中考数学高频考点突破-圆的综合

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——圆的综合1．如图，是的直径，是弦，点E在圆外，于D，交于点F，连接，，，．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)设的面积为，的面积为，若，则.2．如图（1），是的直径，点D、F是上的点，连接并延长交于A点，且，．(1)求证：(2)求：(3)如图（2），若点E是弧的中点，连接．求：．3．【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．(1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则___________；(2)如图3，中，，是上一点，，垂足为．求证：点是折线段的中点；(3)如图4，，，，是上的四个点，，，求的值．4．已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦，点D为BC的中点，(1)如图，连接AC、OD，设，请用α表示；(2)如图，当点B为的中点时，求点A、D之间的距离．(3)如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆有且只有一个交点，求弦AE的长．5．【发现】（1）如图1，已知的半径为，为外一点，且，为上一动点，连接，，则的最小值为，最大值为；（用含，的式子表示）【应用】（2）如图2，已知正方形的边长为2，，分别是，上的点，且，连接，交于点，求的最小值；【拓展】（3）如图3，是的直径，，为上一定点，且，动点从点出发沿半圆弧逆时针向点运动，当点到达点时停止运动，在点运动的过程中，连接，，过点作交的延长线于点，连接，求的最大值．6．如图，四边形内接于圆O，，连接(1)求证：平分；(2)如图，连接，若，求证：；(3)如图，在（2）的条件下，连接AO交BD于点E，过点B作AC的垂线交圆O于点F，垂足为G，若，，求AB的长．7．已知，在△ABC中，，以BC为直径的⊙O与AB交于点H，将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，连接BE．(1)如图1，DE与⊙O相切于点G，求证：；(2)如图2，延长HO交⊙O于点K，交线段BE于点M，将△DEF沿DE折叠，点F的对称点恰好落在射线BK上，求证：；(3)如图1，在（1）的条件下，求的值．8．已知⊙O的直径AB为10，D为⊙O上一动点（不与A、B重合），连接AD、BD．(1)如图1，若AD=8，求BD的值；(2)如图2，弦DC平分∠ADB，过点A作AE⊥CD于点E，连接BE．①当△BDE为直角三角形时，求BE的值；②在点D的运动过程中，BE的值是否存在最小值？若存在，请直接写出BE的最小值；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线与x轴交于点，，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，连接，点Q为的中点．①判断点C、D与的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段的最小值．10．【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQ．N若点P在折线段MQN上，MP＝PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．(1)【理解应用】如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO＝30°，则PB＝______；(2)如图3，⊙O中，，D是上一点，AH⊥BD，垂足为H．求证：点H是折线段BDC的中点；(3)【拓展提升】如图4，A，P，B，C是⊙O上的四个点，AB＝AC＝2，，求PB・PC的值．11．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．(1)如图1，点是弧的中点，是弧所对的圆周角，连接、试说明与是偏等三角形．(2)如图2，与是偏等三角形，其中猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以与为例说明)；(3)如图3，内接于若点在上，且与是偏等三角形，求的值．12．如图，点是矩形中边上的一点，以为圆心，为半径作圆，交边于点，且恰好过点，连接，过点作EFBD，(1)若，①求的度数；②求证：是的切线．(2)若，，求的长．13．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．(1)求证：是的切线；(2)如果，，①求的长；②求的面积．14．已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若的半径为，，求的长．15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线．(1)求证：DG是⊙O的切线；(2)求证：DE＝CD；(3)若，BC＝8，求⊙O的半径．16．如图，在△ABC的外接⊙O中，OB⊥AC交AC于点E，延长BE至点D，使得BE＝DE，连接AD，CD，其中CD与⊙O相交于点F，连接AF交BD于点G．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)当DA和DC都与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求BD的长．(3)若DG＝DF，求的值．17．如图，ABC中，CD为斜边上的中线，以CD为弦画圆，与边AC交于点C、E，与边BC交于点C、F，与边AB交于点D、G．(1)若BF=BG，求的大小；(2)连接EF，试猜想线段BF、EF、AE的长度满足用等号连接的数量关系，并说明理由；(3)连接CG，若CG恰好是△ABC的平分线，求的值．18．如国．⊙O的内接三角形ABC中．AB=AC．过点B作⊙O的切线．交CA延长线于D．过D作⊙O的另一条切线DE．切点为E．连接AE、BE、CE．(1)求证：△DBA∽△DCB：(2)判断AB·CE与AE·BC之间的数量关系．并给出证明；(3)探究：在BC长度的变化过程中．是否为定值？若是．请求出这个值：若不是．请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据圆的切线的定义求解即可；（2）先证明得出，得出，再得出，进而结论可证；（3）先证明得出，从而得出，设，，求出，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出最后根据O是的中点求解即可．