人教A版选择性必修第三册7.5正态分布作业

正态分布(15分钟30分)1．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3【解析】选D.利用正态曲线的性质求解．当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝eq\f(1,\r(2π))(x∈R)，在x＝0时，取得最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ肯定时，曲线的外形由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦〞；σ越大，曲线越“矮胖〞，于是有0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.【补偿训练】三个正态分布密度函数φi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)(x∈R，i＝1，2，3)的图象如下图，那么()A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3【解析】选D.正态曲线关于直线x＝μ对称，且在x＝μ处取得峰值eq\f(1,\r(2π)σ)，由图易得μ1＜μ2＝μ3，eq\f(1,\r(2π)σ1)＝eq\f(1,\r(2π)σ2)＞eq\f(1,\r(2π)σ3)，故σ1＝σ2＜σ3.X听从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，那么P(X＞4)＝()A．0.1588B．0.15865C．0.1586D．0.1585【解析】X听从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x＝3.所以P(X＞4)＝P(X＜2)，故P(X＞4)＝eq\f(1－P〔2≤X≤4〕,2)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865.3．某厂生产的零件直径ξ～N2)，今从该厂上午和下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm和9.3cm，那么可认为()A．上午生产状况未见特别现象，下午生产状况消失了特别现象B．上午生产状况消失了特别，而下午生产状况正常C．上午和下午生产状况均是正常D．上午和下午生产状况均消失了特别现象【解析】σ∈∉(9.4，10.6)，所以上午生产状况未见特别，下午生产状况消失了特别．4．设随机变量ξ～N(2，2)，那么Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝________．【解析】由于ξ～N(2，2)，所以D(ξ)＝2.所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．在某项测量中，测量结果X听从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，假设X在[0，1]内取值的概率为0.4，那么X在[0，2]内取值的概率为________.【解析】由于X～N(1，σ2)，且P(0≤X≤1)＝0.4，所以P(0≤X≤2)＝2P(0≤X≤1)＝0.8.答案：6．某地农夫工年均收入ξ听从正态分布，其密度函数图象如下图．(1)写出此地农夫工年均收入的概率密度曲线函数解析式；(2)求此地农夫工年均收入在8000～8500元之间的人数百分比．【解析】设农夫工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知，μ＝8000，σ＝500.(1)此地农夫工年均收入的正态分布密度函数解析式为P(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,500\r(2π))，x∈(－∞，＋∞).(2)由于P(7500≤ξ≤8500)＝P(8000－500≤ξ≤8000＋500)＝0.6827，所以P(8000≤ξ≤8500)＝eq\f(1,2)P(7500≤ξ≤8500)＝0.34135＝34.135%.即农夫工年均收入在8000～8500元之间的人数占总体的34.135%.(30分钟60分)一、单项选择题(每题5分，共20分)1．以下不行以作为正态分布概率密度函数的是(其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0)()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)B．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))C．f(x)＝eq\f(1,\r(2)·\r(2π))D．f(x)＝eq\f(1,\r(π))【解析】选B.对于A，f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布概率密度函数；对于B，假设σ＝1，那么应为f(x)＝eq\f(1,\r(2π))，假设σ＝eq\r(2)，那么应为f(x)＝eq\f(1,\r(2π)·\r(2))，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布概率密度函数；对于C，它是当σ＝eq\r(2)，μ＝0时的正态分布概率密度函数；对于D，它是当σ＝eq\f(\r(2),2)时的正态分布概率密度函数．2．设随机变量ξ听从正态分布N(3，7)，假设P(ξ＞a＋2)＝P(ξ＜a－2)，那么a＝()A．1B．2C．3D．4【解析】ξ听从正态分布N(3，7)，P(ξ＞a＋2)＝P(ξ＜a－2)，所以a＋2＋a－2＝6，解得a＝3.3．一次考试共有60名同学参与，考生的成果X～N(110，52)，据此估量，大约应有57人的分数在以下哪个区间内()A．[90，110] B．[95，125]C．[100，120] D．[105，115]【解析】eq\f(57,60)＝0.95，符合P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，所以在[100，120]内．4．设随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是eq\f(1,2)，那么μ＝()A．1 B．4C．2 D．不能确定【解析】选B.依据题意，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，依据正态分布密度曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是eq\f(1,2)时，μ＝4.二、多项选择题(每题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)5．