函数模型及其应用

三年9考高考指数:★★★1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.函数模型的应用是高考考查的重点.2.建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、均值不等式、函数的单调性、最值等交汇命题，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力.3.选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题为主.1.三种函数模型性质比较y=ax(a>1）y=logax(a>1）y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性增长速度图象的变化相对平稳随n值变化而不同单调增函数单调增函数单调增函数越来越快越来越慢随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近平行【即时应用】(1)思考：对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型，你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长?提示:公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长.(2)当x越来越大时，判断下列四个函数中，增长速度最快的是_______.①y=2x,②y=x10,③y=lgx,④y=10x2【解析】由函数图象知，y=2x的增长速度最快.答案:①(3)函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是______.【解析】由y=2x与y=x2的图象知有3个交点.答案:3(4)当2＜x＜4时,2x,x2,log2x的大小关系是______.【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2x,y=x2,y=2x的图象,在区间(2，4)内从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.答案:x2＞2x＞log2x2.常见的几种函数模型(1)直线模型:一次函数模型y=___________,图象增长特点是直线式上升(x的系数k＞0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=_________.(2)反比例函数模型:y=_______,增长特点是y随x的增大而减小.kx+b(k≠0)kx(k＞0)(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b＞0,b≠1,a≠0)型，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b＞1,a＞0)，常形象地称为指数爆炸.(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a＞1,m＞0).(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型:__________(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a＞0).(6)分段函数模型：,其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.y=ax2+bx+c【即时应用】(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2011年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是______.(2)某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用六种常见模型中的_____.(3)某种电热水器的水箱盛满水是200L，加热到一定温度，即可用来洗浴.洗浴时，已知每分钟放水34L，若放水t分钟时，同时自动注水总量为2t2L.当水箱内的水量达到最少时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65L，则该热水器一次至多可供______人洗浴.【解析】(1)设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a,则由题意得1-0.05=a50.∴a=∴y=(

)x·m=

m,x∈N*.(2)由增长特点知应选对数函数模型.(3)在放水程序自动停止前,水箱中的水量为y=2t2-34t+200=2(t-8.5)2+55.5，由二次函数的性质得，经过8.5min，放水停止,共出水34×8.5=289(L)，289÷65≈4.45.故至多可供4人洗浴.答案：(1)y=m,x∈N*(2)对数函数模型(3)4

利用函数刻画实际问题【方法点睛】用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.【例1】如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a)，则容器的形状是______;(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b)，则容器的形状是______;(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c)，则容器的形状是______;(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d)，则容器的形状是______.【解题指南】根据实际问题中水深h,水量v和注水时间t之间的关系，结合图象使之吻合即可.【规范解答】(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C中的容器能做到，所以应填C；(2)该题图中的(b)说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，所以应填A；(3)该题图中的(c)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D中的容器能做到，所以应填D；(4)该题图中的(d)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有B中的容器能做到，所以应填B.答案：(1)C(2)A(3)D(4)B【反思·感悟】用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决.【变式训练】如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V=V(t)的图象大致为()【解析】选B.由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，故选B.

利用已知函数模型解决实际问题【方法点睛】利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.【提醒】要结合实际意义限制自变量的范围.【例2】(1)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()(A)100台(B)120台(C)150台(D)180台(2)为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________.【解题指南】(1)结合二次函数的性质及实际意义解题即可.(2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式.【规范解答】(1)选C.∵要使生产者不亏本，则有3000+20x-0.1x2≤25x,解上式得：x≤-200或x≥150,又∵0<x<240,x∈N，∴x的最小值为150.(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k≠0),将点(0.1,1)代入可得k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入y=

,得a=则所求关系式为y=答案:y=【互动探究】本例(2)中题干不变,若据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过______小时后,学生才能回到教室.【解析】由本例(2)知,令得t==0.6.即从药物释放开始,至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.答案:0.6【反思·感悟】解决这类已给出数学模型的实际问题,关键是从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况,从而代入求得其解析式.【变式备选】已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律是:θ=m·2t+21-t(t≥0，并且m＞0).(1)如果m=2,求经过多少时间,物体的温度为5摄氏度;(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.【解析】(1)若m=2,则θ=2·2t+21-t=当θ=5时，2t+令x=2t，则x≥1,则即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),此时t=1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度.(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦恒成立.亦即

恒成立.令y=，则0＜y≤1,∴m≥2(y-y2),由于y-y2≤

,∴m≥

.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是［

,+∞).

