第七章应力与应变强度理论

大纲要求一.熟练掌握平面应力分析的基本方法(解析法与图解法)二.熟练地计算主平面与主应力；三.掌握广义胡克定律；四.熟悉常用强度理论，能正确选用适当的强度理论。第七章应力与应变分析强度理论§7.1应力状态概述一.一点的应力状态过构件内同一点的不同截面上的应力是不同的；过构件内一点的各个截面上的应力情况，叫做该点的应力状态。二.为什么要研究应力状态

1.构件失效原因的准确描述2.复杂应力状态下的强度计算三.研究应力状态的基本对象——单元体1.单元体：用围绕一点的三对互相垂直的平面在构件上截出的一个微小的六面体。2.单元体的每个面上一般有一个正应力和两个剪应力；三对面上的正应力与剪应力可用来描述该点的应力状态。3.有一对平行平面上的所有应力为零的应力状态叫平面应力状态；平面应力状态的单元体可简化为正方形。4.原始单元体：各个面上应力已知的单元体叫原始单元体，它是对该点进行应力分析计算的基础。四.四个基本概念1.主平面、主应力、主单元体

主平面：无剪应力的面；

主应力：主平面上的正应力叫主应力；

主单元体：三对面都是主平面的单元体叫主单元体。在任一点都可以找到主单元体，因此每一点都有三个主应力，按照它们的代数值分别记为：s1、s2、s3，有：s1≥s2≥

s3

。2.单向、二向、三向应力状态单向应力状态：只有一个主应力不为零；二向应力状态：只有二个主应力不为零(平面应力状态)

三向应力状态：三个主应力皆不为零。二、三向应力状态也叫做复杂应力状态。§7.2

复杂应力状态举例一.二向应力状态——薄壁圆筒受内压时筒壁的单元体壁厚t，直径D

(t<D/20)，内压p，筒长l1.由横截面确定

s’

——

拉伸2.由纵截面确定

s’’

——“拉伸”3.在与筒壁垂直的方向有内压

p与大气压(<p)，而s’与s’’

皆远大于p，所以第三方向的压力忽略不计，为二向应力状态。二.三向应力状态举例滚珠轴承中滚珠与外圈的接触点为三向受压状态。§7.3二向应力状态分析——解析法一.研究方法——截面法对单元体用截面法，推导出任意斜截面上应力与原始单元体应力的关系式。二.斜截面上的应力公式注意：各量的正负号!三.互相垂直的截面上的应力的关系1.任意两个互相垂直的截面上的正应力之和保持不变；2.任意两个互相垂直的截面上的剪应力符合剪应力互等定理。四.主应力1.主平面位置令

ta=0，可得：由此解得

a1与a2=a1+90两个值，对应两个互相垂直的主平面。2.正应力极值令可得与ta=0相同的式子

可知：主平面上的正应力(主应力)为正应力的极值。在二向应力状态中，一个是

smax

另一个是

smin

。3.主应力的解析式解出a1与a2后代入的sa公式，即得:4.

a1、a2

与

smax

、smin

的对应关系

smax

与sx、sy

中代数值较大者的夹角小于45°(即更接近于代数值较大者)。5.剪应力极值剪应力极值所在平面与主平面夹角为45°

且：注意：这只是二向应力状态中的剪应力极值。(sa,ta)stCRO§7.4二向应力状态分析——图解法一.应力圆(莫尔圆)

由斜截面应力公式可以推出：在s-t的坐标系中，这是一个圆的方程。二.应力圆的作图1.从原始单元体取数据：x面应力(sx.txy),y面应力(sy,tyx)；2.在坐标系中作出

x面应力对应点D及

y面应力对应点D’3.连结D、D’点与轴交于C，此即应力圆的圆心,CD为半径三.斜截面应力的确定1.明确斜截面与

x轴正方向的夹角

a；2.应力圆上的D点代表单元体上的

x面；3.从D点按照a角的转向，在应力圆周上取

2a的弧长得到E点，此点即表示此斜截面上的应力

sa与ta

。四.主平面与主应力

应力圆与

s轴的交点对应主平面并表示主应力的数值§7.5三向应力状态

(只讨论已知三个主应力时确定三向应力状态的应力圆)一.与一个主平面垂直的斜截面上的应力与此主平面上的主应力无关。二.三个“二向应力状态”一个三向应力状态可以等效为三个二向应力状态。s1s1s1s2s2s2s3s3s3三.三向应力圆

按s1、s2、s3作出三个二向应力状态的应力圆，就得到三向应力的应力圆；过s1、s2圆上的点是与s3平行的截面上的应力；……

三个圆之间的点是其它任意斜截面上的应力。toss1s3s2四.最大剪应力

由三向应力圆知，最大剪应力是最大应力圆的半径，即：它在与s1成45°且与s2平行的截面上§7.6平面应变分析简介一.一点的应变的概念

通过构件内一点的不同方向上的应变情况。二.平面应变状态构件各点的位移和应变都发生在同一平面内；但是通常把与平面应力状态对应的应变状态也叫做平面应变状态——此时第三个方向的线应变并不为零。三.线应变

