高中数学北师大版三学案：第三章 3　模拟方法-概率的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学习目标1.了解几何概型的定义及其特点.2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率。3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积．知识点一几何概型的概念思考往一个外圆内方的铜钱上投一粒小米，则小米可能的落点有多少个?怎样计算小米落入方孔中的概率？梳理向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成________，而与G的形状、位置无关．即P(点M落在G1）＝________________，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是________________的有限区域，相应的概率是______________．知识点二模拟方法思考如图,椭圆与圆只有2个公共点A、B,一个质点落在圆内任一点的可能性相同,则质点落在椭圆内的概率怎么计算？梳理模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验，以频率估计概率．____________可以来估计某些随机事件发生的概率．类型一几何概型的概念例1判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型,还是几何概型．（1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点"的概率;(2)下图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：（1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；（2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：（1)某月某日,某个市区降雨的概率；（2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．类型二几何概型的概率计算例2某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．反思与感悟数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图形解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度（面积或体积），用几何概型概率公式求出事件A的概率．跟踪训练2某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时(整点报时)，求他等待的时间不多于10分钟的概率．类型三模拟方法的应用例3假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00~8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸"称为事件A,你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件A发生的概率吗？反思与感悟解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值,解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率．跟踪训练3在右图的正方形中随机撒一把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值。1．下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型也是古典概型中的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D．几何概型在一次试验中出现的结果有无限个2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A。eq\f（1，3）B。eq\f（1,2)C.eq\f(1，4)D。eq\f（1,6）3．四边形ABCD为长方形,AB＝2，BC＝1，O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（)A.eq\f（π，4）B．1－eq\f（π，4）C。eq\f（π,8)D．1－eq\f(π,8)4．在区间［－1，1]上随机取一个数x，则sineq\f(πx，4)的值介于－eq\f（1，2)与eq\f(\r（2)，2)之间的概率为（）A.eq\f（1,3)B.eq\f(1，2)C.eq\f（1,4）D.eq\f(5,6）5.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为eq\f（2,3)，则阴影区域的面积约为()A.eq\f（4,3）B。eq\f（8，3）C。eq\f(2，3）D．无法计算1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解,概率公式为P（A）＝eq\f（构成事件A的区域长度面积或体积，试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).3．随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验．

答案精析问题导学知识点一思考小米可能的落点有无限多，故不能，用古典概型计算小米落入方孔中的概率，但因为小米的落点个数与铜钱的面积成正比,故可用方孔与铜钱面积之比来计算小米落入方孔中的概率．梳理正比eq\f（G1的面积,G的面积)空间中或直线上体积之比或长度之比知识点二思考这是一个几何概型,但椭圆的面积公式还没学，故不能用几何概型概率公式直接计算，但可以用模拟方法估计．梳理模拟方法题型探究例1解(1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36（种)，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关,因此属于几何概型．跟踪训练1解（1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．例2解如图所示，设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为10,设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6,记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.所以P（A）＝eq\f（d，D)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5）。故乘客候车时间不超过6分钟的概率为eq\f(3,5）。跟踪训练2解记“等待的时间不多于10分钟"为事件A,打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内则事件A发生．由几何概型的概率公式求得P（A)＝eq\f(60－50，60)＝eq\f（1,6),即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为eq\f(1,6)。例3解（随机模拟的方法)做两个带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数,则P(A)＝eq\f（父亲在离家前能得到报纸的次数，试验的总次数)。跟踪训练3解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即eq\f（圆的面积，正方形的面积)≈eq\f（落在圆中的豆子数，落在正方形中的豆子数)。设正方形的边长为2,则圆半径为1，则eq\f(圆的面积，正方形的面积）＝eq\f（π,2×2)＝eq\f（π,4）,由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的，所以π≈eq\f（落在圆中的豆子数,落在正方形中的豆子数）×4.所以就得到了π的近似值．当堂训练1．A［几何概型与古典概型是两种不同的概型．]2．B[向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设“点落在△ABD内”为事件M，则P(M)＝eq\f(△ABD的面积,△ABC的面积)＝eq\f（1,2)。]3．B[若以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝eq\f（S