线性空间与线性变换重要

第三章线性空间与线性变换目前一页\总数六十六页\编于八点3.1线性空间的定义与性质0数轴平面三维空间yxzOxyO常见的几何空间：目前二页\总数六十六页\编于八点几何空间R3的运算运算规律加法：数乘：目前三页\总数六十六页\编于八点目前四页\总数六十六页\编于八点对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质；在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。线性空间目前五页\总数六十六页\编于八点若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的积，记作定义１设是一个非空集合，为一个数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:目前六页\总数六十六页\编于八点那么就称为数域上的线性空间．目前七页\总数六十六页\编于八点

2．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．注

1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算．特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．目前八页\总数六十六页\编于八点例1实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．注目前九页\总数六十六页\编于八点加法：数乘:目前十页\总数六十六页\编于八点例3全体正实数R+,定义加法和数量乘法如下：解：零元为常数1目前十一页\总数六十六页\编于八点故在该加法和数乘运算下，对应集合构成实数域上的线性空间。负元为1/a目前十二页\总数六十六页\编于八点注：线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间的简单性质：零元素是唯一的；负元素是唯一的；

0=0;k0=0;(-1)=-；

如果k=0,那么k=0或=0。01=01+02=02

-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2))=((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2目前十三页\总数六十六页\编于八点3.4线性子空间对三维几何空间：yxzO任何过原点的平面是R3的子集在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成一个二维的线性空间。R3的线性子空间目前十四页\总数六十六页\编于八点线性子空间

定义：设W是数域F上线性空间V的非空子集合.如果W中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算也构成F上的线性空间，则称W为V的线性子空间,简称子空间.定理:

W是V的非空子集合，则W是V的子空间的充要条件是V的子空间注V和零子空间是V的平凡子空间；其它子空间称为V的真子空间.目前十五页\总数六十六页\编于八点生成子空间目前十六页\总数六十六页\编于八点3.2向量的线性相关性如果线性空间V以通常的向量作为元素，即V中含有无穷多个向量。如何用有限个向量刻划空间中的所有向量？需要讨论向量间的关系.如三维几何空间：yxzO目前十七页\总数六十六页\编于八点线性组合与线性表示设V是数域F上的一个线性空间，是V中的一组向量，是数域F

中的数，那么向量称为向量的一个线性组合，有时也称向量

可以由线性表示。例1:

目前十八页\总数六十六页\编于八点目前十九页\总数六十六页\编于八点线性相关与线性无关设V是数域F上的一个线性空间，且如果在数域F中存在s个不全为零的数,使得则称向量组线性相关.否则称向量组线性无关，即若则必有此时至少有一个向量可以由其他向量线性表示。目前二十页\总数六十六页\编于八点进一步来理解向量组的线性相关与线性无关考虑等式目前二十一页\总数六十六页\编于八点注：(1)给定向量组，该向量组要么线性相关，要么线性无关。(2)含有零向量的向量组一定线性相关。(3)向量组只包含一个向量时：若,则说线性相关；若,则说线性无关。目前二十二页\总数六十六页\编于八点解：令即故目前二十三页\总数六十六页\编于八点解：令即系数矩阵为方阵故方程组Ax=0存在非零解.即线性相关.目前二十四页\总数六十六页\编于八点即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.另解：同理，对,令即故线性无关.注：向量组只包含两个非零向量时，则目前二十五页\总数六十六页\编于八点定理1n维列向量组线性相关的充要条件是r(A)<s，其中线性相关性的判定推论

n个

n维列向量组线性相关的充要条件是|A|=0，其中注：若给定的是行向量组，需要将其转化成列向量组。目前二十六页\总数六十六页\编于八点例5设判断是线性相关还是线性无关？解故r(A)=3<5目前二十七页\总数六十六页\编于八点

证28目前二十八页\总数六十六页\编于八点目前二十九页\总数六十六页\编于八点定理2

向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其他向量线性表示.定理3线性相关线性相关定理4线性无关线性相关部分相关,

