全国中考试卷几何动态题组卷

中考几何动态题

1.在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE,连接BE、EF.

(1)若E是线段AC的中点，如图1,易证：BE=EF(不需证明)；

(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,

直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明.

2.在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF,如图1,易证:

ZAFC=ZACB+ZDAC；

(1)若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出NAFC、NACB、NDAC的关系，并结合图2给出证明;

(2)若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出NAFC、NACB、NDAC的关系式.

3.已知四边形ABCD是正方形，。为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP,作

CNLDP于点M,且交直线AB于点N,连接OP,ON.(当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时,

如图2)

(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON,iLOP±ON；

(2)设AB=4,BP=x,试确定以0、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.

图1图2

4.探究问题：

(1)方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足NEAF=45。，连接EF,求证DE+BF=EF.

感悟解题方法，并完成下列填空：

将ADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE,N1=N2,ZABG=ND=90",

ZABG+ZABF=90°+90°=180°,

因此，点G,B,F在同一条直线上.

•••ZEAF=45".-.Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°.

Z1=Z2,Z1+Z3=45°.

即NGAF=Z.

又AG=AE,AF=AF

△GAF2.

=EF,故DE+BF=EF.

(2)方法迁移：

如图②，将RSABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且NEAF=』NDAB.试猜想

2

DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

(3)问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点，满足NEAF="|zDAB,试猜想当NB与ND

满足什么关系时，可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).

5.(1)如图①，在正方形ABCD中，AAEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与正方形的边长相等，求

ZEAF的度数.

(2)如图②，在RtAABD中，ZBAD=90。，AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点，且NMAN=45。，将^ABM绕

点A逆时针旋转90。至AADH位置，连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系，并说明理由.

(3)在图①中，连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3&,求AG,MN的长.

H

E

BMD

（图①）（图②）

6.已知菱形ABCD的边长为5,ZDAB=60".将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG,设NEAB=a,且

00<a<90°,连接DG、BE、CE、CF.

(1)如图(1),求证：AAGD2△AEB；

(2)当a=60。时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长；

(3)若NCEF=90。，在图(3)中画出图形并求出ACEF的面积.

7.RSABC与RSFED是两块全等的含30。、60。角的三角板，按如图(一)所示拼在一起，CB与DE重合.

(1)求证：四边形ABFC为平行四边形；

(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中位置，直线BC，与AB、CF分别相

交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；

(3)在(2)的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？(不要求证明)

8.如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形

ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a,得到如图2,如图3情形.请你

通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6）,且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb（a/b,k＞0）,第（1）题①中得

到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；

（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE,且a=3,b=2,k=L求BEZ+DG?的值.

2

9.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1,在等腰直角△ABC中，AB=AC,NBAC=90。，小敏将一块三角板中含45。角的顶点放在A上，从AB边开

始绕点A逆时针旋转一个角a,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点

E.

（1）小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现：若AD平分NBAM,则AE也平分NMAC.请你证明

小敏发现的结论；

（2）当0。＜0（“5。时，小敏在旋转中还发现线段8口、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2.

同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;小颖的想法:将4ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,

连接EF（如图2）

小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90。得到△ACG,连接EG（如图3）；

小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45。＜。＜135。且ax90。时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续

研究：当135。＜。＜180。时（如图4）等量关系BD?+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明

理由.

10.如图1,在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE_LEF,BE=2.

（1）求EC：CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2）,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

（3）在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请

说明理由.

图1图2

11.已知，在△ABC中，AB=AC.过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角。，直

线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合）,△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方）,且BM=BN,

连接CN.

⑴当NBAC=ZMBN=90°时，

①如图a,当6=45。时，NANC的度数为；

②如图b,当。工45。时，①中的结论是否发生变化？说明理由；

（2）如图c,当NBAC=NMBNH90。时，请直接写出NANC与NBAC之间的数量关系，不必证明.

12.在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上（不含点B）,ZBPE=lzACB,PE交BO

2

于点E,过点B作BF_LPE,垂足为F,交AC于点G.

（1）当点P与点C重合时（如图1）.求证：△BOG#△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：里,并结合图2证明你的猜想；

PE

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3）,若NACB=a,求壁的值.（用含a的式子表示）

PE

DDAD

图1图2图3

13.如图，已知矩形纸片-ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与

AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.

(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；

(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；

(3)如图2,在(2)的条件下，求折痕FG的长.

14.如图1,在菱形ABCD中，AC=2,B0=273，AC,BD相交于点0.

(1)求边AB的长；

(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角

板60。角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.