e与剪应变

g

gxyexey

y

x

1

1

用两个正交方向描述一点的平面应变状态，

e

沿着两个正交方向，

g

是两个正交方向夹角的改变量。

e

伸长为正，

g

直角增大为正。四.平面应变分析的解析法

计算公式与平面应力分析相似，只要注意以下对应关系即可：1.任意方向的

ea与ga''2.主应变剪应变为零的两个正交方向上的线应变(极值)3.主应变方向由解析法公式，令剪应变ga可得两个相差

90

的角度，即两个正交的主应变方向。五.平面应变分析的图解法——应变圆与应力圆相似，只是作图时纵坐标应为剪应变的一半，即：应变圆的两个坐标轴是

e轴与

g/2

轴。六.应变的测量——应变仪测量

1.由于gxy不易测量，所以实际测量时一般测三个不同方向的线应变ea1、ea2

、

ea3，再计算出ex、

ey、

gxy

由此再进一步计算出主应变与主应变方向。

2.常用的三个不同方向有两种，一种用三个应变片构成“直角应变花”，另一种用三个应变片构成“等角应变花”。§7.7广义胡克定律一.应力分量与应变分量1.应力分量一般的单元体的三对侧面上有九个应力分量，而六个剪应力只有三个是独立的，所以九个应力分量中只有六个是独立的。2.应变分量一般地有九个应变分量，三个线应变与六个剪应变，但剪应变只有三个是独立的，所以应变也只有六个是独立的。3.对于小变形、在线弹性范围内的各向同性材料，线应变只与正应力有关，剪应变只与剪应力有关。xy

zsxszsytxytxztzxtzytyztyx二.广义换胡克姿定律1.正应瞧力与姓线应兄变的泉关系szzyxsysx2.剪应架力与河剪应哥变的渔关系3.以主鱼应力惠表示贫的广活义胡果克定绢律(此时犬剪应剥力为而零，先广义子胡克蛙定律岩只有难第一遣部分)4.主应悠力与宾主应召变方口向的炎一致最性对于宏各向灯同性榨材料怪，主殃应力他的方庸向与籍主应药变的来方向碍是一肝致的姨。即恨：若s1>s2>s3，则有e1>e2>e3。三.体积虎应变疑与应塌力分寨量的罪关系体积金应变龙：通过咬广义坐胡克绒定律畏，又栽可用客主应柜力表件示为她：或记么作：其中辜：是平均滚应力是体积喇弹性勿模量(体积盖胡克设定律)§仓7.献8复杂决应力浊状态端下的应变能抢密度一.弹性著体的依变形拒能只捞取决从于外菌力的描最终荣数值血，而蹦与加超载次涨序无缝关；附所以鸽可以冶设想坛一个妻便于胡计算然变形推能的域加载雅次序——比例待加载倾。二.在线树弹性慢前提疫下，牢比例部加载熟时，级三向唯应力爆状态蛾下的哭单元烧体的忧变形润能(应变能密度)是：代入直广义公胡克抄定律宫得：三.体积戏改变霉能密度uv设：s1=s2=s3=sm，则单击元体其只有择体积粒改变甲，此雕时uv=释u即：当三死个主下应力怕不等末，但sm=曾(s葬1+漆s2萍+s抖3)/3时，堂一般毛有：四.畸变霸能密璃度（形状块改变篮比能）uf五.三个至弹性定常数上的关锦系：§芦7.兼9强度门理论藏概述一.两种铃失效沸形式(与强纺度有狡关的训失效)1.屈服：遭变形足较大滨，且汉大部赢分是豪塑性表变形痒；2.断裂(脆性锤断裂)：无明耗显塑征性变菠形的严征兆劳，突舰然断租裂。二.强度偷理论——关于组材料遗失效糠原因蛮的假劈燕说1.单向青应力诵状态哄的强榴度条苹件可驼以直候接从涝实验狐确定娘；2.复杂蚀应力屈状态黑下的要强度维条件族一般果难以顿直接猜从实态验确片定；3.假说氏的提弦出简化节复杂左应力面状态练下的贩材料屡失效赶因素皱，与裕易于拴实验短的单向汤应力杏状态缝类比尘；假暂设在求不同鞋应力晕状态饺下，姑引起蛾材料纪失效的串都是躬同一怒因素捆，因呆而形北成“怕强度患理论狠”。不同恨的假耐说产讲生不浑同的伐强度臭理论魂。4.强度续理论醋分为饭两类，分煮别解坐释两者种不阁同的鲁失效眯原因山。§慰7.固10四种框常用驾强度阀理论一.最大肯拉应后力理押论(第一叹强度促理论)1.失效隆假说岩材料太断裂展是由茫于最骗大拉亚应力奋达到宁某个秀极限扰值.2.断裂巨准则s1=sb(s1>0,sb由轴歪向拉辛伸试垒验测妖定)3.强度引条件s1≤桂[s]4.适用陈范围凤主归要受筛拉的决脆性殿金属阿材料菜。二.最大忍伸长惕线应丘变理扭论(第二稿强度凶理论)1.失效流假说材料雁断裂币是由馅于最框大伸精长线凳应变枣达到岂某个牵极限壤值。2.断裂判准则e1=eu(e1>0,eu可由猜轴向颤拉伸抓试验针测定)或：s1-m(s2+s3)覆=sb3.强度塔条件s1-m(s2+s3)≤红[s]4.适用拥范围饥脆况性材嘱料压柿应力挠占优附用之剧，但抽一般阁不如良第一.三.最大宇剪应印力理俘论(第三亲强度饮理论)1.失效长假说极材跃料屈密服是单由于膏最大杏剪应传力达拔到某素个极迟限值2.屈服防准则tma掀x=ts或：s1-s3=ss3.强度暮条件s1-s3≤[s]4.适用种范围程塑赠性材关料屈怒服失鲜效四.形状跑改变群比能视理论(第四醋强度徒理论)1.失效磁假说赵最大碰形状黑改变着比能邻达到央某个摩极限身值而吐屈服4.适用挺范围漫与副第三崇强度素理论六相同间，但季更加般精确竖。3.强度闪条件2.屈服川准则或：五.相当净应力四个现强度估理论定的强金度条接件可涌统一惠写成喘：sr≤[s]sr叫“铃相当蜂应力荣”1.第一徐强度肥理论份的相毛当应刻力sr1=s1