2023学年完整公开课版极值法

㈠物理极值是指在物理题目分析过程中出现的物理问题的临界条件，所以它往往和临界问题相联系。这类题目往往伴随“缓慢”“刚好”、“恰好”、“刚要”、“至少”、“最大”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘内含规律，找出临界条件，我们统称这类极值为物理极值。㈡数学极值是指在求解极值过程中实际物理过程与数学知识相结合，充分发挥数学的作用，进行数学建模，求解数学极值，进而转化为物理问题的极值。极值法是将问题推向极端状态的过程中,着眼一些物理量在连续变化过程中的变化趋势及一般规律在极限值下的表现或者说极限值下一般规律的表现,从而对问题进行分析和推理的一种思维办法。

一、利用求导的方法求极值通过高等数学知识可知，如果当Δx→0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tanα。如果f'(x0)=0,则在x0处函数有极值。例1.如图1所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电量为q，质量为m的正检验电荷（不计重力）。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？解：由于对称性，在AB的中点受力为零，在AB中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线上的D点时，由图可知故其加速度为：发现加速度是一个关于θ的函数，令所以当时，加速度有最大值为：二、用图像法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。例2.从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。t020V/m.s-1解：设最大速度为vm,即加速阶段的末速度为vm：画出其速度时间图象，如图所示，图线与t轴围成的面积等于位移。即：例3.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？三、运用二次函数求极值解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为汽车做匀加速运动，其位移为：两车相距为：这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。当四、运用几何法v水v开sv合例4.一条河宽L=60m，水速v水=4m/s，船在静水中的开行速度v开=3m/s。（1）求小船渡河的最短时间t，这样渡河船的位移是多少？（2）小船渡河的最小位移是多少？解析：（1）小船渡河的运动可看作是小船在静水中的运动与水的运动两个运动的合成。由分运动之间互不影响，且河岸的宽度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的时间就越短，即当小船船头垂直于河岸方向运动时，时间最短：tmin=L/v开=60/3s=20s，s=v合tmin=5×20m=100m（2）运动的合成与分解遵循平行四边形定则，由v开<v水，即小船不可能垂直到达对岸。只有当v开、v水两个速度的合速度v水v开sv合θ与河岸的夹角越大，则小船的实际位移越小.把代表v开的有向线段移到代表v水的有向线段端点,如图所示，可见：改变船头的方向，有向线段v开的箭头端点始终在一圆弧上.随着船头方向的改变，合速度的方向也随之改变.只有当船头的朝向与合运动的方向垂直时，θ有最小值。由几何知识可得：cosθ=v开/v水=3/4，又cosθ=L/smin，即smin=80m。例5.如图所示，一根轻弹簧上端固定，下端挂一个质量为m的平盘，盘中有一质量为m的物体，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L。今向下拉盘使弹簧再伸长ΔL后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度之内，则刚松手时盘对物体的支持力等于

AB

C

D解析:极端到ΔL=0,则盘对m的支持力应为mg.正确答案为A五、极端极值法若用撤去一个力时,其它力的合力就是该力的结论求:则有:F=(m+m0)a

而F=KΔL

(m+m0)g=KL于是有a=gΔL/L对m有：FN-mg=ma解得：FN=1.巡航快艇A从港口P出发拦截正以速度vB沿直线MN航行的船B，港口P与B船航线MN的垂直距离为a