①判断AAEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；

②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.

15.已知△ABC是等边三角形.

(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角9(0。<。<180。)，得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O.

①如图a,当。=20。时，△ABD与△ACE是否全等？_____________(填"是"或"否")，ZBOE=____________度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求NBOE的度数；_

(2)如图c,在AB和AC上分别截取点B，和CT使AB=J^AB，，AC=J^AC,连接B，C,将△AB，C绕点A逆时

针旋转角(0°<6<180。)，得到AADE,BD和EC所在直线相交于点O,请利用图c探索NBOE的度数，直接写

出结果，不必说明理由.

要求证明)

拓展：如图②，点B、C分别在NMAN的边AM、AN±,点E、F在NMAN内部的射线AD上，Nl、/2分别

是△ABE、ACAF的外角.已知AB=AC,N1=N2=NBAC,求证：△ABEV△CAF.

应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD,点E、F在线段AD上,

Z1=N2=NBAC.若^ABC的面积为9,则4ABE与4CDF的面积之和为.

17.如图1,在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若NMBN=45。，易证MN=AM+CN

(1)如图2,在梯形ABCD中，BCIIAD,AB=BC=CD,点M、N分别在AD、CD上，若NMBN=£ABC,试

2

探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明.

(2)如图3,在四边形ABCD中，AB=BC,NABC+NADC=180。，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若

ZMBN=AZABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明.

18.如图，四边形ABCD是边长为3a的正方形，长方形AEFG的宽AE=』，长EF=，5.将长方形AEFG绕点

2N

A顺时针旋转15。得到长方形AMNH(如图)，这时BD与MN相交于点0.

(1)求NDOM的度数；

(2)在图中，求D、N两点间的距离;

（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15。得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、

还是边上？并说明理由.

19.（1）如图，在AABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

①当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转a角（（T<a<90。），如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

请说明理由.

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？

不必说明理由.

甲：AB：AC=AD：AE=1,ZBAC=ZDAE#90°；

乙：AB：AC=AD：AEwl,ZBAC=ZDAE=90°；

丙：AB：AC=AD：AE#1,NBAC=NDAEH90°.

20.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC,以DC为边在BC

上方作等边ADCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论.

（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与

BD在（1）中的结论是否仍然成立？

（3）深入探究:

I.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC,以DC为边在BC上方、

下方分别作等边△DCF和等边△DCF,连接AF、BF,探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论.

n.如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，I中的结论是否成立？若不成

立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.

21.如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的AEAB和AEDC均是等腰三角形，且在BC同侧.

(1)AE和ED的数量关系为；AE和ED的位置关系为；

(2)在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH,HD.分

别得到图2和图3.

①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2,H是EC的中点.求证：GH=HD,GH±HD.

②在图3中，点F在的BE延长线上，AEGF与AEAB的相似比是k：1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,

恰好使GH=HD且GH±HD(用含k的代数式表示).

22.如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和AABC.

(1)如图②，将△ACD沿边向上平移，使点A与点C重合，连接AD和BC,四边形ABCD是

形；

(2)如图③，将△ACD的顶点A与A，点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，

则旋转角为度；连接CC,四边形CDBC是形；

(3)如图④，将AC边与边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E,连接BD,四

边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由.

23.如图，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC=6,D为BC的中点.

(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF,求证：△AED"△CFD；

(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设

△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式.

24.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)

将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.

(1)求证：ZAPB=NBPH；

(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这

(备用图)

25.如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜

边BC的中点重合.将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交

于点Q.

(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：ABPE2ACQE；

(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：ABPE-ACEQ；并求当BP=a,CQ=.|^t,P、Q两点间

的距离(用含a的代数式表示).

26.在锐角△ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45%将AABC绕点B按逆时针方向旋转，得到AAiBCi.

(1)如图1,当点Ci在线段CA的延长线上时，求NCC1AI的度数：

(2)如图2,连接AAi,CCi.若AABA1的面积为4,求△CBC1的面积；

(3)如图3,点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P

的对应点是点Pi,求线段EPi长度的最大值与最小值.

27.如图1,△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF,BD±CF

成立.

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转3(00<0<90°)时，如图2,BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成

立，请说明理由.

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45。时，如图3,延长BD交CF于点G.

①求证：BD±CF；

②当AB=4,AD=加时，求线段BG的长.

28.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点

G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H,把^FDE沿EF折叠，使点D落在D，处，点D，恰好与

点A重合.

(1)求证：△ABG要ACDG；

(2)求tanNABG的值；

(3)求EF的长.

