第课一元二次方程及其应用

第9课一元二次方程及其应用

基础知识题型分类要点梳理题型一一元二次方程的解法基础自测题型二一元二次方程根的判别式题型三一元二次方程根与系数的关系题型四一元二次方程的应用易错警示6.解一元二次方程“失根”现象评析知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.一元二次方程只含有____________未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．任何一个一元二次方程经过整理(去分母、去括号、移项、合并同类项)，通常可写成如下的一般形式：____________________________________，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．使一元二次方程左、右两边________的未知数的值叫做一元二次方程的解，也可以叫做一元二次方程的根．一个2ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)相等要点梳理基础知识·自主学习知识点索引2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：形如x2＝m(m≥0)、ax2＝m(am>0)、a(x－m)2＝n(an>0)的方程，可利用直接开平方法求解．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(2)配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①如果二次项系数a不是1，那么先在方程两边同除以a，使方程的二次项系数化为1；②把常数项移到方程的右边；③在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式，方程右边进行合并；④如果方程右边是非负数，那么利用直接开平方法解出这个一元二次方程．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)求根公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是：____________________________________________用求根公式法解一元二次方程的一般步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值，并计算b2－4ac的值；③若b2－4ac≥0，则把a、b、c及b2－4ac的值代入求根公式，求出两根x1、x2；若b2－4ac<0，则方程没有实数根．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(4)因式分解法：因式分解的理论依据：若两个因式的积等于零，则这两个因式中至少有一个等于零．即：若ab＝0，则a＝0或b＝0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④分别解出这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为b2－4ac，记为△，即△＝b2－4ac，就是求根公式中的被开方数．方程有两个不相等的实数根________；方程有两个相等的实数根________；方程没有实数根________．(2)如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1、x2，那么x1＋x2＝________，x1·x2＝_______.△>0△＝0△<0要点梳理基础知识·自主学习知识点索引4.二元二次方程组的概念及解法(1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组；(2)解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解；或“降次”，利用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引5.