平面向量地坐标运算教案设计

实用标准文案平面向的标运算案一、教目标1知识与技能掌握平面向量的坐标运算；2过程与方法通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。3感态度与价值观学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。二、教重点与难点教学重：面向量的坐标运算。教学难：量的坐标表示的理解及运算的准确三、教设想（一）入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于xy的二元一次方程Ax+By+C=0(AB不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向OA则点A的位置被向a大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向a也可以用坐标来表示这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实,向量的坐标表,实际是向量的代数表.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算引向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行直是否也能通过坐标来研究呢？（二）进新课、新探究、出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,在已知,y),b=(x,y),你能得1122出a+b,a-b,λ坐标表示吗②如图1,已知A(x),B(x,y),怎样表AB的坐标？你能在图中标出坐1122标为(x-x,y-y)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?2121活动教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加运算教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1ｉj)+(x+y+x)ｉ+(y+y)j,11221212即+x,y+y).1212同理-x,y-y).1212精彩文档

1122xx121221实用标准文案1122xx121221又λλ(xｉ+yj)=λxｉ+λy∴λa=(λx,λy).111111教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O合,则平移后的B点位置就是点.向量的坐标与以原点为始点,终点的向量坐标是相同的这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系学生通过平移也可以发现:向量AB的模与向OP模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式|OP|=(x)2y)2.11教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获讨论结:①能.②=OB-OA,y)-(x,y)=(x-x,y-y).22112121结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问①如何用坐标表示两个共线向量yy②若,y,y),那么1xx2

是向量ab线的什么条件活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x,y,y),其中b≠0.我们1122知b共,当且仅当存在实数λ,使λb.如果用坐标表示可为(x,y)=λ(x,y),1122即

,2

消去λ后得xy-xy=0.1221这就是说,当且仅当xy-xy=0时向量ab(b≠0)共线1221yy又我们知道xyy=0与xy=x等价的,但这与2122112212

是不等价的.yyy为当x=x=0时,xy-xy=0成立,但2均无意义.因此1xxx22

是向量a、b共线的充分不必要条件由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结:①y-xy=0,向量ab(b≠0)共线.1221②充分不必要条件.精彩文档

实用标准文案提出问a与非零向b共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得λ那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动教师引导推证:设a=(x,y),其中b1122由λ,yλ(x,y)1122

,2

消去λ,得xy-xy=0.1221讨论结:∥b(b≠0)的充要条件是xy-xy=0.1221教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y、y有可能为0,而b≠0,∴xy中少有1222一个不为0.yy2°充要条件不能写成2xx2

(∵x、x可能为0).123°从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥≠0)x0.2（三）用示例思路1例1已知a=(2,1),b=(-3,4),求坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标从使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);点评:本例是平面向量坐标运算的常规题目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训1.(2007海南高,4)等于()

13已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab22A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案D2.(2007全国高考,3)

已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则ab)A.垂直行平向D.平行且反向答案A精彩文档

实用标准文案图2例2如图2,已知ABCD的三个顶点ABC的坐标分别是(-2,1)(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向OD的坐标进而得到点D的坐.解题过程,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.解:法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由AB=DC,得(1,2)=(3-x,4-y).∴

.∴

xy∴顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知BAADBC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),ODOB+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D的坐标为(2,2).点评本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算变式训图3如图3,已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:平行四边形为ABCD时,例二得:D=(2,2);1当平行四边形为时,仿例二得:D=(4,6);2当平行四边形为时,仿上得:D=(-6,0).3精彩文档

12112实用标准文案12112例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断A、B、C三点之间的位置关系活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:平面直角坐标系中作出A、、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴∥,且直线AB直线AC有公共点A,∴A、B、C三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法其质是从同一点出发的两个向量共线,这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训已知a=(4,2),b=(6,y),a∥b,求解:∵a∥b,4y-2×6=0.∴y=3.思路2例2设点P是线段PP上的一点,P、P坐标分别是(x,y)、,y).12121122(1)当点P是线段PP的中点时,求点P坐标;12(2)当点P是线段PP的一个三等分点时求点P的坐标.12PP活动:教师充分让学生思,提出这一结论可以推广?当PP

=λ

时,点P的坐标是什么?师生共同讨论一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:由PλPP,知(x-x,y-y)=λ(x-x,y-y),1122即

xx2)y)y121

,.这就是线段的定比分点公式教师要给予充分肯,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话可以探λ的取值符号P点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.精彩文档

1212111112实用标准文案1212111112图4解:如图4,由向量的线性运算可知yOP(OP+)=(12).22所以点P的坐标是(

xyy122)2PPPP

PP(2)如图5,当点P线段PP的一个三等分点时有两种情况即1=或PP2=2.PP如果1=,那么PP2图5OPOP+P=+P12=OP+(OP-OP)21=

2OP+3=(

xy123

).即点P的坐标是(

xy123

).PP同理,如果1PP

xx=2,那么点P的坐标是12,123点评本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式变式训在△ABC,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.解:若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,精彩文档

实用标准文案设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得

3xy22∴x=-3,y=-5,即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x上,则中点在上,则同理可得C坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2已知点A(1,2),B(4,5),O坐标原点,OP=+t.若点P第二象限,求实数t的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程组)或不等式()再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能,或者让学生到黑板上去板书解题过程并对思路清晰过程正确的同学进行表,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.师要让学生明白“化归”思想的利用不式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(),那么变量的取值范围就是这个不等式()的解集.解:已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).21若点P在第二象限,t33故t的取值范围是(

21,).