29.课本中，把长与宽之比为a的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：

(1)将一张标准纸ABCD(AB<BC)对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证

(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作：

第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；

第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙)，此时E点恰好落在AE边

上的点M处；

第三步：沿直线DM折叠(如图2丙)，此时点G恰好与N点重合.

请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由.

(3)不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,

AB=1,BC=、历，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.

第1把寸开第2次对开第3次对开

图3

2013年全国中考试卷几何动态题组卷

参考答案与试题解析

1.(2012•佳木斯)在菱形ABCD中，NABC=60。，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE,

连接BE、EF.

(1)若E是线段AC的中点，如图1,易证：BE=EF(不需证明)；

(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,

直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明.

E

图1图2图3

解答：证明：（1）・四边形ABCD为菱形，

AB=BC,

又;ZABC=60°,

・•.△ABC是等边三角形，

.「E是线段AC的中点，

・•.ZCBE=-lzABC=30°,AE=CE,

2

•・,AE=CF,

/.CE=CF,

ZF=ZCEF,

*/ZF+NCEF=ZACB=60°,

ZF=30°,

ZCBE=ZF,

・•.BE=EF；

（2）图2：BE=EF....（1分）

图3：BE=EF....（1分）

图2证明如下：过点E作EGIIBC,交AB于点G,

V四边形ABCD为菱形，

AB=BC,

又ZABC=60°,

△ABC是等边三角形，

AB=AC,ZACB=60°,...（1分）

又EGIIBC,

ZAGE=NABC=60°,

又丫NBAC=60°,

△AGE是等边三角形，...（1分）

AG=AE,

BG=CE,...（1分）

又丫CF=AE,

GE=CF,

又ZBGE=ZECF=120°,

△BGE复△ECF（SAS）,...（2分）

，BE=EF；...（1分）

图3证明如下：过点E作EGIIBC交AB延长线于点G,

•••四边形ABCD为菱形，

AB=BC,

又ZABC=60。，

J.△ABC是等边三角形，

AB=AC,ZACB=60",...（1分）

又EGIIBC,

ZAGE=ZABC=60°,

又NBAC=60°,

:・&AGE是等边三角形，...（1分）

AG=AE,

BG=CE,...（1分）

又CF=AE,

GE=CF,

又；ZBGE=ZECF=60°,

:&BGE里AECF（SAS）,...（2分）

2.(2012•黑龙江)在△ABC中，ZBAC=90",AB=AC,若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF,如

图1,易证：ZAFC=NACB+ZDAC；

(1)若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出NAFC、NACB、NDAC的关系，并结合图2给出证明；

(2)若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出NAFC、NACB、NDAC的关系式.

解答：解：（1）关系：NAFC=NACB-NDAC,...（2分）

证明：•.,四边形ADEF为正方形，

AD=AF,ZFAD=90°,

ZBAC=90°,ZFAD=90°,

ZBAC+ZCAD=ZFAD+ZCAD,即NBAD=NCAF,...（3分）

在4ABDACF中，

'AD=AF

■ZDAB=ZFAC，

AB=AC

△ABDS&ACF（SAS）,...（4分）

ZAFC=ZADB,

•••ZACB是AACD的一个外角，

，NACB=NADB+NDAC,...（5分）

ZADB=NACB-ZDAC>

•••ZADB=ZAFC,

ZAFC=ZACB-ZDAC；...（6分）

（2）ZAFC,ZACB.NDAC满足的关系式为：ZAFC+ZDAC+ZACB=180°,...（8分）

证明：•.,四边形ADEF为正方形，

ZDAF=90°,AD=AF,

又NBAC=90°,

ZDAF=ZBAC,

ZDAF-ZBAF=ZBAC-ZBAF,即NDAB=ZFAC,

在4ABD^DAACF中，

'AD=AF

<ZDAB=ZFAC，

AB=AC

△ABD"△ACF（SAS）,

ZADB=ZAFC,

在△ADC中，NADB+NACB+NDAC=180。，

贝ijNAFC+ZACB+ZDAC=180".

3.（2012•常德）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，

连接DP,作CN_LDP于点M,且交直线AB于点N,连接OP,ON.（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC

的延长线上时，如图2）

（1）请从图1,图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON,且OP_LON；

（2）设AB=4,BP=x,试确定以0、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.