【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵于D，∴，∴，∴，∵是的直径，∴是的切线；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：∵是的直径，∴，∵于D，∴，∴，∴中，，∴设，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵O是的中点，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了圆的切线，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于找出相似三角形，求出边之间的数量关系．2．(1)见解析(2)；(3)．【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于内对角得出即可得证；（2）连接，根据，利用比例关系和勾股定理求出和即可得出；（3）证，得出，再利用等腰直角三角形得出的值即可．【解析】（1）解：∵四边形是圆O的内接四边形，∴，，∴，又∵，∴；（2）解：连接，∵是的直径，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，在中，，在中，，∴；（3）解：如下图：∵E是弧的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，即，∴，∴．【点评】本题主要考查圆的综合知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．(1)3(2)见解析(3)【分析】（1）由切线的性质得出，由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案；（2）先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论；（3）作于点E，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值．【解析】（1）解：∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∵点是折线段的中点，∴，故答案为：3；（2）如图，延长到M使，连接，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴点H是折线段的中点；（3）如图，作于点E，由（2）可知E为折线段中点，即，∴，在中，，在中，，∴，∵，∴．【点评】本题考查了圆的综合知识，掌握切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键．4．(1)(2)(3)或【分析】（1）连接OB、OC，可证是等边三角形，根据垂径定理可得等于30°，可得，利用三角形的内角和定理即可表示出的值；（2）连接OB、OC，可证是等边三角形，根据垂径定理可得等于，因为点D为BC的中点，则，所以等于，根据，在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD、AD的长；（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切．先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD的长，再过O点作AE的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解．【解析】（1）如图1：连接OB、OC．∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵点D是BC的中点，∴，∵，∴，∴；（2）如图2：连接OB、OC、OD．由（1）可得：是等边三角形，，∵，∴，∵B为的中点，∴，∴，根据勾股定理得：；（3）①如图3．圆O与圆D相内切时：连接OB、OC，过O点作，∵BC是直径，D是BC的中点，∴以BC为直径的圆的圆心为D点，由（2）得：，圆D的半径为1，∴，设，在和中，，即，解得：，∴；②如图4．圆O与圆D相外切时：连接OB、OC，过O点作，∵BC是直径，D是BC的中点，∴以BC为直径的圆的圆心为D点，由（2）可得：，圆D的半径为1，∴，在和中，，即，解得：，∴．【点评】本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外，需注意圆相切要分内切与外切两种情况．5．（1），；（2）；（3）【分析】（1）当在延长线上时，最大，最大为，当在线段上时，最小，最小为：；（2）先证明，即可得到，所以点在以为直径的圆上，由图形可知：当0、、在同一直线上时，有最小值，然后根据勾股定理即可解决问题；（3）由同弦等角可知点在以为弦的上运动，从而构造辅助圆，故当，，共线时，的值最大，求出此时的值即可解决问题．【解析】解：（1）当在延长线上时，最大，如图：最大为：，当在线段上时，最小，如图：最小为：，故答案为：，；（2）四边形是正方形，，，在和中，，，，，如图，取的中点，连接，则，因此点在以为直径的上运动，连接，当点、、不在一条直线上时，在三角形中有：，即，当点、、在一条直线上时，，当点、、在一条直线上时，有最小值为，（3）解：是的直径，，，，，，，在中，，，，点在以为弦的上运动，当，，共线时，的值最大，如图，连接，，，，△是等边三角形，，，，，，，线段的最大值为．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质及圆周角定理等知识点，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题．6．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)30【分析】（1）由推出，即可得到，即可推出结论；（2）连接，，根据圆周角定理可得出，再根据等腰三角形的性质可得出，根据三角形内角和定理得出，然后根据圆心角、弧弦的关系即可得证；（3）连接，设，，则，先证明垂直平分，，再利用勾股定理和垂径定理求出，，证明，求出，，由勾股定理得，即，据此求解即可．【解析】（1）证明：，，，平分；（2）证明：连接，，，，，，，，，，，；（3）解：连接，设，，则，∵，∴垂直平分，，∴，