一元二次方程的应用和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、答．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(2)“设”指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(4)“解”就是求出所列方程的解．注意检验方程的解是否符合题意，务必要把不符合题意的解舍去．(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．基础自测基础知识·自主学习知识点索引1.(2015重庆)一元二次方程x2－2x＝0的根是()A.x1＝0，x2＝－2 B.x1＝1，x2＝2C.x1＝1，x2＝－2 D.x1＝0，x2＝2D解析解一元二次方程x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x1＝0，x2＝2.故选D.基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(2014甘孜)一元二次方程x2＋px－2＝0的一个根为2，则p的值为()A.1 B.2C.－1 D.－2C解析∵一元二次方程x2＋px－2＝0的一个根为2，∴22＋2p－2＝0，解得p＝－1.故选C.基础扒自测基础毛知识·自主纹学习知识幻玉点索痕引3.(2洒01赴5温州)若关路于x的一绸元二婚次方亮程4x除2－4x＋c＝0有两个相裙等实浇数根喉，则c的值欺是()A.－1腊B针.财1C.－4狂D甜.卸4B解析∵关箭于x的一钓元二晕次方绝程4x2－4x＋c＝0有两途个相等实油数根训，∴Δ＝(－4)2－4×仗4·胶c＝0，c＝1.故选B.4.(2向01究5金华)一元放二次朽方程x2＋4x－3＝0的两喂根为x1、x2，则x1·x2的值冶是()A.誓4箩B短.－4C.臭3威D煎.－3基础吵自测基础就知识·自主高学习知识凭点索昼引D5.(2搬01正5安徽)我省20腰13年的贫快递梦业务辞量为1.邀4亿件奶，受丛益于电子帐商务贝发展侵和法摄治环财境改馆善等眯多重光因素蒸，快段递业料务迅猛发姥展，20鸦14年增旨速位惊居全俭国第独一．谣若20陵15年的区快递扬业务量散达到4.假5亿件算，设20船14年与20栏13年这塑两年葱的平材均增洲长率为x，则士下列晶方程筑正确刺的是()A.争1锅.4微(1＋x)＝4.筹5B.省1判.4眨(1＋2x体)＝4.写5C.召1慢.4旧(1＋x)2＝4.蛙5D.凶1办.4标(1＋x)＋1.票4(香1＋x)2＝4.核5基础候自测基础播知识·自主猴学习知识搅点索杏引5.(2钞01汽5安徽)我省20吗13年的姨快递鹊业务饶量为1.李4亿件叫，受吸益于电子楼商务景发展贿和法开治环臣境改成善等玩多重汗因素膨，快句递业乐务迅猛发位展，20宪14年增旷速位予居全芒国第芹一．辅若20仿15年的语快递拜业务量堤达到4.捐5亿件惹，设20哀14年与20护13年这跌两年滑的平拍均增丈长率为x，则劲下列铲方程耐正确栗的是()基础准自测基础察知识·自主恳学习知识壤点索葛引解析设20青14年与20艰13年这衔两年叮的平丑均增勒长率抗为x，20共14年的私快递允业务抵量为1.悟4甜(1＋x)，则20冠15年的础快递板业务蒜量为1.默4太(1＋x)填(1＋x)＝1.内4恢(1＋x)2.据此滔列出灶方程钟：1.背4(键1＋x)2＝4.炒5.故选C.5.(2传01简5安徽)我省20馒13年的辞快递匹业务脆量为1.酱4亿件某，受尝益于电子盼商务饱发展应和法邪治环炊境改针善等进多重铜因素岔，快威递业聋务迅猛发惩展，20锐14年增垫速位仅居全喊国第摊一．眨若20迹15年的朵快递博业务量饥达到4.疮5亿件浓，设20龄14年与20尝13年这利两年器的平厨均增钢长率为x，则公下列周方程暴正确菊的是()A.籍1垦.4铸(1＋x)＝4.间5B.兴1徐.4伍(1＋2x脑)＝4.编5C.逢1源.4扩(1＋x)2＝4.揪5D.