高中数学人教B版1-1学案：2章末复习提升

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程，能够用“坐标法”研究椭圆的基本性质，能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题．2．能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系解决相关问题;准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用．3．会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质以及会由几何性质确定抛物线的方程．了解抛物线的一些实际应用．题型一圆锥曲线定义的应用研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题．例1若点M(1，2），点C是椭圆eq\f(x2,16）＋eq\f(y2，7)＝1的右焦点,点A是椭圆的动点，则|AM|＋｜AC|的最小值是________．答案8－2eq\r(5）解析设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(1，2）在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋｜AC｜≥｜AB|＋｜AC｜＝2a，所以|AM|＋｜AC|≥2a－|BM｜,而a＝4，｜BM｜＝eq\r(1＋32＋22)＝2eq\r(5)，所以（|AM|＋｜AC|)min＝8－2eq\r(5).跟踪演练1抛物线y2＝2px(p〉0)上有A(x1，y1),B（x2，y2），C（x3,y3)三点，F是它的焦点，若｜AF｜，｜BF|，｜CF|成等差数列，则(）A．x1，x2，x3成等差数列B．y1，y2,y3成等差数列C．x1，x3,x2成等差数列D．y1，y3，y2成等差数列答案A解析如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义：｜AF｜＝|AA′｜，|BF|＝|BB′|，|CF｜＝｜CC′|。∵2｜BF｜＝｜AF｜＋|CF|，∴2｜BB′｜＝|AA′|＋｜CC′｜。又∵|AA′|＝x1＋eq\f(p，2)，｜BB′|＝x2＋eq\f(p,2)，|CC′｜＝x3＋eq\f（p，2）,∴2(x2＋eq\f(p,2))＝x1＋eq\f(p，2)＋x3＋eq\f(p,2)⇒2x2＝x1＋x3，∴选A。题型二有关圆锥曲线性质的问题有关求圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等是考试中常见的问题,只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解．例2双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1（a＞0,b＞0）的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是（)A．2B。eq\r(3)C.eq\r（2）D.eq\f（3,2)答案C解析双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1的两条渐近线方程为y＝±eq\f（b,a）x，依题意eq\f（b,a)·(－eq\f（b,a))＝－1，故eq\f（b2,a2)＝1，所以eq\f（c2－a2，a2）＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝eq\r（2）.故选C。跟踪演练2已知椭圆eq\f（x2，3m2）＋eq\f（y2，5n2）＝1和双曲线eq\f(x2,2m2）－eq\f(y2，3n2）＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(）A．x＝±eq\f（\r(15)，2)yB．y＝±eq\f（\r（15），2）xC．x＝±eq\f（\r（3）,4）yD．y＝±eq\f（\r（3)，4）x答案D解析由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点（±eq\r(3m2－5n2),0），双曲线焦点（±eq\r(2m2＋3n2）,0）,∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，又∵双曲线渐近线为y＝±eq\f（\r(6)·|n｜,2｜m｜）·x,∴由m2＝8n2，|m|＝2eq\r(2)|n｜,得y＝±eq\f（\r（3），4)x.题型三直线与圆锥曲线位置关系问题1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类:无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆,表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．例3已知向量a＝（x，eq\r(3)y），b＝(1,0）且（a＋eq\r(3）b)⊥（a－eq\r（3)b）．（1）求点Q（x，y)的轨迹C的方程；（2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1），当｜AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．解(1)由题意，得a＋eq\r（3）b＝(x＋eq\r(3），eq\r(3）y),a－eq\r(3）b＝(x－eq\r(3)，eq\r(3）y)，∵（a＋eq\r（3）b）⊥(a－eq\r(3)b），∴(a＋eq\r（3)b）·（a－eq\r（3）b)＝0,即(x＋eq\r(3)）(x－eq\r(3）)＋eq\r(3）y·eq\r(3)y＝0。化简得eq\f（x2，3）＋y2＝1，∴Q点的轨迹C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1。(2）由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3）＋y2＝1,））得（3k2＋1）x2＋6mkx＋3（m2－1）＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点,∴Δ>0，即m2〈3k2＋1。①(ⅰ）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标,则xP＝eq\f(xM＋xN，2）＝－eq\f(3mk，3k2＋1)，从而yP＝kxP＋m＝eq\f(m,3k2＋1），kAP＝eq\f(yP＋1，xP）＝－eq\f（m＋3k2＋1，3mk)，又|AM｜＝｜AN｜，∴AP⊥MN.则－eq\f(m＋3k2＋1,3mk）＝－eq\f（1,k），即2m＝3k2＋1，②将②代入①得2m>m2，解得0<m<2，由②得k2＝eq\f（2m－1，3)>0,解得m>eq\f(1，2),故所求的m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2),2）).(ⅱ）当k＝0时，|AM|＝|AN｜，∴AP⊥MN，由m2<3k2＋1,解得－1〈m〈1.综上所述,当k≠0时,m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2），2））,当k＝0时，m的取值范围是(－1,1)．跟踪演练3已知椭圆C：eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1(a〉b>0）的离心率为eq\f(\r(6)，3)，短轴一个端点到右焦点的距离为eq\r(3).（1)求椭圆C的方程；(2）设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为eq\f(\r(3）,2)，求△AOB面积的最大值．解(1）设椭圆的半焦距为c,依题意有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（c，a）＝\f(\r（6），3)，，a＝\r(3)，））∴c＝eq\r(2)，b＝1.∴所求椭圆方程为eq\f(x2，3)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1），B（x2，y2）．①当AB⊥x轴时，｜AB|＝eq\r（3）。②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知eq\f(|m|,\r(1＋k2）)＝eq\f(\r（3),2）,得m2＝eq\f（3,4）（k2＋1）．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得（3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝eq\f（－6km，3k2＋1），x1x2＝eq\f（3m2－1，3k2＋1)。∴｜AB｜2＝（1＋k2）（x2－x1）2＝(1＋k2)eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（36k2m2,3k2＋12）－\f（12m2－1，3k2＋1）））＝eq\f(12k2＋13k2＋1－m2，3k2＋12)＝eq\f（3k2＋19k2＋1，3k2＋12)·当k≠0时｜AB｜2＝3＋eq\f（12k2，9k4＋6k2＋1）＝3＋eq\f(12,9k2＋\f(1,k2）＋6)≤3＋eq\f(12，2×3＋6)＝4.当且仅当9k2＝eq\f（1，k2），即k＝±eq\f(\r（3)，3）时等号成立．此时Δ＝12（3k2＋1－m2）〉0，当k＝0时,|AB|＝3.综上所述，｜AB｜max＝2.∴当｜AB｜最大时，△AOB面积取得最大值S＝eq\f(1,2)×｜AB|max×eq\f（\r(3）,2）＝eq\f（\r（3）,2）.1。圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．2．圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，高考对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一个是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查．3．圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，高考对此进行重点考查，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解,试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等为主进行交汇命题．4．虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识,但直线与圆锥曲线是密不可分的,如双曲线的渐近线、抛物线的准线、圆锥曲线的对称轴等都是直线．高考不但不回避直线与圆锥曲线,而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题．5．高考对圆锥曲线的考查