Mp

ANBAB

图1图2

解答：（1）证明：如图1,

V四边形ABCD为正方形，

/.OC=OB,DC=BC,ZDCB=ZCBA=90°,ZOCB=ZOBA=45°,ZDOC=90°,DCIIAB,

•••DP_LCN,

ZCMD=ZDOC=90°,

ZBCN+ZCPD=90°,ZPCN+ZDCN=90°,

ZCPD=ZCNB,

---DCIIAB,

/.ZDCN=ZCNB=ZCPD,

•••在4DCP和^CBN中

'/DCB=/CBN

<NCPD=NBNC，

,DC=BC

ADCP2△CBN(AAS),

CP=BN,

在^OBN和4OCP中

rOB=OC

,Z0CP=Z0BN>

,CP=BN

AOBN空AOCP(SAS),

ON=OP,ZBON=/COP,

ZBON+ZBOP=ZCOP+ZBOP,

即NNOP=ZBOC=90",

ON±OP,

即ON=OP,ON±OP.

(2)解：・；AB=4,四边形ABCD是正方形，

O到BC边的距离是2,

图1中，S四边彩OPBN=SAOBN+SABOP)

=L(4-x)x2+-lxxx2,

22

=4(0<x<4),

图2中，S四边形OBNP=SAPOB+SAPBN

=LXX2+L(x-4)xx

22

=ix2-x(x>4),

2

"y=4(0<x<4)

即以0、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：J12

月x-x(x>4)

4.(2011•永州)探究问题：

(1)方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足NEAF=45。，连接EF,求证DE+BF=EF.

感悟解题方法，并完成下列填空：

将ADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ND=90",

ZABG+ZABF=900+90°=180°,

因此，点G,B,F在同一条直线上.

•••ZEAF=45".-.Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90--45°=45°.

Z1=Z2,Z1+Z3=45°.

即NGAF=ZFAE.

又AG=AE,AF=AF

.1.&GAF^AEAF.

二GF=EF,故DE+BF=EF.

(2)方法迁移:

如图②，将RSABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且NEAF=aNDAB.试猜想

DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

（3）问题拓展:

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点，满足NEAF=《ZDAB,试猜想当NB与ND

满足什么关系时，可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想（不必说明理由）.

解答：解：（1）根据等量代换得出NGAF=ZFAE,

利用SAS得出△GAa△EAF,

GF=EF,

故答案为：FAE；△EAF；GF；

(2)证明：延长CF,作N4=N1,

,将RtAABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且NEAF=」NDAB,

2

Z1+Z2=Z3+Z5,

Z2+Z3=N1+Z5,

Z4=Z1,

Z2+Z3=N4+Z5,

ZGAF=ZFAE,

在4AGB和^AED中，

'/4=N1

<AB=AD，

ABG=NADE

AAGB要AAED(ASA),

AG=AE,BG=DE,

在4AGF^tlAAEF中，

'AG=AE

,NGAF=NEAF，

AF=AF

△AGF合△AEF(SAS),

GF=EF,

DE+BF=EF；

(3)当NB与ND满足NB+ZD=180。时，可使得DE+BF=EF.

5.（2011・咸宁）（1）如图①，在正方形ABCD中，AAEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与正方形的

边长相等，求NEAF的度数.

（2）如图②，在RIAABD中，ZBAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点，且NMAN=45。，将4ABM

绕点A逆时针旋转90。至△ADH位置，连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系，并说明理由.

（3）在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3&,求AG,MN的长.

（图②）

解答：解：（1）在RsABE和RsAGE中，AB=AG,AE=AE,

RtAABETRtAAGE（HL）.

ZBAE=ZGAE.（1分）

同理，/GAF=ZDAF.

ZEAF=^ZBAD=45°•（2分）

（2）MN2=ND2+DH2.（3分）

•••ZBAM=ZDAH,ZBAM+ZDAN=45°,

ZHAN=ZDAH+ZDAN=45°.

ZHAN=NMAN.

又,.,AM=AH,AN=AN,

△AMN2AAHN.

MN=HN.（5分）

•••ZBAD=90°,AB=AD,

ZABD=ZADB=45°.

ZHDN=NHDA+ZADB=90°.

NH2=ND2+DH2.

MN2=ND2+DH2.（6分）

（3）由（1）知，BE=EG,DF=FG.

设AG=x,贝iJCE=x-4,CF=x-6.

在RlACEF中，

CE2+CF2=EF2,

（x-4）2+（x-6）2=102.

解这个方程，得xi=12,X2=-2（舍去负根）.

