经济应用数学线性代数高数第四章不定积分

§1不定积分基本概念与性质

一、引例

第四章不定积分

(1)xoy平面上一曲线过点（0，1），并在点(x,y)的斜率为ex-1，求此曲线。(2)一质点在时刻t以速度v(t)=2t-1运动，求质点从初始时刻t=0到时刻t所经过的距离f(t)．这两个问题和我们在第二章遇到的问题正好相反！要解决这类问题，必须学习我们先学习二、

原函数设函数f的定义域为区间I,若存在I上的可微函数F,使F

(x)=f(x)(x∈I).则称F(x)为f在区间I上的一个原函数.注①:若f(x)在区间I上连续，则在下一章我们将知道f(x)在区间I上存在原函数.即：连续函数必有原函数.注②:若F(x)=f(x),则C∈R,有[F(x)+C]=F(x)=f(x).这就是说,若f(x)有原函数,则f(x)有无限多个原函数.

注③:若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则[F(x)G(x)]

=F(x)G(x)=0.故F(x)G(x)为常数——f(x)的任两个原函数相差一个常数.这就是说,若f(x)有一个原函数F(x),则f(x)的其他原函数都可以写成F(x)+C,

其中C为某个常数.注④:设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.我们用{F(x)+C，C为任意实数}表示f(x)在区间I上的全体原函数.

三、

不定积分1.

定义函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.记为其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则=F(x)+C.其中C称为积分常数.注⑤:不定积分和原函数的区别与联系.

2.d与的关系设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则

由此可见，不计常数C，微分运算d与不定积分运算互为逆运算。

于是由基本导数公式，有基本积分公式.3.基本积分公式积分公式微分公式

1）2），，3）4）5），，，，6）7）8）9）10）11）12）13）4.性质设f(x),g(x)有原函数,k1,k2∈R,则

特别地，(1)设f(x有原函数,k∈R,则(2)设f(x),g(x)有原函数,则例1.(1)

(2)(3)5.分段函数的原函数与不定积分例2.设求

解

设F(x)是f(x)在[1,+∞)上的一个原函数,则因而F(-1)=?

F(0)=?F(2)=?注意F(x)为可导函数，从而连续！于是可以求出C1,C2和C3。故F(00)=1+C1,F(0+0)=C2,F(20)=4+C2,F(2+0)=6+C3,F(-1+0)=F(-1）由F(x)的连续性可得

取C=C2=1+C1=2+C3,则6.引例的解决

(1)xoy平面上一曲线过点（0，1），并在点(x,y)的斜率为ex-1，求此曲线。解答:设此曲线为y=f(x),则f’(x)=ex-1,f(0)=1因而得f(x)=ex-x.(2)一质点在时刻t以速度v(t)=2t-1运动，求质点从初始时刻t=0到时刻t所经过的距离f(t)．解答:f’(t)=v(t)=2t-1,f(0)=0因而得f(t)=t2-t.§2不定积分的换元积分法

一、

第一类换元积分法(凑微分法)设函数u=j

(x)可微,F(u)为f(u)的一个原函数,则例1.=F(u)+C=F[j(x)]+C.

例2.设a>0,则例3.设a≠0,则例4.

例5.例6.例7.例8.例9.

例10.例11.例12.=arctan(x+2)+C.

例13.例14.例15.

例16.例17.

例18.或=ln|tanx+secx|+C.=ln|tanx+secx|+C.

二、

第二类换元积分法

设f(x)连续,x=j

(u)有连续的导数,j

(u)≠0,且f[j

(u)]j

(u)的一个原函数为F(u).则事实上,思考

第一类换元积分法与第二类换元积分法的区别何在?=F(u)+C=F[j1(x)]+C.=f[j

(u)]=f(x).

例19.求下列不定积分.(1)解:(1)令则=2u2ln|1+u|+C(2)(2)令则=…

(3)则解:被积函数的定义域为(∞,1)∪(2,+∞).当x>2时,被积函数可化为令于是

当x∈(-∞,-1)时的情形留作课后练习.参考答案:=ln|t+1|ln|t1|2arctant+C注①:本例中的代换方法称为根式代换.