在中由勾股定理得：，∴，∴，在中由勾股定理得：，∵，，∴，∴，即，∴，，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴．【点评】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．7．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）由平移的性质得出，连接，，证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）设，由等腰三角形的性质得出，由平移以及折叠的性质可得，则结论可得；（3）过点作于点，证明四边形是矩形，由矩形的性质可得：，由（1）知，同理可证，设，由勾股定理得出，则可得出答案．【解析】（1）证明：∵将△ABC沿射线AC平移得到△DEF，∴,∵，∴，连接，，∵DE与⊙O相切于点G，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）设，∵，∴，∴，∴，∵沿射线AC平移得到，沿DE折叠得到，∴，∴，∴，∴；（3）过点作于点，∴，由（1）知，∴四边形是矩形，∴，由（1）知，同理可证，设，在中，，∴，∴，即．【点评】本题是圆的综合题，考查了平移的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握圆切线的性质是解本题的关键．8．(1)6；(2)①5或，②存在最小值，．【分析】（１）利用圆周角定理和勾股定理求解即可；（2）①为直角三角形，分两种情况：当或当，分别进行求解即可；②取AC中点F，过F作于H，利用圆周角定理得，用勾股定理求出AC，利用直角三角形性质求EF，然后求出BF长，最后在中利用三角形中边的关系得出BE的最小值．【解析】（1）解：如图1，为的直径，，；故BD的值为6．（2）解：①，DC平分，，当时，如图2，，，，点E在AB上，，，是以AB为斜边的等腰直角三角形，点E与O重合，；当时，如图3，，，，，，，又，即，解得（舍去）综上所述，BE的长为5或；②在点D的运动过程中，BE存在最小值，解答如下：如图3，连接OC、AC，取AC中点F，连接EF、BF，过点F作于H，，，，，，，，F为AC中点，，，，，，（当且仅当点E在线段BF上时等号成立），即，BE的最小值是．【点评】此题是一道圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中边的关系等知识，熟练利用这些性质进行逻辑推理和运用分类的思想方法是解此题的关键．9．(1)(2)①C点在圆G的内部，D点在圆上；原因见解析；②线段的最小值为【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）①先求出点C、D、G的坐标，根据，求出圆的半径，然后求出、的长，即可得出答案；②连接并延长与圆交于点N，连接，根据中位线定理得出，根据平行线的性质得出，说明Q点在以为圆心，1为半径的圆上，得出AQ的最小值为，求出即可．【解析】（1）解：将，代入，∴，

解得：，∴；（2）解：①令，则，∴，∵，∴，∵，，∴，圆的半径为，∵，，∴，，∴C点在圆G的内部，D点在圆上；②连接并延长与圆交于点N，连接，∴，∵G是的中点，Q是的中点，∴，∴，∴Q点在以为圆心，1为半径的圆上，∵，∴的最小值为，∴线段的最小值为．【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式，勾股定理的，中位线定理，作出辅助线，找出Q点的轨迹，是解题的关键．10．(1)3(2)证明见解析(3)PB•PC＝7【分析】（1）由切线的性质得出，由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案；（2）先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论；（3）作于点，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值．【解析】（1）解：是的切线，，，，，，点是折线段的中点，，故答案为：3；（2）解：延长到使，连接、，如图所示：，，，，，，，是等腰三角形，，，，，，，，，点是折线段的中点；（3）作于点，如图所示：由（2）可知为折线段中点，即，，在中，，在中，，，，．【点评】本题考查圆的综合知识，掌握切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键．11．(1)见解析(2)互补，理由见解析(3)6或【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得出BC=CD，再由公共边AC即可证明与是偏等三角形；（2）在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG．易证，得出，，从而得出，再根据等边对等角可知．最后由邻角互补即，可求出，即另一组等边的对角互补；（3）分类讨论：①当BC=CD时和②当AB=CD时，再由圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．（1）∵点是弧的中点，∴BC=CD，．又∵AC=AC，∴与是偏等三角形；（2）如图，在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG．由题意可知在和中，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，即另一组等边的对角互补．故答案为：互补；（3）分类讨论：①当BC=CD时，如图，∵BC=CD，，∴．∵，∴，∴，∴，，∴AD>CD符合题意，∴AD=AC=6；②当AB=CD时，如图，过点D作于点E，∵AB=CD，，∴，∴，，∴，∴，符合题意．设CE=x，则，∵，即，∴，∴，∴．综上可知AD的值为6或．【点评】本题考查新定义，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等知识．理解偏等三角形的定义是解题关键．12．(1)①30°；②见解析(2)【分析】（1）①由圆的性质及等腰三角形的性质可得∠OBD=30°，然后根据矩形的性质及平行线的性质可得答案；②连接OE，由圆的性质及等腰三角形的性质可得∠DEO=∠ODE=60°，然后根据三角形的内角和定理及切线的判定定理可得结论；（2）根据平行线的性质得CE：ED=CF：FB=2：3，设CE=2x，则DE=3x，过点O作OH⊥DE于点H，根据垂径定理及矩形的判定与性质可得DO=BO=CH=DCDH=，最后由勾股定理可得答案．