即AG=12.（8分）

在RtAABD中，

BD=YAB2+AD2T2AG2=12M

在（2）中，MN2=ND2+DH2,BM=DH,

MN2=ND2+BM2.（9分）

设MN=a,则屋=（12^-372-a）2+（3^）2

即a2=（9&-a）2+（3近）2,

a=W^即MN=5a•（10分）

6.(2011・盘锦)已知菱形ABCD的边长为5,ZDAB=60".将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG,设

NEAB=a,且0°<a<90°,连接DG、BE、CE、CF.

(1)如图(1),求证：△AGD合AAEB；

(2)当a=60。时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长；

(3)若NCEF=90。，在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.

解答：解：(1)•.・菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG,

AG=AD,AE=AB,ZGAD=ZEAB=a.

•••四边形AEFG是菱形，

AD=AB.

AG=AE.

△AGD空△AEB.(3分)

(2)解法一：如图(1),当a=60。时，AE与AD重合，(4分)

作DH_LCF于H.由已知可得NCDF=120。，DF=DC=5.

ZCDH=izCDF=60°,CH=lcF.

22

在RSCDH中，

CH=DCsin600=5（6分）

_22

CF=2CH=5A/3.（7分）

解法二：如图（1）,当a=60。时，AE与AD重合，（4分）

连接AF、AC>BD、AC与BD交于点0.

由题意,知AF=AC,ZFAC=60°.

：.xAFC是等边三角形.

FC=AC.

由已知，ZDAO=AZBAD=30°,AC±BD,

2

AO=ADcos30°=-^Zs.（6分）

_2

AC=2AO=5-^3-

,FC=AC=5而（7分）

（3）如图（2）,当NCEF=90。时，（8分）

延长CE交AG于M,连接AC.

•；四边形AEFG是菱形，

「•EFIIAG.

・•,ZCEF=90°,

/.ZGME=90°.

/.ZAME=90°.（9分）

在RtAAME中，AE=5,ZMAE=60°,

AM=AEcos60°=旦EM=AEsin60°=-^l.

22

在Rt^AMC中，易求AC=5jV，

'1•MC=.AC2_AM

EC=MC-ME=-^SI-^3,

22

=至（VTT-V3）.（ii分）

2

.c1„„„„25（V11~V3）,4、

..SACEF=-eEC*EF=-------^=--（127T）

24

7.（2011•湘潭）RSABC与RSFED是两块全等的含30。、60。角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与

DE重合.

（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；

（2）取BC中点O,将△ABC绕点。顺时钟方向旋转到如图（二）中位置，直线BC，与AB、CF分别相

交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；

（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）

解答：（1）证明：；AABC2AFCB,（1分）

AB=CF,AC=BF.（2分）

J.四边形ABFC为平行四边形.（3分）

（用其它判定方法也可）

（2）解：OP=OQ,（4分）

理由如下：,.,OC=OB,ZCOQ=ZBOP,ZOCQ=ZPBO,

ACOQ合ABOP.（6分）

OQ=OP.（7分）

（用平行四边形对称性证明也可）

（3）解：90°.

理由：,.OP=OQ,OC=OB,

四边形PCQB为平行四边形，

•••BC_LPQ,

二四边形PCQB为菱形.（8分）

8.（2011•义乌市）如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为

一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在

直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a,得到如图2,如图3情形.请你

通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6）,且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb（awb,k>0）,第（1）题①中得

到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；

(3)在第(2)题图5中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=l,求BE2+DG2的值.

2

解答：解：(1)①BG=DE,

BG±DE.

②BG=DE,

BG,DE仍然成立.

在图(2)中证明如下

1•四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，

BC=CD,CG=CE,ZBCD=ZECG=90。，

ZBCG=NDCE(1分)，

在^BCG与△DCE中，

'BC=CD

-ZBCG=ZDCE，

CG=CE

△BCG2&DCE(SAS),

/.BG=DE,ZCBG=ZCDE,

又「ZBHC=ZDHO,ZCBG+ZBHC=90°,

ZCDE+ZDHO=90°,

ZDOH=90°,

BG-LDE.

(2)BG_LDE成立，BG二DE不成立.

简要说明如下：

•••四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，

且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a*b,k>0),

zBCD=zECG=90°.

DCCE-a

ZBCG=ZDCE,

△BCG~△DCE,

ZCBG=ZCDE,

又•・,ZBHC=ZDHO,ZCBG+ZBHC=90°,

ZCDE+ZDHO=90°,

ZDOH=90°,

BGJ_DE.

(3)BG±DE,

OB2+OD2=BD2,OE2+OG2=GE2,OB2+OE2=BE2,OG2+OD2=DG2,

BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2,

又