突1掀.4箩(1＋x)＋1.殊4(蛾1＋x)2＝4.痕5基础绵自测基础毒知识·自主劫学习知识陪点索绝引C题型非一撕一元榆二次闪方程桶的解杯法题型仍分类·深度洋剖析知识级点索考引解x(严x＋5)＝24，x2＋5x－24＝0，(x＋8)画(x－3)＝0，解得x1＝－8，x2＝3.【例1】解下小列方踪蝶程：(1波)x碎(x＋5)＝24；题型氧一心一元煌二次去方程渔的解剥法题型望分类·深度词剖析知识嗽点索吴引(2舌)(蛇y＋3)愈(1－3y拦)＝1＋2y2；解(y＋3)向(1－3y驳)＝1＋2y2，y－3y2＋3－9y＝1＋2y2，∴5y2＋8y－2＝0，题型唱一麦一元贿二次历方程挨的解巾法题型煌分类·深度徐剖析知识与点索露引(3票)(笛19库97－x)2＋(x－19验96袍)2＝1.解解法姜一：(1歼99僻7－x)2＋(x－19神96榆)2－1＝0，(1峡99拘7－x)2＋(x－19底97浓)(逗x－19币95苦)＝0，(x－19仰97烤)[疑(x－19朗97凤)＋(x－19爬95裹)]＝0，2(丽x－19障97探)(遗x－19单96愁)＝0，解得x1＝19津97，x2＝19肢96逐.题型语一亩一元腊二次删方程卖的解嘴法题型北分类·深度仔剖析知识谅点索植引(3告)(掀19夏97－x)2＋(x－19故96红)2＝1.解法依二：邪∵(1关99己7－x)2＋(x－19太96会)2＝[(判19芽97－x)＋(x－19他96来)]2－2(效19蛙97－x)哥(x－19铁96吸)，∴原撕方程俘可化骄为：1－2(破19拘97－x)鸦(x－19禽96尽)＝1，2(择19让97－x)虑(x－19戴96唇)＝0，解得x1＝19还97，x2＝19幕96淡.题型司一头一元寨二次简方程仓的解集法题型想分类·深度落剖析知识侦点索惹引探究巴提高解一互元二匠次方狼程要金根据球方程昆的特挪点选愉择合哭适的方番法解唤题，妇但一烦般顺溉序为雄：直川接开支平方步法→团因式伤分解法→刑公式黎法．性一般徐没有医特别炕要求锣的不欠用配平方法胞．题型可一芝一元蓬二次我方程捎的解仍法题型滩分类·深度墙剖析知识腰点索庭引变式堤训练1用指留定的置方法织解下勾列方沉程：(1厚)(谋2x－1)2＝9；(用直滥接开脂平方爹法)解(2陡x－1)2＝9，2x－1＝±3，∴x1＝2，x2＝－1.题型明一伏一元完二次潮方程奋的解案法题型仆分类·深度踏剖析知识肤点索诊引(2睡)x2＋3x－4＝0；(用配洪方法)解x2＋3x－4＝0，x2＋3x＝4，∴x1＝1，x2＝－4.题型勺一民一元砌二次麻方程会的解偶法题型津分类·深度眨剖析知识至点索巷引(3题)x2－2x－8＝0；(用因歼式分榜解法)解x2－2x－8＝0，(x－4)惨(x＋2)＝0，x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2.题型计一利一元裹二次禽方程辉的解补法题型档分类·深度刻剖析知识次点索侮引(4键)x怜(x＋1)＋2(登x－1)＝0.筹(用公婚式法)解x(涝x＋1)＋2(碑x－1)＝0，x2＋x＋2x－2＝0，题型烤分类·深度僚剖析助学虑微博知识点点索机引转化弦思想一元责二次蓬方程摧的解糕法——直接园开平优方法金、配在方法忽、公式剪法、答因式虎分解先法，稳都是扣运用述了“项转化结”的信思想蛋，把待解宵决的裳问题(一元彻二次理方程)，通古过转明化，佛归结释为已首解决的孔问题(一元死一次棚方程)，也膝就是攀不断丙地把马“未贯知”狐转化为扬“已寄知”缝．题型资二盒一元族二次狠方程竿根的览判别袜式题型犬分类·深度仓剖析知识旬点索霉引【例2】(2声01彼4北京)已知续关于x的方护程mx2－(m＋2)袜x＋2＝0(拢m≠答0)．(1本)求证突：方冰程总树有两献个实趟数根鼓；(2绵)若方艺程的魂两个倡实数挂根都于是整采数，窃求正担整数m的值挡．解(1捆)证明州：∵m≠漏0，△＝(m＋2)2－4m藏×2＝m2－4m＋4＝(m－2)2，而(m－2)2≥0，即域△≥0，∴方砍程总葬有两戚个实此数根宾．题型悄二腊一元缺二次挂方程漫根的俯判别彼式题型证分类·深度疫剖析知识棉点索膏引【例2】(2咽01备4北京)已知秧关于x的方存程mx2－(m＋2)奴x＋2＝0(凉m≠藏0)．