令，则，故，所以，当时，当时，即在上递增，在上递减.故，且时等号成立，综上，的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用基本不等式求的最小值及对应x、y的关系，再把目标式转化为关于x的函数式，构造函数结合导数求最值.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x－y－4＝0；（2）x－y－4＝0或y＋2＝0．【解析】【分析】（1）求导f′(x)＝3x2－8x＋5，进而得到f′（2）,f（2），写出切线方程；（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，根据过点A(2，－2，)写出切线方程，再将切点坐标代入求解.【详解】（1）∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′（2）＝1，又f（2）＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，∴切线方程y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．18.正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式；(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.19.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆定义及，把用表示，由及，可求得，从而得，得椭圆方程；（2）设，.直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，由弦长公式求得弦长，求出圆心到直线的距离由勾股定理得出圆的弦长，计算并代入后可得取值范围．【详解】解：（1）∵点在椭圆上，∴.∵，∴，.∵，∴，又，∴.∵，.∴.∴椭圆的标准方程为.（2）设，.联立，消去，得.∴，，.∴.设圆的圆心到直线的距离为，则.∴.∴.∵，∴.∴.∴的取值范围为.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，解题思路是：由韦达定理计算椭圆中的弦长，由垂径定理求圆中的弦长，代入韦达定理的结论把问题转化为一元函数式，得取值范围．20.在①②③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设的面积为S，已知________．（1）求角C的值；（2）若，点D在边上，为的平分线，的面积为，求边长a的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）选①，可由余弦定理得，进而可得；选②，由面积公式和余弦定理可得，进而可得；选③，可得，进而可得.（2）设，由，，联立可求得.【详解】（1）选①，由余弦定理得，整理得，所以，又，故.选②，因为，，故，可得，又，故.选③，可得，所以，又，所以，故.（2）在中，因为是的平分线，且，设，所以，又，联立以上两式得：，又，解得.21.已知函数.（1）当时，试判断函数在上的单调性；（2）存在，，，求证：.【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出，当时，的最小值大于零，则在上单调递增；（2）令，，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.【详解】（1）(方法一)当时，，，当时，，所以，当时，函数在上单调递增.