2026年全国高中物理竞赛(决赛)量子力学初步知识拓展与应用试题及答案

2026年全国高中物理竞赛(决赛)量子力学初步知识拓展与应用试题及答案1.单选题（每题6分，共30分）1.1氢原子基态电子最概然径向距离r₀对应的径向概率密度极大值满足A.r₀=a₀B.r₀=2a₀C.r₀=a₀/2D.r₀=√2a₀答案：A解析：基态径向概率密度P(r)=4πr²|R₁₀(r)|²，R₁₀(r)=2a₀^{-3/2}e^{-r/a₀}，求导得极值点r₀=a₀。1.2一维无限深势阱(0,L)内质量为m的粒子处于叠加态ψ(x)=A[sin(πx/L)+isin(2πx/L)]，测得能量E₁=π²ħ²/(2mL²)的概率为A.1/2B.1/√2C.1D.3/4答案：A解析：归一化后|A|²=1/2，能量本征态φ₁与φ₂系数模方各1/2，故测得E₁概率1/2。1.3若某二维各向同性谐振子势V(x,y)=½mω²(x²+y²)，其能级简并度随主量子数N=n_x+n_y的变化规律为A.N+1B.N²C.2N+1D.(N+1)(N+2)/2答案：A解析：二维谐振子能级E_N=(N+1)ħω，简并度等于非负整数解(n_x,n_y)数目，即N+1。1.4电子自旋在磁场B=B₀ẑ中的哈密顿量H=μ_BB₀σ_z，若t=0时自旋沿+x方向，则t=πħ/(2μ_BB₀)时自旋指向A.+yB.−yC.+zD.−x答案：A解析：拉莫尔进动角频率Ω=2μ_BB₀/ħ，时间t=πħ/(2μ_BB₀)对应旋转π/2，初始+x转+y。1.5某量子系统可观测量A满足²=Î，则其本征值只能取A.0,1B.±1C.±iD.任意实数答案：B解析：²=Î⇒本征值λ²=1⇒λ=±1。2.多选题（每题8分，共40分，选对不全得4分，错选0分）2.1关于一维方势垒穿透，下列说法正确的是A.当粒子能量E小于势垒高度V₀时透射系数T可能非零B.T随势垒宽度a增加而指数衰减C.透射共振可出现在E>V₀情形D.透射系数与粒子质量m无关答案：A,B,C解析：D错误，T依赖m。2.2对氢原子n=3,l=2的态，下列量子数组合(m,m_s)中哪些物理上允许A.(2,½)B.(−1,−½)C.(3,½)D.(0,−½)答案：A,B,D解析：m取值−l…l，C中m=3>l=2不合法。2.3关于泡利不相容原理，下列叙述正确的是A.适用于全同费米子体系B.保证原子中电子基态能量有限C.导致白矮星电子简并压D.对玻色子同样成立答案：A,B,C解析：D错误，玻色子不受限。2.4考虑两电子自旋单态|Ψ⁻⟩=1/√2(|↑↓⟩−|↓↑⟩)，下列算符期望值不为零的是A.S_x⊗S_xB.S_z⊗IC.S²D.S_z⊗S_z答案：A,C解析：单态S=0，C期望0；A为−ħ²/4≠0。2.5关于量子芝诺效应，下列说法正确的是A.频繁观测可抑制量子态演化B.需要连续投影测量C.与测量间隔Δt→0相关D.仅对衰变系统有效答案：A,B,C解析：D错误，对一般演化亦有效。3.填空题（每题10分，共50分）3.1一维自由粒子波包初始高斯型ψ(x,0)=(π^{½}a)^{-½}exp(−x²/2a²+ik₀x)，则t时刻波包中心位置x_c(t)=________。答案：x_c(t)=ħk₀t/m解析：群速度v_g=ħk₀/m。3.2对势场V(x)=−αδ(x)，质量m的粒子仅存在一个束缚态，其能量E=________。答案：E=−mα²/(2ħ²)解析：边界条件得κ=mα/ħ²，E=−ħ²κ²/(2m)。3.3氢原子2p→1s跃迁电偶极辐射的波长λ=________nm（保留整数）。答案：122解析：ΔE=10.2eV，λ=hc/ΔE≈122nm。3.4某量子比特初始|0⟩，经Hadamard门后再绕y轴转π/2，最终态在计算基下表示为________。答案：1/√2(e^{iπ/4}|0⟩+e^{-iπ/4}|1⟩)解析：H|0⟩=(|0⟩+|1⟩)/√2，Ry(π/2)=exp(−iπσ_y/4)。3.5对三维箱(边长L)内相对论性粒子能谱ε_p=pc，基态能量与体积V关系为E₀∝V^{α}，则指数α=________。答案：−1/3解析：E₀=ħc(π/L)(1²+1²+1²)^{½}∝V^{−1/3}。4.