(1购)求证道：方保程总骨有两轨个实屈数根捧；(2轨)若方浑程的略两个锹实数尸根都沈是整逐数，挽求正电整数m的值卷．(2清)∵筋(x－1)铜(m廉x－2)＝0，∴x－1＝0或mx－2＝0，当m为正冶整数1或2时，x2为整毛数，即方动程的用两个峰实数娇根都宿是整舌数，∴正若整数m的值侦为1或2.题型染二妇一元椒二次骨方程绑根的胁判别青式题型稠分类·深度贵剖析知识施点索犹引探究田提高一元握二次匀方程ax2＋bx＋c＝0(节a≠繁0)的根服的判别京式△态＝b2－4a提c：当两△＞0时，苍方程缝有两帽个不电相等的实贱数根鲁；当贷△＝0时，唤方程枝有两详个相艘等的痛实数协根；情当△＜0时，银方程岁没有荐实数读根．题型沸二孤一元居二次允方程先根的亦判别蓄式题型炭分类·深度薪剖析知识畜点索拨引变式训练2

(2015北京)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：

a＝________，b＝________．11(答案考不唯叛一)题型娃三障一元粗二次精方程激根与耗系数不的关晕系题型止分类·深度规剖析知识日点索狠引2解析∵x2－6x＋k＝0的两揉根分枣别为x1、x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，题型啦三翅一元遮二次僻方程布根与表系数傲的关公系题型耳分类·深度阁剖析知识浮点索骆引变式袋训练3(1母)(2完01柄4莱芜)若关圾于x的方遮程x2＋(k－2)谋x＋k2＝0的两掘根互妈为倒捐数，援则k＝__舟__蛋__要__．题型姓三崭一元笋二次衰方程绑根与父系数胆的关炒系题型稿分类·深度每剖析知识哨点索效引－1解析∵x1x2＝k2，两众根互本为倒草数，∴k2＝1，解害得k＝1或－1.∵方程蚊有两闸个实犯数根济，△抓＞0，∴当k＝1时，冒△＜0，舍国去，∴k的值悄为－1.(2珍)(2宅01层5江西)已知锤一元管二次杜方程x2－4x－3＝0的两摸根为m，n，则m2－mn＋n2＝__取__孝__赖__．题型辣三习一元岛二次严方程墓根与常系数葡的关狂系题型爹分类·深度拨剖析知识袍点索蜓引25解析∵一升元二券次方副程x2－4x－3＝0的两检根为m，n，∴由导一元蜜二次裳方程穴根与赵系数怖关系松得m＋n＝4，mn＝－3，∴m2－mn＋n2＝(m＋n)2－3m费n＝42－3×迎(－3)＝25迅.题型掩分类·深度隐剖析助学络微博知识堪点索狭引注意匀一元售二次练方程丹根的汽判别他式的稠应用一元甲二次歌方程岁根的贩判别思式b2－4a姐c叫做扑一元暂二次兄方程ax2＋bx＋c＝0(腊a≠绕0)根的依判别缩慧式．宜如果b2－4a寻c>低0，则食方程有灯两个腔不相药等的类实数母根；雷如果b2－4a费c＝0，则勾方程铜有两个相割等的选实数邪根；宝如果b2－4a便c<量0，则随方程斧无实律数根但．注意读：(1收)根的轻判别腰式“b2－4a痕c”只有串在确暖认方浊程为一元拘二次品方程败时才蓄能使叨用；(2施)使用役时，辽必须阳将一鲁元二其次方程糖转化顺成一唯般式ax2＋bx＋c＝0，以疯便确翁定a、b、c的值无．题型梁分类·深度纪剖析助学铃微博知识在点索圾引正确妇理解疫“方应程有捡实数帆根”拖的含铅义若有炎一个壶实数巨根则扬原方驱程为勺一元剥一次丙方程疲；若符有两溜个实数裳根则烫原方巩程为驰一元苦二次先方程订．在字解题肆时，闸要特佣别注乡丰意“方筒程有辨实数幸根”堵、“邪有两阻个实伶数根申”等垦关键售文字症，挖污掘出它论们的走隐含谣条件驰，以躲免陷嗓入关瞎键字写的“科陷阱他”．题型锤四扶一元勺二次扎方程逝的应柜用题型尸分类·深度悲剖析知识念点索流引【例4】(2牧01惭4安顺)天山玻旅行刮社为殊吸引第游客匆组团闻去具毕有喀梢斯特地还貌特供征的侧黄果金树风祸景区翠旅游务，推软出了榆如下袍收费础标准(如图所遵示)：题型驱四案一元蜓二次浙方程待的应凉用题型锋分类·深度和剖析知识恢点索脊引某单右位组抱织员赵工去腰具有不喀斯血特地停貌特墓征的亦黄果政树风坑景区滥旅游，把共支昏付给伴旅行万社旅已游费赵用27训00都0元，宴请问质该单小位这昌次共有齿多少志名员鄙工去肃具有抢喀斯胆特地运貌特凤征的味黄果看树风范景区遵旅游？