例20.计算下列不定积分(其中a>0).(1)解:令x=asinu,则

(2)解:令x=atanu,则(其中C=lna+C1).注②:本例中的代换方法称为三角代换.

注③

:巧用凑微分法,可迅速解决上述(2).事实上,又如:

例21.令u=x+1

例22.计算不定积分解:(法一)令则注④:法一中的代换称为倒数代换.

(法二)

例23.计算解:令则于是注⑤

:本例中的代换方法称为半角代换.

例24.计算

则比较烦.(其中a,b>0).解:令t=tanx,则注⑥

:本例若令

§3不定积分的分部积分法

一、

原理

d[u(x)v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x)_u(x)dv(x)=d[u(x)v(x)]v(x)du(x)_∫u(x)dv(x)=∫d[u(x)v(x)]∫v(x)du(x)=u(x)v(x)∫v(x)du(x).二、举例(1)∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx+cosx+C.=xsinx

∫sinxdx

(2)∫(x2+x)exdx=(x2+x)ex

∫ex(2x+1)dx=(x2+x)ex

∫(2x+1)d(ex)=∫(x2+x)d(ex)=(x2+x)ex

∫exd(x2+x)=(x2+x)ex

(2x+1)ex+∫exd(2x+1)=(x2x1)ex+2∫exdx=(x2x+1)ex+C.[x2cosx+∫x2sinxdx],注意！

若∫xcosxdx[x2cosx∫x2d(cosx)]则积不出!

=(x2+x)lnxx2

x+C.

(3)∫(2x+1)lnxdx=∫lnxd(x2+x)=(x2+x)lnx∫(x2+x)d(lnx)=(x2+x)lnx∫(x+1)dxex(cosx+sinx)+C(其中所以∫excosxdx=移项得:2∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C1.=ex(cosx+sinx)∫excosxdx,=ex(cosx+sinx)∫exd(sinx)=excosx+∫exsinxdx(4)∫excosxdx=∫cosxd(ex)=excosx

∫exd(cosx)=excosx+∫sinxd(ex)

另解

∫excosxdx=∫exd(sinx)=exsinx

∫sinxd(ex)=exsinx

∫exsinxdx=exsinx+∫exd(cosx)=ex(cosx

+sinx)∫cosxd(ex)=ex(cosx+sinx)∫excosxdx,移项得:2∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C1.所以∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C(其中

(5)移项得:所以

(6)

n=1时，已在本章第二节例18解决。n=2时，n>2时，取u=secn-1x,v’=sec2x分部积分。(7)3.小结:(1)P(x)sinxdx=P(x)d(cosx),P(x)cosxdx=P(x)d(sinx).(2)P(x)exdx=P(x)d(ex).(3)P(x)lnxdx=lnxd(∫P(x)dx).(4)eaxcos(bx)dx=cos(bx)d(eax)eaxd(sin(bx)),eaxsin(bx)dx=sin(bx)d(eax)eaxd(cos(bx)).

(5)P(x)arcsinxdx=arcsinxd(∫P(x)dx).P(x)arccosxdx=arccosxd(∫P(x)dx).P(x)arctanxdx=arctanxd(∫P(x)dx).P(x)arccotxdx=arccotxd(∫P(x)dx).§4有理函数的积分法一、

定义设P(x)和Q(x)≠0都是实系数多项式,则形如P(x)/Q(x)的函数称为x的有理函数,当P(x)的次数不低于Q(x)的次数时,称P(x)/Q(x)为假分式,否则就称之为真分式.对于一个假分式,我们可以用多项式除法,将它化为一个多项式与一个真分式之和.例如:=x3x2+x2

2性质

假定P(x)/Q(x)为既约真分式,①若Q(x)=(xa)mQ1(x),mN+,Q1(a)≠0,则其中P1(x)/Q1(x)为真分式,A1,B1,…,Am,Bm为常数.②若Q(x)=(x2+px+q)mQ1(x),m为正整数,p24q<0,Q1(x)不含(x2+px+q)因