计算题（共80分）4.1（20分）一维半壁谐振子势V(x)=½mω²x²(x≥0),V(x)=∞(x<0)。(a)写出边界条件并给出允许能级表达式；(b)求基态波函数；(c)计算基态在经典禁区的概率。答案：(a)ψ(0)=0，奇宇称解被保留，能级E_n=(2n+3/2)ħω,n=0,1,2…(b)基态对应n=0的奇解，经归一化ψ₀(x)=2(mω/πħ)^{1/4}(mω/ħ)^{1/2}xe^{−mωx²/2ħ}(c)经典禁区x>x_c，其中½mω²x_c²=E₀⇒x_c=√(5ħ/mω)。概率P=∫_{x_c}^{∞}|ψ₀|²dx=∫_{a}^{∞}4ξ²e^{−ξ²}dξ/√π,ξ=x√(mω/ħ)数值积分得P≈0.111。4.2（20分）两自旋½粒子相互作用哈密顿量H=JS⃗₁·S⃗₂+Bμ₀(S_{1z}+S_{2z})，其中J>0，μ₀>0。(a)求本征能量并标注总自旋量子数S；(b)当B=J/μ₀时，画出能级随B变化的示意图；(c)若初始态|↑↓⟩，求t时刻再测得|↑↓⟩的概率。答案：(a)总自旋S=1,0。E_{S=1}=Jħ²/4+Bμ₀m_S,m_S=1,0,−1E_{S=0}=−3Jħ²/4(b)线性Zeeman分裂，S=1三线斜率±μ₀B,0，S=0水平线。(c)初态投影到本征态：|↑↓⟩=1/√2(|1,0⟩+|0,0⟩)时间演化P(t)=|⟨↑↓|e^{−iHt/ħ}|↑↓⟩|²=½[1+cos(Jħt)]振荡周期T=2π/(Jħ)。4.3（20分）一维周期势V(x)=V₀cos(2πx/a)，采用近自由电子模型。(a)写出布里渊区边界k=π/a处的能隙表达式至V₀最低阶；(b)若V₀=2eV，a=0.3nm，计算能隙宽度；(c)求电子在带底的有效质量m。答案：(a)简并微扰，能隙ΔE=|V_{2π/a}|=V₀/2(b)ΔE=1eV(c)有效质量m=ħ²/(∂²E/∂k²)|_{k=0}抛物线近似得m=m[1+(V₀/4E_{π/a})]^{-1}E_{π/a}=ħ²(π/a)²/(2m)≈4.18eV⇒m≈0.83m_e。4.4（20分）量子光学：单模腔场与二能级原子相互作用，哈密顿量H=ħωa†a+½ħω₀σ_z+ħg(aσ_++a†σ_−)。(a)写出守恒量并解释；(b)若初始原子在基态|g⟩，腔场为相干态|α⟩，求t时刻原子激发态布居概率P_e(t)至g²阶；(c)当ω=ω₀且α=√5，估算第一次崩塌时间τ_c。答案：(a)总激发数N=a†a+σ_+σ_−守恒，[H,N]=0。(b)微扰展开P_e(t)=g²|α|²t²sinc²[(ω−ω₀)t/2]+O(g⁴)(c)崩塌时间由反冲相位扩散得τ_c≈1/(g√(|α|²+1))取g=2π×100MHz，|α|²=5⇒τ_c≈0.35ns。5.综合探究题（30分）5.1拓扑量子比特的编织统计考虑Majorana零模γ₁,γ₂,γ₃位于一维拓扑超导链的三个结点，满足γ_i†=γ_i，{γ_i,γ_j}=2δ_{ij}。定义Dirac费米子c=(γ₁+iγ₂)/2。(a)证明通过编织γ₂与γ₃可实现非阿贝尔幺正门U=exp(πγ₂γ₃/4)；(b)若初态|0⟩_c（无费米子占据），经两次编织操作U₁₂U₂₃后，求最终态在计算基{|0⟩,|1⟩}下的表示；(c)讨论该操作对拓扑保护的影响，并与阿贝尔任意子交换相位比较。答案：(a)利用Clifford代数，[γ₂γ₃,γ₁]=0，编织生成演化Uγ₂U†=γ₃,Uγ₃U†=−γ₂得证。(b)两次编织：U₂₃|0⟩=1/√2(|0⟩+e^{iπ/4}|1⟩)U₁₂作用后整体相位累积，最终态|ψ⟩=1/√2(e^{iπ/8}|0⟩+e^{-iπ/8}|1⟩)(c)非阿贝尔操作使态进入叠加，抗局部扰动；阿贝尔任意子仅累积可测相位，拓扑保护较弱。实验上可通过隧穿电流测量非阿贝尔相位差。6.实验设计题（20分）6.1冷原子模拟Dirac方程提出利用光晶格与拉曼耦合实现一维Dirac哈密顿量H_D=v_Fσ_xp_x+mv_F²σ_z的实验方案。要求：(a)画出能带示意图并标出狄拉克点；(b)给出有效速度v_F与拉曼耦合强度Ω_R的关系；(c)说明如何通过调节失谐δ打开质量隙m并测量其大小；(d)讨论如何观测Zit