则整体相关;整体无关,

则部分无关.目前三十页\总数六十六页\编于八点向量组的等价性质目前三十一页\总数六十六页\编于八点定理1下列命题等价(1)(2)C的行向量组可由B的行向量组线性表示(3)C的列向量组可由A的列向量组线性表示目前三十二页\总数六十六页\编于八点推论1矩阵A经过初等行(列)变换化为B,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。定理2若向量组线性无关，且可由线性表示，则推论2等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量.目前三十三页\总数六十六页\编于八点3.4线性子空间对三维几何空间：yxzO任何过原点的平面是R3的子集在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成一个二维的线性空间。R3的线性子空间目前三十四页\总数六十六页\编于八点线性子空间

定义：设W是数域F上线性空间V的非空子集合.如果W中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算也构成F上的线性空间，则称W为V的线性子空间,简称子空间.定理:

W是V的非空子集合，则W是V的子空间的充要条件是V的子空间注V和零子空间是V的平凡子空间；其它子空间称为V的真子空间.目前三十五页\总数六十六页\编于八点生成子空间目前三十六页\总数六十六页\编于八点如果线性空间中含有无穷多个向量。如何找出有限个向量刻划空间中的所有向量？如三维几何空间：yxzO3.4线性子空间目前三十七页\总数六十六页\编于八点基、维数和坐标注:(1)规定V={}为零维空间.(2)有限维线性空间V的基不唯一.目前三十八页\总数六十六页\编于八点向量组的秩(一)：若以的部分组为基目前三十九页\总数六十六页\编于八点目前四十页\总数六十六页\编于八点寻基求秩的过程明确向量组线性关系的过程(找最大线性无关组的过程)目前四十一页\总数六十六页\编于八点目前四十二页\总数六十六页\编于八点解43目前四十三页\总数六十六页\编于八点继续行变换(行最简形)目前四十四页\总数六十六页\编于八点总结：求列向量组最大线性无关组或生成子空间的基：(1)将向量按列写成矩阵：(2)用初等行变换将矩阵化为行阶梯形；(3)行阶梯形非零行的行数r即为空间的维数；

(4)如果行阶梯形每个非零行的首非零元对应列指标为，则(5)若要明确其他向量和最大无关组的线性关系，需继续进行行变换将矩阵化为行最简形…….目前四十五页\总数六十六页\编于八点注：若生成向量组为行向量组，则可以转置为列向量组，选取部分组为对应子空间的基.转置不改变行向量组的线性关系。(二)：若不以的部分组为基目前四十六页\总数六十六页\编于八点则需要找与等价的线性无关向量组(二)：若不以的部分组为基Recall推论

矩阵A经过初等行(列)变换化为B,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。目前四十七页\总数六十六页\编于八点初等行变换(行阶梯形)目前四十八页\总数六十六页\编于八点解：行变换故是所求空间的一组基.目前四十九页\总数六十六页\编于八点矩阵的行秩与列秩给定矩阵A，称矩阵A的行向量组生成的子空间R(A),

对应空间的维数为矩阵的行秩；称矩阵A的列向量组生成的子空间C(A)，

对应空间的维数为矩阵的列秩.目前五十页\总数六十六页\编于八点回顾：求列向量组生成子空间的维数：(1)将向量按列写成矩阵：(2)用初等行变换将矩阵化为行阶梯形；(3)行阶梯形非零行的行数即为空间的维数。

初等行变换行向量组：(行秩=矩阵的秩)(列秩=矩阵的秩)目前五十一页\总数六十六页\编于八点3.6欧氏空间对三维几何空间：yxzO定义了向量长度，向量夹角线性空间中对向量如何度量？目前五十二页\总数六十六页\编于八点向量的内积目前五十三页\总数六十六页\编于八点目前五十四页\总数六十六页\编于八点向量的长度与夹角目前五十五页\总数六十六页\编于八点目前五十六页\总数六十六页\编于八点目前五十七页\总数六十六页\编于八点欧氏空间的标准正交基目前五十八页\总数六十六页\编于八点得即解：59目前五十九页\总数六十六页\编于八点施密特正交化目前六十页\总数六十六页\编于八点例2.用施密特正交化方法,将向量组化成标准正交向量组.先正交化：

取解：61目前六十一页\总数六十六页\编于八点再单位化：得规范正交向量组如下62目前六十二页\总数六十六页\编于八点证明