【解析】（1）解：①∵OD=OB，∠DOB=120°，∴∠OBD=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠CDB=∠OBD=30°，∵EF//BD，∴∠CEF=∠CDB=30°；②证明：如图，连接OE，∵∠ODB=∠DBO=∠EDB=30°，∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=60°，∵OD=OE，∴∠DEO=∠ODE=60°，∴∠OEF=180°-∠DEO-∠CEF=180°-60°-30°=90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵EF∥DB，∴CE：ED=CF：FB=2：3，设CE=2x，则DE=3x，过点O作OH⊥DE于点H，由垂径定理可得DH=DE=，∵∠CBO=∠C=∠CHO=90°，∴四边形CHOB是矩形，∴DO=BO=CH=DCDH=，在Rt△ODH中，有DH2+OH2=DO2，解得，∴DO=．【点评】此题考查的是圆的有关性质、垂径定理、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．13．(1)证明过程见解析(2)①；②【分析】（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，则问题得解；②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．【解析】（1）连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切线；（2）①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面积为．【点评】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点．14．(1)见解析(2)见解析(3)15【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=12，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【解析】（1），，，，，，，即，，是的半径，是的切线；（2）连接AC，如图所示，∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）连接BE，如图所示，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为10，cosA=，∴AB=20，EA=AB•cosA=20×=16，∴，∵，∴BE=CE=12，∵CE2=EH•EA，∴，在Rt△BEH中，．【点评】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．15．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5【分析】（1）如图1，连接OD，由点E是△ABC的内心，可知AD平分∠BAC，则，，可得，，则，进而结论得证；（2）如图2，连接BD，由点E是△ABC的内心，可知，由，可得，根据等角对等边证明结论即可；（3）如图3，连接OB、，连接交于，由（2）可知，由题意知，，在中，由勾股定理得，设半径为，则，，在中，由勾股定理得即，计算求解即可．【解析】（1）证明：如图1，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴，∴，∴，∵，∴，∵是⊙O的半径，∴DG是⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接BD，∵点E是△ABC的内心，∴，∵，∴，∴．（3）解：如图3，连接OB、，连接交于由（2）可知，由题意知，，在中，由勾股定理得，设半径为，则，，在中，由勾股定理得即，解得，∴的半径为5．【点评】本题考查了内心，角平分线，同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，三角形外角的性质，等角对等边，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．16．(1)证明见解析(2)6(3)【分析】（1）根据垂径定理确定AE=CE，根据平行四边形的判定定理确定四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定定理证明四边形ABCD是菱形即可．（2）连接OA，设OE=x．根据勾股定理和线段的和差关系用x表示出AD和OD的长度，再结合圆的半径，切线的性质定理和勾股定理列出方程并求解可得x的值，再根据线段的和差关系代入计算即可．（3）根据圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边对等角可确定∠DGF=∠ADF，再根据相似三角形的判定定理和性质可确定∠GDF＝∠DAF，，结合菱形的性质和等角对等边可确定AG=DF，AF=CD，根据线段的和差关系和等价代换思想可确定，进而可确定点F是线段CD的黄金分割点，即可求出的值．（1）解：∵在△ABC的外接圆⊙O中，OB⊥AC，∴AE＝CE．∵BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形．∵OB⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：如下图所示，连接OA．设OE=x．∵⊙O的半径为2，∴OA=OB=2．∴BE=OB+OE=x+2，．∴DE=x+2．∴，OD=OE+DE=2x+2．∵DA与⊙O相切，∴∠OAD=90°．∴．∴．解得（舍），．∴x=1．∴OD=4．∴BD=OB+OD=6．（3）解：∵DG＝DF，∴∠DGF＝∠DFG．∵四边形ABCF是的内接四边形，∴∠ABC+∠AFC=180°．∵∠AFC+∠DFG=180°，∴∠ABC=∠DFG．∴∠ABC=∠DGF．∵四边形ABCD是菱形，BD是其对角线，∴∠ADF=∠ABC，∠ADG=∠GDF，AD=CD．∴∠DGF=∠ADF．∴∠DFG=∠ADF．∴AF=AD．∴AF=CD．∵∠DFG=∠AFD，∴△DGF∽△ADF．∴∠GDF＝∠DAF，．∴∠DAF=∠ADG．∴AG=DG．∴AG=DF．∴AF-AG=CD-DF，即GF=CF．∴．∴点F是线段CD的黄金分割点．∵DF<CD，∴．【点评】本题考查垂径定理，菱形的判定定理和性质，切线的性质定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定定理和性质，等边对等角，等角对等边，综合应用这些知识点是解题关键．17．(1)60°(2)，理由见解析(3)1【分析】（1）如图1，连接，由圆