题型呢四毁一元陶二次唯方程怕的应捕用题型际分类·深度贝剖析知识辛点索筒引解设该递单位离去具嫁有喀唱斯特盾地貌摄特征册的黄迫果树狮风景抚区旅静游的人狮数为x人，糠则人戏均费愤用为[1起00备0－20剥(x－25揪)]元．由题辣意得经：x[狮10混00－20嘉(x－25拐)]＝27摧00夺0，整理足得：x2－75垒x＋13押50＝0，解矩得：x1＝45，x2＝30霞.当x＝45时，盒人均点旅游网费用概为：10振00－20株(x－25符)＝60基0＜70沙0，不咳符合待题意项，应林舍去桨．当x＝30时，堡人均足旅游纲费用方为：10缸00－20薯(x－25漫)＝90严0＞70拜0，符检合题液意．答：滤该单局位这特次共扭有30名员箭工去驴具有晋喀斯玩特地捕貌特厦征的姜黄果树冲风景脾区旅哭游．题型馆四循一元副二次辣方程揉的应叔用题型伯分类·深度船剖析知识符点索乓引探究其提高本题竿考查详了一剩元二香次方液程的找应用银．此途类题慌目贴近偏生活应，有鹅利于约培养营学生裹应用舱数学扇解决伙生活申中实钱际问题的军能力妈．解菊题关覆键是斩要读历懂题怪目的窜意思乏，根特据题楼目给出的士条件意，找济出合宜适的集等量滨关系远，列堤出方烦程，格再求鞋解．题型孝四领一元鼓二次想方程绣的应钳用题型森分类·深度艺剖析知识堆点索稍引变式神训练4(2耳01愤4宜昌)在“振文化棋宜昌·全民润阅读哗”活谷动中，城某中观学社邮团“销精一咱读书色社”碌对全个校学贪生的森人数让及纸质腥图书鱼阅读幻玉量(单位遗：本)进行软了调筝查，20顷12年全采校有10衫00名学哭生，20滋13年全庄校学戴生人戒数比20执12年增爷加10贤%，20范14年全还校学雪生人铜数比20类13年增叶加10位0人．(1众)求20抄14年全米校学溜生人邻数；题型示四添一元烦二次威方程爆的应跑用题型迈分类·深度酷剖析知识之点索睁引(2挤)2臂01洞3年全译校学绣生人捕均阅芦读量站比20圾12年多1本，躺阅读越总量奥比20护12年增泊加17块00本．(注：范阅读辨总量罪＝人圆均阅惕读量×人数)①求20允12年全打校学艘生人喂均阅病读量究；②20障12年读惑书社朽人均母阅读慕量是叨全校抛学生胡人均肚阅读叔量的2.哄5倍，友如果20创12年、20阅14年这副两年符读书皮社人躁均阅贞读量究都比前闸一年买增长宁一个疫相同腐的百扰分数a，20惰14年全灵校学饺生人均阅损读量鼓比20助12年增祖加的钻百分醉数也留是a，那膜么20催14年读书社池全部80名成猴员的铸阅读趟总量田将达葡到全过校学吗生阅幅读总向量的25仓%，求a的值扯．题型馋四纯一元群二次众方程葵的应枣用题型钓分类·深度叹剖析知识修点索樱引解(1峰)由题溜意，留得：20姜13年全防校学舞生人聚数为屋：10锤00备×(栗1＋10久%)＝11游00绢(人)，则20凝14年全过校学扩生人尊数为晶：11拣00＋10卫0＝12酷00溪(人)．答：20舒14年全需校学以生人霉数为12瞒00人．题型林四格一元认二次虑方程生的应吧用题型疼分类·深度炭剖析知识毫点索束引(2宽)①设20材12年人碰均阅券读量堤为x本，惨则20忙13年人母均阅云读量为(x＋1)本，由题鱼意得地：11丹00琴(x＋1)＝10枕00芹x＋17甜00，解得密：x＝6.答：20禾12年全垒校学磨生人挡均阅眨读量韵为6本．题型分四驱一元贸二次钞方程首的应捎用题型肌分类·深度糊剖析知识吵点索爬引②由池题意决，得灵：20醒12年读歪书社音人均侄读书接量为评：2.剑5×丢6＝15藏(本)，20宫14年读中书社顺人均峰读书毅量为艺：15顽(1＋a)2(本)，20奸14年全耕校学面生的矛读书消量为骨：6(祝1＋a)羊(本)，则80合×1累5(脖1＋a)2＝12液00科×6族(1＋a)叨×2庸5%，2(蕉1＋a)2＝3(网1＋a)，解得香：a1＝－1(舍去)，a2＝0.戒5.答：a的值丑为0.斑5.题型转分类·深度健剖析易错催警示演系列易错再警示共系列6解一匠元二素次方阿程“液失根覆”现狠象评运析知识忙点索尘引考题守再现(1西)解方工程：3x绿(x＋2)＝5(鲁x＋2)；(2京)解方缺程：9x2＋6x＋1＝9；(3香)解方晶程：x2－2x＋