正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R.以下命题正确的选项是()A．对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立B．假如随机变量X听从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X＜x)，那么F(x)是R上的增函数C．假如随机变量X听从N(108，100)，那么X的期望是108，标准差是100D．随机变量X听从N(μ，σ2)，P(X＜1)＝eq\f(1,2)，P(X＞2)＝p，那么P(0＜X＜2)＝1－2p【解析】N(μ，σ2)的密度曲线图象(图略)可得：图象关于x＝μ对称，故A正确；随着x的增加，F(x)＝P(X＜x)也增加，故B正确；假如随机变量X听从N(108，100)，那么X的期望是108，标准差是10，C不正确；由图象的对称性，可得D正确.6．设随机变量ξ听从正态分布N(0，1)，那么以下结论正确的选项是()A.P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)B．P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)C．P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)D．P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)【解析】P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以A不正确；由于P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以B正确，C不正确；由于P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|＞a)＝1，所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)，所以D正确．【补偿训练】随机变量X听从正态分布N(μ，σ2)，其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)＝0.6827，那么()A．μ＝80B．σ＝4C．P(X≥64)＝0.97725D．P(64≤X＜72)＝0.1359【解析】选ACD.由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，所以μ＝80；由于P(72≤X≤88)＝0.6827，结合P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，可知σ＝8；由于P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，且P(X＜64)＝P(X＞96)，所以P(X＜64)≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝eq\f(1,2)×0.0455＝0.02275，所以P(X≥64)＝0.97725；由于P(X<72)＝eq\f(1,2)×(1－P(72≤X≤88))＝eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865，所以P(64≤X<72)＝P(X≥64)－P(X≥72)＝0.97725－(1－0.15865)＝0.1359.三、填空题(每题5分，共10分)7．正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的均值为________.【解析】正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，由于区间(－3，－1)和区间(3，5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是均值，由于区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以均值为1.答案：18．X～N(4，σ2)，且P(2≤X≤6)≈0.6827，那么σ＝________，P(|X－2|≤4)＝________.【解析】由于X～N(4，σ2)，所以μP(2≤X≤6)≈0.6827，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))所以σP(|X－2|≤4)＝P(－2≤X≤6)＝P(－2≤X＜2)＋P(2≤X≤6)＝eq\f(1,2)[P(－2≤X≤10)－P(2≤X≤6)]＋P(2≤X≤6)＝eq\f(1,2)P(－2≤X≤10)＋eq\f(1,2)P(2≤X≤6)≈0.84.答案：四、解答题(每题10分，共20分)9．工厂制造的某零件尺寸X听从正态分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，问在一次正常试验中，取10000个零件时，不属于区间[3，5]这个尺寸范围内的零件大约有多少个？【解析】不属于区间[3，5]的概率为P(X<3)＋P(X>5)＝1－P(3≤X≤5)，由于X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，所以μ＝4，σ＝eq\f(1,3).所以1－P(3≤X≤5)＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－3×\f(1,3)≤X≤4＋3×\f(1,3)))＝1－0.9973＝0.0027，从而10000×0.0027＝27，所以不属于[3，5]这个尺寸范围内的零件大约有27个．10．3D打印通常是采纳数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后渐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用非常广泛，可以估计在将来会有宽阔的开展空间．某制造企业向A高校3D打印试验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在试验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，其内径如下(单位：μm).979798102105107108109113114(1)计算平均值μ与标准差σ；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z听从正态分布N(μ，σ2).该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？【解析】(1)μ＝eq\f(1,10)×(9