自建函数模型解决实际问题【方法点睛】建立函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论.【例3】(2012·广州模拟)某企业为打入国际市场,决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)

项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,预计m∈［6,8］,另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域;(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划.【解题指南】根据题意分别写出生产两种产品的年利润y1,y2的函数关系,再利用函数的单调性求得y1,y2的最大值,再比较最大值之间的大小关系.【规范解答】(1)年销售量为x件,生产A、B两产品的年利润y1,y2,则y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(0≤x≤200且x∈N)，y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460(0≤x≤120,x∈N).(2)∵6≤m≤8,∴10-m>0,∴y1=(10-m)x-20为增函数.又0≤x≤200,x∈N,∴x=200时,生产A产品有最大利润为(10-m)×200-20=1980-200m(万美元).又y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,x∈N,∴当x=100时,生产B产品有最大利润为460(万美元).因为(y1)max-(y2)max=(1980-200m)-460=1520-200m所以,当6≤m<7.6时,可投资生产A产品200件;当m=7.6时,投资生产A产品200件与生产B产品100件均可;当7.6<m≤8时,可投资生产B产品100件.【反思·感悟】解决这类问题常见的两个误区(1)不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解.(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.【变式训练】(2012·西安模拟)据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时,求s的值;(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.【解析】(1)由图象可知:当t=4时,v=3×4=12,∴s=×4×12=24(km).(2)当0≤t≤10时,s=·t·3t=当10＜t≤20时，s=×10×30+30(t-10)=30t-150;当20＜t≤35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.综上，可知s=(3)∵t∈［0,10］时,smax=×102=150＜650,t∈(10,20］时，smax=30×20-150=450＜650,∴当t∈(20,35］时，令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40.∵20＜t≤35,∴t=30.∴沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.【变式备选】某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的市场销售进行调研，结果如图(1)、(2)所示.其中(1)的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；(2)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.(1)写出市场的日销售量f(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；(2)第一批产品A上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，最大利润是多少?【解析】(1)设f(t)=a(t-20)2+60,由f(0)=0可知a=,即f(t)=(2)设销售利润为g(t)万元，则当30≤t≤40时，g(t)单调递减；当0<t<30时，g′(t)=+24t,易知g(t)在(0，)上单调递增，(，30)上单调递减，而t∈N，故比较g(26),g(27),经计算，g(26)=2839.2<g(27)=2843.1，故第一批产品A上市后的第27天，这家公司日销售利润最大，最大利润是2843.1万元.【满分指导】函数应用解答题的规范解答【典例】(12分)(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解题指南】解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解.【规范解答】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得

…………2分(1)S=4ah=8x(30-x)…………4分=-8(x-15)2+1800,所以当x=15时,S取得最大值.……………6分(2)V=,…………………8分V′=由V′=0得x=0(舍)或x=20.…………………9分当x∈(0,20)时,V′＞0;当x∈(20,30)时,V′＜0.所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.…11分此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.………12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)忽视实际问题对变量x的限制即定义域.(2)将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确.备考建议解决函数应用的解答题，还有以下几点容易造成失分，在备考中要高度关注：(1)读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型.(2)对涉及到的相关公式，记忆错误.(3)在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确的求解.

1.(2012·梅州模拟)牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系.若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h,而在22℃的厨房中则约是42h，则保鲜时间y(h)关于储藏温度x(℃)的函数解析式是()【解析】选D.设y=a·bx.

则由已知得:∴y=2.(2012·佛山模拟)某种产品市场产销量情况如图所示，其中l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去;(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；(3)产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量.你认为较合理的叙述是()(A)(1)(2)(3)(B)(1)(3)(C)(2)